Transformaciones Lineales: Núcleo y Imagen, Diapositivas de Física Matemática

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Departamento de Ciencias

MATEMÁTICA BÁSICA

PARA INGENIERÍA

SESIÓN 6: Transformaciones lineales

INTRODUCCIÓN

Situación problemática

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere 2 tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como y , y a los materiales por y. En la siguiente tabla se muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requiere para fabricar una unidad de cada producto. y Productos Materiales Si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan?

LOGRO DE

SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas sobre transformaciones lineales haciendo uso de la definición y propiedades, además determina el núcleo e imagen de la transformación lineal, con coherencia lógica y exactitud en sus cálculos. Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas sobre transformaciones lineales haciendo uso de la definición y propiedades, además determina el núcleo e imagen de la transformación lineal, con coherencia lógica y exactitud en sus cálculos.

Contenidos

Transformaciones lineales

Núcleo de una T.L.

Imagen de una T.L.

Transformaciones lineales

EJEMPLO 1: Sea la aplicación tal que. Verifique si es una transformación lineal. SOLUCIÓN:

Transformaciones lineales

Solución

Transformaciones lineales

Solución

Transformaciones lineales

EJEMPLO 3: SOLUCIÓN: Sea la aplicación tal que. Verifique si es una transformación lineal.

Propiedades de las T.L.

Sea una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de orden , tal que: TEOREMA^ TEOREMA , Observación^ Observación En este teorema se supone que todo vector en y está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para y , por supuesto que se obtendrá una matriz diferente.

Propiedades de las T.L.

Matriz de transformación La matriz en el teorema anterior se denomina matriz de transformación correspondiente a o representación matricial de. DEFINICIÓN^ DEFINICIÓN Observación^ Observación Si es una transformación lineal, resulta sencillo obtener como la matriz cuyas columnas son los vectores , donde vectores de la base canónica o estándar de.

Propiedades de las T.L.

SOLUCIÓN: EJEMPLO 2: (^) Dada la transformación lineal definida por: Encuentre la matriz de transformación.

Núcleo e imagen de una Transformación Lineal Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T:V→W una transformación lineal. Entonces I. El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por: II. La imagen o rango de T, denotado por TEOREMA DE LA DIMENSIÓN Dada la transformación lineal de V en W. La relación entre las dimensiones del núcleo o kernel y del rango de T es: dim (^) ( 𝑁 ( 𝑇 ) (^) ) + dim (^) ( 𝐼𝑚 ( 𝑇 ) (^) ) = dim ( 𝑉 )

Núcleo de una

Transformación Lineal

EJEMPLO 1: Determinar el núcleo de la transformación lineal tal que

Imagen de una

Transformación Lineal

EJEMPLO 1: SOLUCIÓN:

Determinar la imagen de la transformación lineal tal que