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Exame Matemáticas I
7 / 02 / 2024 EXAMEN B
Solución
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 Total
Puntos 1 1 1 2 1 2 2 10
Calificación
- Calcule ( 1 punto)
(a) z
2 − 3 i
= 1 − i
z = ( 2 − 3 i) · ( 1 − i)
z = 2 − 2 i − 3 i − 3
z = − 1 − 5 i
(b)
z =
2 − i
1 + i
z =
2 − i
1 + i
1 − i
1 − i
z =
2 − 2 i − i − 1
1 + 1
z =
1 − 3 i
2
- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado
(a) (^1 / 2 punto)
z
2
z =
− 5 i ±
− 5 i ± i
z =
i
(b) (^1 / 2 punto)
z
2
z =
z =
− 4 ± 2 i
2
z = − 2 ± i
- Resuelve la siguiente ecuación ( 1 punto)
z
3 = (− 1 + i)
3
En primeiro lugar calculamos o módulo e argumento do número complexo
para elevar o cubo
ρ =
θ = arctan
= 135 o^ =
3 π
4
Hai que recordar que estamos ante un número complexo do segundo cuadrante.
Polo tanto
(− 1 + i)^3 =
2 · ei^
3 π 4
2 )^3 · e
9 π 4 i^ = (
2 )^3 · e
π 4 i
Neste momento hai que facerlle as raíces cúbicas. Recordemos que as raíces
cúbicas dun número complexo son
z = ρ
1 n (^) · e
θ+ 2 πK n i
Neste caso
z 1 =
2 · e
π 12 i
z 2 =
2 · e
9 π 12 i^ = 16
2 · e
3 π 4 i
z 3 =
2 · e
17 π 12 i
- Calcule y exprese el resultado en forma binómica
(a) ( 1 punto)
z = ( 1 + 2 i)^3
Neste caso é mellor usar o binomio de Newton
z = 1 + 3 · 2 i + 3 · ( 2 i)^2 + ( 2 i)^3 = 1 + 6 i − 12 − 8 i
z = − 11 − 2 i
(b) ( 1 punto)
z = (
3 + i)
16
Neste caso pasamos a forma exponencial
ρ =
θ = arctan
= 30 o^ =
π
6
E ahora elevamos a 16
z = 216 · e
16 π 6 i^ = 216 · e
8 π 3 i^ = 216 · e
2 π 3 i
z = 2
16 · e
2 π 3 i
(b) (^1 / 2 punto)
sen 2 x − cos x = 0
Neste caso temos que usar o seno do ángulo doble
2 sen x cos x − cos x = 0
Sacando factor común
cos x · ( 2 sen x − 1 ) = 0
Ahora, igualando cada término a cero
cosx = 0 =⇒ x = 90
o
π
2
, x = 270
o
3 π
2
2 sen x − 1 = 0 =⇒ sen x =
=⇒ x = 30 o^ =
π
6
, x = 150 o^ =
5 π
6
(c) ( 1 punto)
sen x + cos 2 x = 1
Neste caso usamos o coseno do ángulo doble
sen x + cos
2 x − sen
2 x = 1
sen x + ( 1 − sen^2 x) − sen^2 x = 1
sen x + 1 − 2 sen
2 x = 1
sen x − 2 sen^2 x = 0
sen x( 1 − 2 sen x) = 0
sen x = 0 =⇒ x = 0 o, x = 180 o^ = π
1 − 2 sen x = 0 =⇒ sen x =
=⇒ x = 30 o^ =
π
6
, x = 150 o^ =
5 π
6
- Calcula y representa de forma aproximada las raíces sextas del número 64 i ( 2 puntos)
Pasamos a forma exponencial
z = 64 · e
π 2 i
Calculamos as súas raíces Recordemos que as raíces cúbicas dun número com-
plexo son
z = ρ
1 n (^) · e
θ+ 2 πK n i
Neste caso
z 1 = 2 · e
π 2 6 i^ = 2 · e
π 12 i
z 2 = 2 · e
π 2 +^2 π 6 i^ = 2 · e
5 π 12 i
z 3 = 2 · e
π 2 +^4 π 6 i^ = 2 · e
9 π 12 i^ = 2 · e
3 π 4 i
z 4 = 2 · e
π 2 +^6 π 6 i^ = 2 · e
13 π 12 i
z 5 = 2 · e
π 2 +^8 π 6 i^ = 2 · e
17 π 12 i
z 6 = 2 · e
π 2 +^10 π 6 i^ = 2 · e
21 π (^12) i
Que podemos debuxar aproximadamente, tendo en conta que un ángulo de π
12
= 15 o
Figura 1 : raíces 6
