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Fundamentos de Matemática - 2020A

Capítulo 1: Introducción a la Lógica Matemática

Preparado por:

la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN

Capítulo 1

Lógica

Resultados de aprendizaje del capítulo

Conocimientos:

1. Reconocer una proposición.
2. Identificar las conectivas.
3. Reconocer una tautología.
4. Reconocer una equivalencia lógica.
5. Reconocer una deducción lógica.
6. Explicar la diferencia entre tautología y equivalencia lógica.
7. Explicar la diferencia entre deducción lógica y equivalencia lógica.
8. Enunciar las propiedades de las conectivas mediante equivalencias lógica.

Destrezas:

1. Determinar el valor de verdad de una proposición.
2. Demostrar que una proposición es una tautología.
3. Demostrar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes.
4. Demostrar propiedades de las conectivas lógicas.

Introducción

Los Fundamentos de la Matemática es el estudio de los conceptos fundamentales de las diversas teorías que, en su conjunto, componen lo que se denomina Matemática. Por su parte, cada una de estas teorías es, fundamentalmente, una colección de

llama axiomas ); las demás proposiciones de la teoría se deducen de los axiomas y, por este hecho, se las considera verdaderas. A estas proposiciones se las denomina teoremas. Cuando se estudia o desarrolla una teoría matemática, es justamente la Lógica matemática la teoría que nos provee los conceptos y procedimientos (o métodos) necesarios para deducir las proposiciones a partir de sus axiomas. Un concepto que no se define de ninguna manera no es de utilidad alguna. Por ello, aunque los conceptos primitivos no se definen explícitamente, sí se los defi- ne implícitamente mediante los axiomas. Es decir, los axiomas son proposiciones que describen las propiedades o características básicas o fundamentales de los con- ceptos primitivos; por ello, decimos que los axiomas definen implícitamente los conceptos primitivos. Este es el segundo papel que juegan los axiomas. Vamos a modificar ligeramente las definiciones de concepto definido y teorema dadas originalmente para que estas apliquen de manera correcta a las teorías que abordaremos en este curso.

1. Un concepto definido es todo concepto que se define únicamente mediante los conceptos primitivos o mediante cualquier concepto previamente defini- do a través de otros conceptos o los conceptos primitivos, siempre y cuando dentro de esos conceptos previos no conste el que se está definiendo.
2. Un teorema es toda proposición que se deduce únicamente de los axiomas o de teoremas previamente deducidos a partir de los axiomas o de otros teore- mas, siempre y cuando dentro de esos teoremas previos no conste el que se está deduciendo.

En este primer capítulo, vamos a estudiar los conceptos fundamentales de la Lógica de proposiciones: proposición y deducción lógica , y otros que permitirán en- tender y realizar deducciones en las teorías matemáticas sobre los conceptos fun- damentales de la Matemática como son: conjunto , número real , número complejo , función , función polinómica y función racional. Otros conceptos fundamentales que aprenderemos son las razones trigonométricas , los exponentes reales y los logaritmos.

1.2 Proposiciones

La mayoría de las proposiciones vistas en los ejemplos anteriores pertenecen a la Lógica de predicados. Sin embargo, el modo en el que están formuladas oculta la pre- sencia de estos, con lo cual se resaltan las características de la Lógica de proposiciones. Ahora bien, en estos ejemplos, sobresalen dos de las características fundamen- tales de una proposición :

1. Una proposición necesariamente tiene que ser o verdadera o falsa. A esta característica se le conoce con el nombre Principio del tercero excluido.

2. Una proposición no puede ser verdadera y falsa. A esta característica se le conoce con el nombre Principio de no contradicción.

Una tercera característica de las proposiciones (que es menos aparente en los ejemplos anteriores), es el hecho de que una proposición se puede expresar me- diante otras proposiciones. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos: Proposiciones expresadas mediante otras proposiciones

1. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados también son congruentes. Esta es una proposición que se expresa a través de dos proposiciones: i) los dos lados de un triángulo son congruentes; y ii) los ángulos opuestos a los dos lados congruentes son también congruentes. Y estas dos proposiciones se relacionan mediante las palabras Si , entonces y una coma : Si los dos lados de un triángulo son congruentes , entonces los ángulos opues- tos a los dos lados congruentes son también congruentes.
2. Si el producto de dos números reales es igual a 0 , entonces uno de los dos es igual a 0. En este caso, las proposiciones mediante las que se expresa la proposición ori- ginal son: i) el producto de dos números reales es igual a 0; ii) uno de los números es igual a 0; y iii) el otro número es igual a 0. Además de las palabras: Si , entonces , la coma y la palabra o : Si el producto de dos números reales es igual a 0 , entonces uno de los números es igual a 0 o el otro es igual a 0.
3. Dos rectas paralelas no se intersecan. Esta proposición se expresa mediante la proposición Dos rectas paralelas se intersecan. con la ayuda de la palabra no : Dos rectas paralelas no se intersecan. Aunque no es frecuente, esta proposición suele escribirse diferente pero con- servando el mismo sentido: No es verdad que dos rectas paralelas se intersequen. En este caso, se utiliza la frase no es verdad que la cual significa lo mismo que el simple no utilizado en la proposición original.

2. La proposición En una recta, hay al menos dos puntos distintos. En este caso, el modo en que la Matemática lo interpreta es el siguiente: Para toda recta, existen dos puntos tales que son distintos y están en la recta.

En este caso, también aparece la palabra existen. Este tipo de proposiciones tam- bién es clave en la Matemática. Cabe interpretar esta última proposición de forma alternativa: Si una figura geométrica es una recta , entonces existen dos puntos tales que son distintos y están en la recta. En esta interpretación, hemos cambiado el Para toda por la pareja si - entonces ; no obstante, es más difícil reemplazar la palabra existen. Volveremos en el siguiente capítulo a estas proposiciones.

3. Las siguientes proposiciones: (a) Una recta es un conjunto de puntos. (b) Un plano es un conjunto de puntos. (c) El número 1 es positivo. (d) El número 0 es el elemento neutro de la suma. son ejemplos de proposiciones que no se expresan mediante otras proposiciones.

Como se dijo, la Lógica de proposiciones también es una teoría matemática. Por tanto, en sentido estricto, su estudio debería seguir el mismo patrón que el estudio de otras teorías matemáticas. Sin embargo, como se mencionó en la introducción, este curso abordará brevemente aquellos aspectos de la Lógica de proposiciones que nos permite definir el concepto deducción , el que aplicaremos en el estudio de los conceptos fundamentales indicados. Por supuesto, vamos a presentar la mayoría de los conceptos primitivos y los correspondientes axiomas de la Lógica de proposiciones (aunque no todos). Para em- pezar, asumimos que proposición es un concepto primitivo y que los axiomas que lo definen expresan, precisamente, las tres características sobre las proposiciones que enunciamos anteriormente. Respecto de la tercera característica, solo nos ocuparemos de las proposiciones sin predicados. Las palabras mediante las cuales se expresa una proposición a través de otras que elegiremos son: no , y , o , si - entonces , si y solo si^1. Para estas cinco palabras, los conceptos primitivos correspondientes son negación , conjunción , disyunción , implicación y doble implicación.

(^1) En el español hay variantes gramaticales de estas palabras que se usan frecuentemente. Por ejem- plo: no es cierto que es una variante de no ; siempre y cuando , variante de si y solo si ; o bien - o bien , variante de o , entre otras.

1.2.1 Conceptos primitivos y el primer axioma

Los conceptos primitivos son: proposición , verdadero , falso , valor de verdad de una proposición , negación , conjunción , disyunción , implicación y doble impli- cación. Mediante el siguiente axioma, definimos implícitamente estos conceptos primiti- vos:

AXIOMA 1.1 ( Principios fundamentales ) Los axiomas que definen los conceptos primitivos son:

1. Principio del tercero excluido: El valor de verdad de toda proposición o bien es verdadero o bien es falso.
2. Principio de no contradicción: Si el valor de verdad de una proposición es ver- dadero , no puede ser también falso ; y si es falso , su valor de verdad no puede ser verdadero.
3. Conectivas: Hay proposiciones que se expresan mediante otras proposiciones y de una o más de las siguientes palabras (a las que se les denomina conecti- vas ): negación , conjunción , disyunción , implicación o doble implicación.
4. Proposiciones simples: Hay proposiciones (denominadas simples ) que no se expresan mediante otras proposiciones.
5. Proposiciones: Toda proposición es, o bien simple , o bien se expresa únicamen- te mediante otras proposiciones y una o varias de las conectivas negación , conjunción , disyunción , implicación o doble implicación. Este axioma no define completamente los conceptos primitivos; más adelante, estableceremos otros para completar la definición. Como se indicó, las proposiciones de una teoría matemática son aquellas pro- posiciones que consideramos verdaderas, y las consideramos verdaderas porque se pueden deducir de los axiomas de dicha teoría. Por ello, en la siguiente subsección, abordaremos el axioma que nos permitirá estudiar el concepto primitivo valor de verdad de una proposición.

1.2.2 Valor de verdad de una proposición

Una característica de la Matemática a partir del siglo XVI es el simbolismo. El uso de signos con significados le permitió a la Matemática desarrollar teorías más abs- tractas y generales, al punto de convertirse, en la actualidad, en una herramienta poderosa para resolver problemas que afectan o ayudan a las personas. Esta característica se ve reflejada en todo el desarrollo de las teorías matemáticas a partir del siglo XVII. Y la Lógica no es la excepción. Por ello, en el enunciado de axiomas y teoremas, en la presentación de los conceptos primitivos y en las definiciones de los conceptos que no son primitivos, introduciremos también los

5. Utilizaremos los paréntesis ( y ) como signos de agrupación, con el fin de evitar ambigüedades. Por ejemplo, si escribiéramos

P ∧ Q ∨ R

no podríamos determinar cuál de las dos proposiciones representa:

P ∧ (Q ∨ R) o (P ∧ Q) ∨ R.

El uso de los paréntesis no deja posibilidad de confusión.

Abuso de lenguaje

Aunque P no es una proposición (es un signo que representa una proposición), abusaremos del lenguaje y diremos con frecuencia “P es una proposición” o “la proposición P” en lugar de decir “P representa una proposición” o “la propo- sición representada por P”.

Axiomas para el valor de verdad de una proposición

Como el concepto valor de verdad de una proposición es primitivo, debemos es- tablecer los axiomas que lo definan implícitamente. Ahora bien, el axioma 1.1, numeral 4, asegura la existencia de proposiciones que no se expresan mediante otras proposiciones. Por el Principio del tercero excluido, su valor de verdad es o bien verdadero o bien falso. A excepción de las proposiciones simples, el resto de proposiciones se expresan necesariamente mediante otras proposiciones y una o varias de las cinco conectivas (debido al numeral 5 del axioma de los Principios Fundamentales):

toda proposición, o bien es una que no se expresa mediante otras pro- posiciones (es decir, es simple), o bien es únicamente una de las cinco proposiciones siguientes:

¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q,

donde P y Q no son necesariamente proposiciones simples.

Por ello, para definir implícitamente el valor de verdad de una proposición, es suficiente con indicar los valores de verdad de cada una de las cinco proposiciones anteriores, según el valor de verdad de las proposiciones P y Q. Y esto es lo que establece el siguiente axioma.

AXIOMA 1.2 ( Valor de verdad de una proposición ) Si P y Q representan proposiciones, entonces:

1. Axioma de la negación: El valor de verdad de la negación de una proposición es el valor de verdad opuesto de dicha proposición. Así, el valor de verdad de ¬P es el valor de verdad opuesto al de P. En otras palabras,

• si el valor de verdad de P es v, entonces el valor de verdad de ¬P es f; y,
• si el valor de verdad de P es f, el de ¬P es v.

2. Axioma de la conjunción: El valor de verdad de la conjunción de dos proposi- ciones es verdadero únicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. Así, el valor de verdad de P ∧ Q es verdadero únicamente si los valores de verdad de P y Q son ambos verdadero. En otras palabras,

• si los valores de verdad de P y Q son ambos v, el valor de verdad de P ∧ Q es v.
• En cambio, si los valores de verdad de P y Q son opuestos o ambos son f, el valor de verdad de P ∧ Q es f.

3. Axioma de la disyunción: El valor de verdad de la disyunción de dos proposi- ciones es falso únicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. Luego, el valor de verdad de P ∨ Q es falso únicamente si los valores de verdad de P y Q son ambos falso. En otras palabras,

• si los valores de verdad de P y Q son ambos f, el valor de verdad de P ∨ Q es f.
• En cambio, si los valores de verdad de P y Q son opuestos o ambos son v, el valor de verdad de P ∨ Q es v.

4. Axioma de la implicación: El valor de verdad de implicación de dos proposi- ciones es falso únicamente si el valor de verdad del antecedente es verdadero y el del consecuente, falso. Es decir, el valor de verdad de P ⇒ Q es falso únicamente si el valor de verdad de P es verdadero y el de Q es falso. En otras palabras,

• si el valor de verdad de P es v y el de Q es f, el valor de verdad de P ⇒ Q es f.
• En cambio, si el valor de verdad de P es f, el valor de verdad de P ⇒ Q es v, independientemente del valor de verdad de Q; y,

Es muy fácil ver que los cinco axiomas enunciados en el axioma 1.2 se pueden resumir a través de las siguientes tablas:

P ¬P

v f f v

P Q P ∧ Q

v v v v f f f v f f f f

P Q P ∨ Q

v v v v f v f v v f f f

P Q P ⇒ Q

v v v v f f f v v f f v

P Q P ⇔ Q

v v v v f f f v f f f v

Se puede ver del axioma 1.2 que el valor de verdad de cualquiera de las cinco proposiciones del numeral 3 del axioma de los Principios Fundamentales depende del valor de verdad de las proposiciones mediante las cuales se expresan. Si P representa una proposición cualesquiera, no sabemos cuál es su valor de verdad. Luego, el valor de verdad de ¬P puede ser f si el valor de verdad de P es v; y, puede ser v si el valor de verdad de P es f. En otras palabras, si desconocemos el valor de verdad de P, sobre el valor de verdad de ¬P hay dos posibilidades únicamente. En este punto es importante no confundir el hecho de que “hay dos posibilidades para el valor de verdad de ¬P”

con el hecho de que

“en cada una de esas posibilidades, el valor de verdad de ¬P es único”. En este sentido, el número posibilidades de valores de verdad para

P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q o P ⇔ Q, (1.1)

según los valores de verdad de P y de Q es cuatro. En efecto, según los dos posibles valores de verdad de P y los dos posibles valores de verdad de Q, hay 2 × 2 (es decir, 4) posibilidades para el valor de verdad de cualquiera de las cuatro proposiciones en (1.1) A continuación, veamos algunos ejemplos para ilustrar cómo se determina el valor de verdad de una proposición utilizando los axiomas de las cinco proposicio- nes ¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q y P ⇔ Q. (1.2)

Ejemplos: El valor de verdad de una proposición

1. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición

(P ⇒ Q) ∨ (Q ⇒ P)

si el valor de verdad de P es f y el de Q es v?

Respuesta. Esta proposición es la disyunción de P ⇒ Q y de Q ⇒ P. Por tanto, para determinar el valor de verdad de la proposición en cuestión, si el valor de verdad P es f y el de Q es v, tenemos que determinar antes los valores de verdad de: (a) P ⇒ Q; (b) Q ⇒ P; y (c) la disyunción de P ⇒ Q y de Q ⇒ P. Procedamos: (a) Como el valor de verdad de P es f, sabemos que, independientemente del valor de verdad de Q, el valor de verdad de P ⇒ Q es v. (b) Por el axioma del valor de verdad de la implicación, el único caso en que el valor de verdad de Q ⇒ P es f es si el valor de verdad de Q es v y el de P es f. Y este es el caso. Por tanto, el valor de verdad de Q ⇒ P es f. (c) El valor de verdad de la disyunción de P ⇒ Q y Q ⇒ P es v porque los valores de verdad de estas dos proposiciones son opuestos. El procedimiento que acabamos de realizar se puede resumir de la siguiente manera: P Q P ⇒ Q Q ⇒ P (P ⇒ Q) ∨ (Q ⇒ P) f v v f v

2. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición

((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

si el valor de verdad de P es falso?

Respuesta. Esta proposición es la implicación de la conjunción de la implicación de P y Q, y de Q y de P. Por tanto, si el valor de verdad de P es f, antes debemos determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones, tanto si el valor de verdad de Q es v como si es f: (a) P ⇒ Q; (b) (P ⇒ Q) ∧ Q; y (c) la implicación de (P ⇒ Q) ∧ Q y de P. Procedamos: (a) El valor de verdad de P es f; así, independientemente del valor de verdad de Q, el valor de verdad de P ⇒ Q es v (el axioma de la implicación asegura que el único caso en que el valor de verdad de la implicación de dos proposiciones es f es cuando el valor de verdad del antecedente es v y el consecuente es f, que no es el caso).

si se aplican los axiomas de la negación y de la disyunción^2. Al ser esta proposición verdadera, independientemente del valor de verdad de P, la proposición

el número real a es mayor que 0 o es menor o igual que 0

es una proposición verdadera en la teoría de Números reales. En este caso, P podría representar la proposición

el número a es mayor que 0

y, por tanto, ¬P representa

el número a es menor o igual que 0.

En resumen, para asegurar que la mencionada proposición de la teoría Números reales es verdadera, no se requiere una deducción en dicha teoría; basta con recurrir al hecho de que la proposición P ∨ ¬P

es verdadera independientemente de qué proposición particular representa P y cuál es su valor de verdad. Así, dada una proposición que puede representar cualesquier proposición y que está expresada mediante otras, surge la pregunta:

¿cuáles son todas las posibilidades para el valor de verdad de dicha proposición según los valores de verdad de las proposiciones mediante las que se expresa?

Por ejemplo, si P y Q representan cualesquier proposición, ¿cuáles son todas las posibilidades para el valor de verdad de la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q,

según los valores de verdad de P y de Q? Para responder estas dos preguntas (la general y la del ejemplo), procedamos de la siguiente manera. Si la proposición en cuestión estuviera expresada únicamente mediante una proposición; por ejemplo, la proposición

P ⇒ ¬P,

hay dos posibles valores de verdad: uno por cada uno de los valores de verdad que podría tener P. Así, si el valor de verdad de P fuera v, el de P ⇒ ¬P sería f; y, (^2) En efecto: P y ¬P tiene, por el axioma de la negación, valores de verdad opuestos; luego, los valores de verdad de P y ¬P no pueden ser ambos f. Luego, por el axioma de la disyunción, el valor de verdad de P ∨ ¬P es v, independientemente del valor de verdad de P.

si el valor de P fuera f, el de P ⇒ ¬P sería v. Estas dos posibilidades podemos expresarlas en el siguiente cuadro:

P ¬P P ⇒ ¬P v f f f v v

(No olvidemos que el cuadro siguiente

P ¬P P ⇒ ¬P f v v v f f

también resume las dos posibilidades encontradas). Ahora, supongamos que la proposición dada estuviera expresada mediante dos proposiciones; por ejemplo, la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q. (1.3)

Hay 4 posibilidades para el valor de verdad de esta proposición, como lo vimos antes (el número 4 se obtiene por la multiplicación de 2 y 2 que son el número de posibilidades para el valor de verdad de P y de Q, respectivamente). Estas cuatro posibilidades se pueden escribir en el siguiente cuadro, en el cual también se han registrado los valores de verdad de las proposiciones mediante las que está expre- sada la proposición (1.3):

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧ P ((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q f f f f v f v v f v v f v v f v v v v v

Este cuadro se suele denominar tabla de verdad de la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q.

En esta tabla se consignan todos los posibles valores de verdad de esta proposi- ción según los posibles valores de verdad de las proposiciones P y Q en conjunto. Veamos un ejemplo más: una proposición expresada mediante tres proposicio- nes; por ejemplo: ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q ⇒ R). Ya sabemos que cuando la proposición se expresa mediante dos proposiciones, hay 4 posibilidades. Por tanto, si se expresa por una proposición más, por cada una de esas 4, hay dos posibilidades debido a la tercera proposición. Esto significa