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Tema 5: Aplicaciones lineales
1. Definición, primeras propiedades y ejemplos
Definición: Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo . Una función : → se dice que es una aplicación lineal si cumple las dos siguientes propiedades:
- Para todo par de vectores ∈
( + ) = () + ()
- Para todo vector ∈ y todo escalar ∈
() = ()
Propiedades:
- Dada una aplicación : → entre dos espacios vectoriales y se tiene que es lineal si y sólo si ( + ) = () + () para todo par de vectores ∈ y todo par de escalares ∈ (así las dos propiedades de la definición pueden resumirse sólo en una).
- Si : → es una aplicación lineal, entonces (0 ) = 0.
La primera propiedad (que resume las dos anteriores de la definición) nos dice que las aplica- ciones lineales son las que transforman combinaciones lineales de (dos o más) vectores del espacio vectorial inicial en las correspondientes combinaciones lineales de sus respectivas imágenes. La última propiedad nos proporciona un criterio útil, en ocasiones, para asegurar que ciertas aplicaciones son lineales: las que no cumplan el requisito anterior, es decir, las aplicaciones entre espacios vectoriales, en las que el vector no nulo tenga imagen no nula. Ejemplos:
- La aplicación : R^2 → R^3 definida por
( ) = (− + 5 2 0)
es lineal. Para probarlo cojamos vectores ( ) ( ) ∈ R^2 y escalares arbitrarios ∈ R. Entonces
([( ) + ( )] = ( + + ) = (− − + 5 + 5 2 + 2 0)
( )+ ( ) = (−+5 2 0)+(−+5 2 0) = (−+5 2 0)+(−+ 5 2 0) y ambas cosas coinciden, con lo que la aplicación es lineal.
- La aplicación : R^2 → R^2 definida por
( ) = (2 − )
no es lineal, pues basta observar que (0 0) = (2 0) 6 = (0 0).
- La aplicación : R^2 → R^2 definida por
( ) = ( 2 )
no es lineal a pesar de que (0 0) = (0 0). Para probarlo cojamos dos vectores ( ) ( ) ∈ R^2 y dos escalares ∈ R. Entonces
[( ) + ( )] = ( + + ) = = [( + ) · ( + ) 2( + )] y
( ) + ( ) = ( 2 ) + ( 2 ) = ( + 2 + 2) y ambas cosas no tienen por qué coincidir, pues si tomamos los valores = 2 = 0 = = = = 1 se tiene que lo primero vale (4 4) y lo segundo vale (2 4).
- La aplicación : R^2 → R definida por
( ) = − 2 + 3
es lineal. Para probarlo cojamos vectores ( ) ( ) ∈ R^2 y escalares cualesquiera ∈ R. Entonces
(( ) + ( )) = ( + + ) = −2( + ) + 3( + ) y
( ) + ( ) = (− 2 + 3) + (− 2 + 3) = − 2 + 3 − 2 + 3 y ambas cosas coinciden.
Cuando tengamos una aplicación : R^ → R^ a la expresión del vector ( 1 2 ) ∈ R la denominaremos expresión analítica de . Así en el primer ejemplo de los anteriores en el que teníamos una aplicación lineal su expresión analítica es
Observación: En la práctica para ver que una aplicación
: R^ → R
es lineal basta observar si en cada una de las componentes de la expresión analítica de aparecen CL de las incógnitas genéricas 1 2 de R.
Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R^2 → R^3 vista anteriormente y definida por
( ) = (− + 5 2 0)
Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de . En primer lugar
ker = {( )|( ) = 0} = {( )|(− + 5 2 0) = (0 0 0)}
Así ker es el subespacio de R^2 que tiene por ecuaciones implícitas ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩
La única solución de este sistema es el vector (0 0). Así ker = 0, luego es inyectiva. Tomando un SG de R^2 , por ejemplo {(1 0) (0 1)}, sabemos que los vectores
(1 0) = (− 1 2 0) (0 1) = (5 0 0)
forman un SG de Im . Y al ser además LI es claro que forman también una base de Im , luego
dim Im = 2 6 = 3 = dim R^3
y no es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R^5 → R^4 definida por
( 1 2 3 4 5 ) = (2 1 − 4 3 3 0 5 1 + 5 )
Hallemos tanto el núcleo como la imagen de y veamos las propiedades de . Las ecuaciones implícitas de ker son 2 1 − 4 = 0 3 3 = 0 0 = 0 5 1 + 5 = 0 Después de eliminar la tercera ecuación obtenemos una posible escalonación del sistema − 4 +2 1 = 0 5 1 + 5 = 0 3 3 = 0 así, eligiendo como parámetros 2 = y 5 = y resolviendo el sistema tendríamos unas ecuaciones paramétricas de ker (^) ⎧ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩
4 = −^25
de donde una base de ker sería
{(0 1 0 0 0) (−^15 0 0 −^25 1)}
luego no es inyectiva. La imagen de estará generada por los vectores
(1 0 0 0 0) (0 1 0 0 0) (0 0 1 0 0) (0 0 0 1 0) (0 0 0 0 1)
que son, respectivamente,
(2 0 0 5) (0 0 0 0) (0 3 0 0) (− 1 0 0 0) (0 0 0 1)
de donde puede obtenerse una base de Im , por ejemplo
{(0 3 0 0) (− 1 0 0 0) (0 0 0 1)}
luego no es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R^2 → R definida por
( ) = 2 − 3
Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de . En primer lugar ker = {( )| ( ) = 0} = {( )| 2 − 3 = 0}
Así ker ≤ R^2 tiene por ecuación implícita 2 − 3 = 0. En consecuencia dim ker = 1 y no es inyectiva. Tomando un SG de R^2 , por ejemplo {(1 0) (0 1)}, sabemos que los vectores
(1 0) = 2 (0 1) = − 3
forman un SG de Im . Como éste subespacio de R debe tener dimensión 1 (= dim R^2 − dim ker ) éste debe ser todo R (al coincidir las dimensiones), por tanto Im = R, y por tanto sería una base suya, por ejemplo, { 2 }. Así es suprayectiva. no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal : R^4 → R^4 definida por
( ) = ( 2 − 3 + 2 + 2 4 + + 5 + 7)
Hallemos tanto el núcleo como la imagen de y veamos las propiedades de . La imagen de estará generada por los vectores
(1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)
que son, respectivamente,
(1 2 3 4) (0 − 1 2 1) (0 0 2 5) (0 0 0 7)
se observa claramente que éstos son una base del codominio R^4 , por lo que la aplicación es suprayec- tiva. Luego aplicando la fórmula de las dimensiones se cumple que
dim R^4 = dim ker + dim Im
3. Existencia y unicidad de aplicaciones lineales
Para una aplicación lineal : R^ → R^ hay otras formas de tener determinada además de la expresión analítica. Para darnos cuenta de ello y para disponer de un mecanismo de construcción de aplicaciones lineales resulta de utilidad el siguiente teorema (válido para aplicaciones lineales no sólo entre espacios vectoriales de la forma R^ y R): Teorema: (Existencia y unicidad de aplicaciones lineales) Sean y -espacios vecto- riales. Dada una base = { 1 2 } de y un sistema de vectores 1 2 de existe una única aplicación lineal : → tal que
( 1 ) = 1 ( 2 ) = 2 () =
Nota: Daremos una idea de cómo está definida tal aplicación. Dado ∈ , si sus coordenadas respecto de la base son = ( 1 2 ), es decir
= 1 1 + 2 2 + +
entonces se tiene que () = 1 1 + 2 2 + +
De esta forma tenemos construida una aplicación que es lineal y que cumple lo requerido (y es la única que lo cumple). Ejemplo: Sea : R^3 → R^2
una aplicación lineal de la que se conocen las imágenes de los vectores
(1 0 0) (1 2 −1) (2 3 1)
Probar que entonces queda totalmente determinada por dichas imágenes. Si conseguimos demostrar que el sistema
= {(1 0 0) (1 2 −1) (2 3 1)}
es una base de R^3 el Teorema de existencia y unicidad de aplicaciones lineales garantizaría en efecto que la aplicación lineal está totalmente determinada por las imágenes de dichos vectores. Pero es inmediato que los 3 vectores son LI, pues el rango de la matriz ⎛ ⎜⎝
es 3 , luego queda probada la afirmación.
Ejemplo: Sea : R^2 → R^2
una aplicación lineal que verifica que
(1 1) = (1 −1) y (1 0) = (3 2)
Hallar (5 2). Poniendo el vector (5 2) como combinación lineal de los vectores (1 1) y (1 0) obtenemos
(5 2) = (1 1) + (1 0) = ( + )
de donde se deduce que = 2 y = 3. En definitiva
(5 2) = [2(1 1) + 3(1 0)] = 2(1 1) + 3 (1 0) = 2(1 −1) + 3(3 2) = (11 4)
Ejemplo: Dada la base de R^2 formada por los vectores {(− 2 1) (− 1 0)} y dada la aplicación lineal : R^2 → R^3
cumpliendo que
(− 2 1) = (1 0 1) (− 1 0) = (2 − 1 1)
determinar la expresión analítica de . La expresión analítica de una aplicación lineal viene deter- minada por la imagen de un vector genérico ( ), así que expresaremos este vector como CL de los vectores de la base ( ) = (− 2 1) + (− 1 0) = (− 2 − )
Luego
= − 2 − =
y, en definitiva
= = − − 2
Así hemos obtenido que ( ) = (− 2 1) + (− − 2 )(− 1 0) ( ) = [(− 2 1) + (− − 2 )(− 1 0)] = (− 2 1) + (− − 2 )(− 1 0)] = = (1 0 1) + (− − 2 )(2 − 1 1) = ( 0 ) + (− 2 − 4 + 2 − − 2 ) = = (− 2 − 3 + 2 − − )
y tomemos las bases canónicas de ambos espacios vectoriales y , la fórmula anterior queda así
() = → () ·
y como las coordenadas de cualquier vector en la base canónica son las propias componentes del vector, lo que tenemos realmente es
() = → ( ) ·
de donde vemos que podemos obtener la expresión analítica de sin más que multiplicar por la matriz asociada a respecto de las bases canónicas:
( 1 2 )^ = → ( ) ·
obteniendo la expresión analítica en forma de columna. Observación: Observemos que si : R^ → R
es una aplicación lineal y = → ()
es la matriz asociada a respecto de las bases canónicas, entonces
ker = ker
Ejemplo: Obtener la matriz asociada respecto de las bases canónicas de la aplicación lineal
: R^2 → R^4
cuya expresión analítica es ( ) = ( − 0 3 + 5 7 ) Como
(1 0) = (1 0 3 0) (0 1) = (− 1 0 5 7)
la matriz pedida es
Ejemplo: Para la aplicación lineal : R^3 → R^2
cuya expresión analítica es ( ) = ( − 4 − 3 − )
y las bases
= {(1 2 3) (0 − 1 0) (3 − 1 −2)} 2 = {(1 0) (0 1)}
hallar la matriz → 2 () Como las imágenes de los vectores de salen
(1 2 3) = (− 10 1) (0 − 1 0) = (4 1) (3 − 1 −2) = (9 10)
y la base final es la canónica, la matriz pedida es à − 10 4 9 1 1 10
Ejemplo: Obtener la expresión analítica de la aplicación lineal
: R^3 → R^3
cuya matriz asociada respecto de la base canónica es ⎛ ⎜⎝
Ésta es
( )^ =
o puesto en forma de vector-fila
( ) = ( − + 2 2 + 3 + )
Ejemplo: Dada la aplicación lineal : R^2 → R^2 cuya expresión analítica es
( ) = ( − + 2)
hallar la matriz asociada a respecto de las bases
= {(3 1) (− 1 2)} ^0 = {(0 1) (1 −1)}
Mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que
(3 1) = (2 5) (− 1 2) = (− 3 3)
Omitiendo los cálculos intermedios para hallar las coordenadas de estos vectores se puede duducir que
(1 2 3) = 0(0 0 1) + 3(1 0 1) − 2(1 − 1 0) (− 2 6 −6) = −10(0 0 1) + 4(1 0 1) − 6(1 − 1 0)
De esto deducimos que
(2 1) 0 = (0 3 −2) (1 3) 0 = (− 10 4 −6)
- Para el segundo apartado bastaría con multiplicar para obtener
Ã
Antes de pasar a ver propiedades de la matriz asociada veamos otras de las aplicaciones lineales y que nos servirán:
Propiedades:
- La composición de aplicaciones lineales es lineal.
- La aplicación identidad (que es el elemento neutro para la composición) es lineal.
- La inversa de una aplicación biyectiva lineal es de nuevo lineal.
4.1. Propiedades de la matriz asociada
- Dada una matriz de orden × con coeficientes sobre un cuerpo y dadas dos bases y ^0 de R^ y R, respectivamente, siempre existe una única aplicación lineal
: R^ → R
de manera que es la matriz asociada a respecto de las bases, es decir,
= → 0 ()
- El rango de la matriz asociada coincide con la dimensión de la imagen (también se llama rango de la aplicación lineal), sean cuales sean las dos bases elegidas. Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal
: R^3 → R^4
cuya matriz asociada respecto a sendas bases es ⎛ ⎜⎜ ⎜⎝
es inyectiva. Para ello basta con que calculemos el rango, que es 2. Entonces
dim Im = 2
y dim ker = 3 − 2 = 1 6 = 0 luego no es inyectiva. Ejemplo: Determinar si la aplicación lineal
: R^3 → R^3
cuya matriz asociada respecto a una base de R^3 es ⎛ ⎜⎝
es biyectiva. Para ello basta con que calculemos el rango y veamos que es 3 , luego
dim Im = 3
y por tanto la aplicación lineal es suprayectiva. Como
dim ker = 3 − 3 = 0
es también inyectiva, y en conclusión, biyectiva.
- Supongamos que tenemos dos aplicaciones lineales
−→ −→
y que tenemos bases ^0 y ^00 , respectivamente de y . Entonces se verifica la siguiente fórmula (∗) → 00 ( ◦ ) = (^0) → 00 () · → 0 ()
Ejemplo: Consideremos las aplicaciones lineales
R^4 −→ R^2 −→ R^3
- Supongamos que tenemos una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo (un endomorfismo : → ) y dos bases y ^0 de . Entonces si aplicamos la fórmula (*) (o el apartado anterior) tenemos que
(^0) → 0 ( ) = → 0 · → ( ) · (^0) →
Como → 0 = ( (^0) → )−^1 la fórmula anterior queda del siguiente modo
(^0) → 0 () = ( (^0) → )−^1 · → () · (^0) →
Nota: En el caso particular en que : R^ → R y = sea la base canónica vemos que siempre puede obtenerse la matriz (^0) → 0 () a partir de → (), pues (^0) → 0 () = → 0 · → () · (^0) → o equivalentemente (^0) → 0 ( ) = ( (^0) → )−^1 · → () · (^0) →
Definición: Dos matrices cuadradas del mismo tamaño y ^0 se dice son semejantes cuando existe una matriz invertible que cumple que
^0 = −^1
Con este concepto tenemos que la última fórmula prueba que matrices asociadas a la misma aplicación lineal respecto de bases distintas,
= → () ^0 = (^0) → 0 ( )
son matrices semejantes. Es más, puede comprobarse que 2 matrices que sean semejantes siem- pre van asociadas a algún endomorfismo del espacio vectorial, cada una respecto de una base (como se ve en el apéndice del tema). Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal
: R^3 → R^2
cuya expresión analítica es
( ) = ( − 3 + 2 − + 3)
Tomemos las siguientes bases respectivas
= {(1 2 −1) (2 1 0) (3 0 0)} ^0 = {(2 1) (3 2)}
Hallar la matriz asociada a respecto de ambas bases.
Aplicaremos la fórmula
→ 0 () = ( (^0) → 2 )−^1 · 3 → 2 () · → 3
siendo 3 y 2 las bases canónicas respectivas. En primer lugar se tiene que
Ã
pues cuando la base final es la canónica la matriz cambio de base se obtiene de modo inmediato poniendo las componentes de los vectores de la primera base por columnas. En segundo lugar se tiene de modo sencillo que
3 → 2 ( ) =
Ã
Finalmente habría que calcular la inversa
( (^0) → 2 )−^1 =
Ã
(que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a continuación
Ã
Ã
Ã
Ã
Ejemplo: Consideremos el endomorfismo de R^2 cuya expresión analítica es
( ) = (2 − + 4)
Tomemos como bases de R^2 , la base canónica y la siguiente
= {(1 −1) (3 2)}
Hallar la matriz asociada a respecto de , es decir
→ ()
Aplicaremos la fórmula
→ ( ) = (→ )−^1 · → () · →
Ejemplo (extraído de un examen): Consideremos en R^3 la base
= { 1 = (− 1 0 1) 2 = (0 1 1) 3 = (0 1 0)}
y el endomorfismo tal que
→ () =
donde ∈ R cumple que ( 2 + 3 ) = (5 1 −2).
- Demuestra que = 1.
- Calcula la expresión analítica de y la matriz de respecto de la base .
- Calcula ker e Im . ¿Es inyectiva?¿Es suprayectiva?
Solución:
- Como ( 2 ) = (0 1 1) = → ( )·(0 1 1)^ = (2+ 1 −1) y ( 3 ) = (0 1 0) = → ( )·(0 1 0)^ = (2 0 −1)^ se tiene que
(5 1 −2) = ( 2 + 3 ) = ( 2 ) + ( 3 ) = (0 1 1) + (0 1 0) =
= (2 + 1 −1) + (2 0 −1) = (4 + 1 −2) queda probado que = 1.
- La expresion analítica de es ( )^ = → ()·( )^ = (− + 2 + + − ). Para obtener la matriz de respecto de la base aplicamos la fórmula
→ ( ) = (→ )−^1 · → () · →
Teniendo en cuenta que
→ =
se deja como ejercicio el cálculo de la matriz → ().
- Como ker tiene por ecuaciones implícitas
− + 2 + = 0 + = 0 − = 0
al escalonarlo obtenemos
− + 2 + = 0 2 + 2 = 0 + = 0
y claramente podemos quitar la segunda ecuación y queda − + 2 + = 0 + = 0 Despejamos de la última = −, y nos sale de la primera = −. Por tanto una base del ker es {(− 1 − 1 1)}. Luego este subespacio tiene dimensión 1 6 = 0 y no es inyectiva. Para la imagen obtengamos un SG: Im = (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) = (− 1 1 1) (2 0 −1) (1 1 0) = = (− 1 1 1) (1 1 0) Esto dos vectores son un SG de Im . Luego este subespacio tiene dimensión 2 y por tanto no es suprayectiva.
5. Endomorfimos con significado geométrico
5.1. Homotecias (cambio de escala)
Sea un espacio vectorial euclídeo y ∈ R. Se llama homotecia de razón a la aplicación lineal : → definida por () = , ∀ ∈ . Ejemplo: En R^2 la homotecia de razón 3 está definida así: ( ) = (3 3 )
5.2. Proyecciones
Sea un espacio vectorial euclídeo y sean 1 y 2 subespacios de tales que = 1
L
Se llama proyección de base 1 y de dirección 2 a la aplicación lineal : → definida por
() =
si ∈ 1 0 si ∈ 2
(en definitiva, para cada vector ∈ , poniendo = 1 + 2 , con 1 ∈ 1 y 2 ∈ 2 , se tiene que () = ( 1 ) + ( 2 ) = 1 ). En el caso particular en que 2 = 1 ⊥^ a se le llama proyección ortogonal de base 1 , y la imagen mediante de un vector ∈ , es lo que nosotros denominamos proyección ortogonal del vector sobre el subespacio 1.
5.3. Simetrías
Sea un espacio vectorial euclídeo y sean 1 y 2 subespacios de tales que = 1
L
Se llama simetría de base 1 y de dirección 2 a la aplicación lineal : → definida por
() =
si ∈ 1 − si ∈ 2
(en definitiva, para cada vector ∈ , poniendo = 1 + 2 , con 1 ∈ 1 y 2 ∈ 2 , se tiene que () = ( 1 ) + ( 2 ) = 1 − 2 ). En el caso particular en que 2 = 1 ⊥^ a se le llama simetría ortogonal de base 1.
