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nucleo e imagen de transformaciones, Esquemas y mapas conceptuales de Álgebra Lineal

Instituto Tecnológico de VillahermosaÁlgebra Lineal
Prof. Yzrael Ovando

tarea que te ayudara a resolver problemas

Tipo: Esquemas y mapas conceptuales

2020/2021

Subido el 09/12/2021

miguel-angel-ovando-lozano
miguel-angel-ovando-lozano 🇲🇽

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bg1
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Transformaciones lineales: núcleo e imagen.
Teorema 1
SeaT:VSWunatransformaciónlineal.Entoncesparatodoslosvectoresu,v,v1,
v2,...,vnenVytodoslosescalaresa1,a2,...,an:
i. T(0)=0
ii. T(u -v)=Tu -Tv
iii. T(a1v1+a2v2+...+anvn)=a1Tv1+a2Tv2+...+anTvn
Nota. Enlapartei)el0 delaizquierdaeselvectorceroenV;mientrasqueel0 dela
derechaeselvectorceroenW.
Teorema 2
SeaVunespaciovectorialdedimensiónfinitaconbaseB={v1,v2,...,vn}.Seanw1,
w2,...,wnvectoresenW.SupongaqueT1yT2sondostransformacioneslinealesdeV
enWtalesqueT1vi=T2vi=wiparai=1,2,...,n.Entoncesparacualquiervectorv ∈
V,T1v =T2v;esdecirT1=T2.
Ejemplo
pf3

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5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. Transformaciones lineales: núcleo e imagen. Teorema 1 Sea T : V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u , v , v 1, v 2,... , v n en V y todos los escalares a1, a2,... , a n : i. T ( 0 ) = 0 ii. T ( u - v ) = T u - T v iii. T (a1 v 1 + a2 v 2 +.. .+ a n v n ) = a1 T v 1 + a2 T v 2 +.. .+ a nT v n Nota. En la parte i ) el 0 de la izquierda es el vector cero en V ; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W. Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = { v 1, v 2,... , v n }. Sean w 1, w 2,... , w n vectores en W. Suponga que T 1 y T 2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T 1 v i = T 2 v i = w i para i = 1, 2,... , n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T 1 v = T 2 v ; es decir T 1 = T 2. Ejemplo

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces i. El núcleo de T, denotado por un, está dado por ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por Observación 1. Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W. Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T. Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran utilidad. Teorema 4 Si T:V W es una transformación lineal, entonces i.Un T es un subespacio de V. ii.Im T es un subespacio de W. Demostracion i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T. ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T. Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}. Ejemplo 4 Núcleo e imagen de la transformación identidad