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Una introducción a los números complejos, incluyendo su definición, clasificación, representación gráfica y operaciones básicas. Se explica cómo los números complejos se introdujeron para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos, lo cual no era posible con los instrumentos gráficos tradicionales. Se detallan las propiedades y axiomas de los números complejos, como la clausura con respecto a la adición, la existencia del idéntico aditivo y del inverso aditivo, la existencia del idéntico multiplicativo, y la representación gráfica a través del módulo y el argumento. Además, se presentan ejemplos de operaciones con números complejos en sus diferentes formas (rectangular, polar y exponencial). El documento proporciona una sólida base teórica y práctica sobre los números complejos, lo cual es fundamental para el estudio de la matemática avanzada y la ingeniería.
Tipo: Monografías, Ensayos
1 / 19
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b. UNIDAD IMAGINARIA (
MATEMÁTICA BÁSICA
La primera vez que se plantean los números complejos se remonta a los tiempos de los griegos y
el intento de resolver ecuaciones de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) por medios
geométricos, utilizando los postulados que Euclides recoge en su obra “Los Elementos”. A
veces estas ecuaciones presentan en sus soluciones raíces de números negativos. Circunstancia
que hace que con los instrumentos gráficos no sea posible representar una solución para este
tipo de problemas, es más tampoco permite la utilización de números negativos, haciendo que
dicho objetivo es prácticamente imposible de realizar. No será hasta que surge el álgebra y el
intento de solucionar ecuaciones de tercer grado, cuando se retomen las investigaciones en el
campo complejo. Álgebra proviene de la palabra árabe al-jbar que significa restitución. Los
números ya no dependen de su equivalencia geométrica y se permite la utilización de números
como los negativos. (1)
Fue en Italia, durante el período del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se
dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban
envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de
Girolamo Cardano, publicado en 1545. (2)
Pero no será hasta 1539, cuando el médico y matemático Cardano conozca a Niccolo Fontana
(Tartaglia) y se interese por las ecuaciones cúbicas y su resolución, cuando se realicen avances
en el campo complejo. (1)
Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría
analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos.
Es en ese siglo, cuando Albert Girard sugiere que una ecuación polinómica debe tener tantas
raíces como indica su grado (contando su multiplicidad) y René Descartes utiliza el término
“imaginarios” para esas raíces que no son números reales. En cuanto a la forma de representar
los números complejos es el matemático ingles J. Wallis quien da la primera interpretación
grafica de los complejos en 1673.
En 1777 Leonhard Euler, es el primero en utilizar la notación i para la raíz cuadrada de −1 y
calculando logra relacionar con exponenciales y logaritmos complejos la fórmula:
e
iπ
Carl Friedrich Gauss obtuvo la primera demostración correcta del teorema fundamental del
álgebra en su tesis doctoral de 1797. Posteriormente en 1831 publica un trabajo en donde
expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a+bi, llamó a estos
números “números complejos”, y los representó geométricamente como puntos del plano. La
construcción de los números complejos como pares de números reales (a, b) se debe a William
Hamilton en 1833 Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser
algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando
imaginarios y gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del
templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro
del álgebra.
Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas, de
la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley. (2)
MATEMÁTICA BÁSICA
Definición:
Es el conjunto numérico denotado por C y definido de la manera siguiente:
Donde se rigen dos operaciones de composición interna: la adición (+) y la multiplicación (.)
Más una relación de igualdad.
( x , y ) +( u , v )=( x + u , y + v )
( x , y ) ( u , v )=( xu − yv , xv + yu )
Se denomina así al resultado de extraer el signo radical de índice par a números negativos.
Ejemplos:
2
b. UNIDAD IMAGINARIA (
)
Convencionalmente se denomina así al resultado de extraer raíz cuadrada al numero
.
2
Ejemplos:
√
10 i
√
40 i
√
2 i
Considerando exponentes enteros, en particular los naturales, cada potencia de la unidad
imaginaria se repetirá periódicamente cada 4 resultados.
i
1
= i
i
2
i
3
=− i
i
4
i
5
= i
i
6
TEOREMAS
i
n
n + 1
n + 2
n + 3
=
Ejemplo:
MATEMÁTICA BÁSICA
¿
=− x − yi
Ejemplos:
z = 2 − 10 i → Z
¿
=−( 2 − 10 i ) =− 2 + 10 i
z =− 3 + 15 i → Z
¿
=−(− 3 + 15 i )= 3 − 15 i
ADICIÓN
SEA:
1
= a + bi ∧ Z
2
= x + yi
1
2
1
2
1
2
=( a + bi ) +( x + yi )= a + bi + x + yi
1
2
=( a + x )+ ( b + y ) i
MULTIPLICACIÓN
SEA:
1
= a + bi ∧ Z
2
= x + yi
1
2
1
2
1
2
a + bi
x + yi
= ax + ayi + bxi + by i
2
¿ ax − by + ayi + bxi
1
2
=( ax − by )( ayi + bxi )
RESTA
Sea:
1
= a + bi ∧ Z
2
= x + yi
1
2
1
2
1
2
=( a + bi )−( x + yi )= a + bi − x − yi
1
2
=( a − x )+( b − y ) i
IGUALDAD
Sea:
1
= a + bi ∧ Z
2
= x + yi ;
1
2
1
2
↔ a = x ∧ b = y
POTENCIACIÓN
Sea:
1
= a + bi ,
1
, n ∈ Z
1
1
n
Se utiliza el teorema del binomio.
( a + bi )
n
∑
k = 0
n
(
n
k
)
¿ ¿) ∈ C , n ∈ Z , k ∈ N
MATEMÁTICA BÁSICA
Ejemplo:
( 2 + 3 i )
2
2
+2. ( 2 ) · ( 3 i ) +( 3 i )
2
= 4 + 12 i − 9 =− 5 + 12 i
RADICACIÓN
1
n
√
1
∈C ; n : número de raíces que posee
A demás se puede hallar por definición de la radicación.
Ejemplo:
5 + 12 i = a + bi → (
5 + 12 i )
2
¿( a + bi )
2
5 + 12 i = a
2
+( bi )
2
¿( a
2
− b
2
)+( 2 abi )
→ 5 = a
2
− b
2
∧ 12 = 2 ab
resolviendo
{
a = 3
b = 2
5 + 12 i = 3 + 2 i
{
a =− 3
b =− 2
Dado:
1
= a
1 + ¿ b
1
i ;Z
2
= a
2 + ¿ b 2
i ;Z 3
= a 3 + ¿ b
3
i ;Z
1 ,
Z
2 ,
Z
3
∈C ¿
¿
¿
i. CLAUSURA CON RESPECTO A LA ADICIÓN
1
2
1
2
1
2
=( a
¿
¿ 1 + b
1
i )+
a
2
2
i
=( a
¿
¿ 1 + a
2
b
1
2
i ¿ ¿
Por la clausura de los números reales con respecto a la adición, la suma de dos reales,
( a ¿
¿ 1 + a
2
b
1
2
número complejo.
ii. CONMUTATIVIDAD DE LA ADICIÓN
1
2
2
1
1
2
iii. ASOCIATIVIDAD DE LA ADICIÓN
[
1
2
]
3
1
[
2
3
]
1
2
3
iv. EXISTENCIA DE UN IDÉNTICO ADITIVO
Sea ( x + yi ) ∈ C el idéntico aditivo del campo, entonces para ( a 1
1
i ) ∈ C arbitrario, se tiene
que:
a
1
1
i
+( x + yi )=
a
1
1
i
Entonces por la igualdad de complejos, tenemos:
a
1
1
∧ b
1
1
Por lo tanto, como x , y ∈ R deben ser los idénticos aditivos en el campo de los números reales,
entonces:
x = y = 0
MATEMÁTICA BÁSICA
a
1
1
i
( x + yi )=
a
1
x − b
1
y
a
1
y + xb
1
i =( 1 + 0 i )
a
1
x − b
1
y = 1 ∧ a
1
y + xb
1
Resolviendo el sistema de ecuaciones en x , y ∈ R , se tiene que:
x =
a
1
a
1
2
1
2
∧ y =
− b
1
a
1
2
1
2
Por lo tanto, el inverso multiplicativo de ( a 1
1
i ) ∈ C es:
( a
1
1
i )
− 1
a
1
− b
1
i
a
1
2
1
2
De aquí podemos inferir que el inverso multiplicativo del elemento idéntico aditivo ( 0 + 0 i ) ∈C
no lo tiene, ya que el denominador debe ser diferente de cero “0”.
También llamado plano de gauss o diagrama de argan´d.
e. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
f. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Z
Es la distancia que existe desde el polo hasta el afijo de Z.
PROPIEDADES:
MATEMÁTICA BÁSICA
∀ z , z
1 ,
z
2
∈ C ∧ n∈ Z
+¿ ¿
¿
z
1
. z
2
=
z
1
z
2
|
z
1
z
2
|
z
1
z
2
; z
2
|
n
n
√
n
n
¿ z ∨¿
2
= z. z ¿
z
1
2
z
1
z
2
z
1
2
z
1
z
2
|
z
1
z
2
|
z
1
− z
2
Es la dirección del segmento de recta que contiene al modulo de Z medido en sentido
antihorario y denotado por Arg(Z)
tanθ =
y
x
⟶ θ =tan
− 1
y
x
La forma general del argumento de Z es:
Arg ( Z )= 2 πk + θ ;k =0,1,2,3,4 … …
Si k=0 entonces el Arg ( Z )= θ , a lo cual se le da el nombre de argumento principal de Z y debe
verificar lo siguiente:
0 ≤ θ < 2 π
Sea el complejo z = x + yi /
MATEMÁTICA BÁSICA
Dado el complejo z
1
z
1
e
θ
1
i
, z
2
z
2
e
θ
2
i
;i =
i. EN LA MULTIPLICACIÓN
z
1
. z
2
z
1
z
2
. e
i ( θ 1
)
ii. EN LA DIVISIÓN
z
1
z
2
z
1
2
e
i ( θ 1
− θ 2
)
iii. EN LA POTENCIA
z
n
i θ
n
n
e
i ( nθ )
i. EN LA RADICACIÓN
n
z =
n
√
z
e
i θ
n
√
z
e
i
(
2 πk + θ
n
)
; k =0,1,2,3 , …
TEOREMAS ADICIONALES
∀ k ∈ Z
cis
θ
1
= cis
θ
2
⟹ θ
1
= θ
2
∀ k ∈ Z
e
i ( θ
1
)
= e
i ( θ
2
)
⟹ θ
1
= θ
2
Adición y diferencia
Hallar “E”:
E=( 2 − 20 i ) +( 8 + 5 i )−( 5 + 4 i )
Solución:
E=( 2 − 20 i ) +( 8 + 5 i )−( 5 + 4 i )=( 2 + 8 − 5 )+(− 20 + 5 − 4 ) i = 5 − 19 i
∴ E = 5 − 19 i
Multiplicación
Si:
12
13
2
Calcular:
b
n
2
− a
2
Solución:
n i
12
13
2 i + n
= a
2
12
= 1 y i
13
= i
12 + 1
= i
n + i
n + 2 i
= a
2
MATEMÁTICA BÁSICA
( n ¿ ¿ 2 − 2 )+¿ ¿
→ n
2
− a
2
= 2 y b = 3 n
Reemplazando en lo que nos pide calcular:
b
n
2
− a
2
3 n
n
b
n
2
− a
2
División
Si: n ∈ R ∧ z =
3 ( n + i )+ 5 ( n + 3 i )
1 + 2 i
es un complejo real. Calcular: “n”.
Solución:
z =
3 ( n + i ) + 5 ( n + 3 i )
1 + 2 i
8 n + 18 i
1 + 2 i
1 − 2 i
1 − 2 i
( 8 n + 36 )+( 18 − 16 n ) i
2
−( 2 i )
2
( 8 n + 36 )
( 18 − 16 n ) i
Como z es un complejo real, significa que Im(z)=
ℑ( z )= 0 ⟶
( 18 − 16 n )
= 0 ⟶ 18 = 16 n
∴ n =
Potencia
Si:
3
Calcular:
√
( m
3
− a )( b + n
3
( mn )
3
Solución:
3
a + bi = m +¿ → a + bi =( m +¿)
3
= m
3
2
∋+ 3 m (¿)
2
3
a + bi =
m
3
− 3 m n
2
3 m
2
n − n
3
i ⟶ a = m
3
− 3 m n
2
y b = 3 m
2
n − n
3
m
3
− a = 3 m n
2
y b + n
3
= 3 m
2
n
Reemplazando en lo que nos pide calcular:
√
( m
3
− a )( b + n
3
( mn )
3
√
( 3 mn
2
)( 3 m
2
n )
( mn )
3
=
√
( 3 mn
2
)( 3 m
2
n )
( mn )
3
=
MATEMÁTICA BÁSICA
Si “i” es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación:
2 ( 1 + i )
16
−( 1 − i )
16
, resultara:
Solución:
2 ;θ
1
π
⟶ 1 + i =
2 (cos
π
π
1
7 π
7 π
7 π
Reemplazando:
2 ( 1 + i )
16
−( 1 − i )
16
cos
π
π
16
cos
7 π
7 π
16
16
cos
16 π
π
cos
16 x 7 π
16 x 7 π
8
cos 4 π + isen 4 π
8
cos 28 π + isen 28 π
8
1 + 0 i
8
1 + 0 i
8
∴ 2 ( 1 + i )
16
−( 1 − i )
16
Radicación
Hallando las raíces cubicas de la unidad:
3
3
1 + 0 i =
3
√
cos 0
0
0
3
1 =cos
0
0
; k =0,1,
k = 0 ⟶
3
k = 1 ⟶
3
i
k = 2 ⟶
3
i
Adición y diferencia
Reducir:
MATEMÁTICA BÁSICA
e
π
4
π
− 4
e
π
4
− e
− π
4
Solución:
e
π
4
π
− 4
e
π
4
− e
− π
4
cos
π
π
+cos
π
− isen
π
cos
π
π
−cos
π
π
cos
π
isen
π
1 i
i
=− i
∴ L =− i
Multiplicación
Haciendo:
z
1
i; z
2
i
Determinar
z
1
. z
2
en su forma exponencial:
Solución:
z
1
. z
2
(
)(
i
)
[
2 cis
2 π
][
− 2 cis
π
]
= e
2 π
3
i
. e
π
3
i
= e
πi
∴ z
1
. z
2
= e
πi
División
Efectuar:
k =
z
1
5
z
2
3
z
3
4
Sabiendo que:
z
1
cos 10
0
0
; z
2
cos 20
0
0
; z
3
= 4 (cos 5
0
0
Solución:
{
z
1
0
0
1
10
0
i
z
2
0
0
2
8 e
20
0
i
z
3
= 4 (cos 5
0
0
) ⟶ z
3
= 4 e
5
0
i
Reemplazando en k:
k =
z
1
5
z
2
3
z
3
4
2 e
10
0
i
5
8 e
20
0
i
3
( 4 e
5
0
i
4
2 e
50
0
i
2 e
60
0
i
4
e
20
0
i
e
( 50
¿ ¿ 0 + 60
0
− 20
0
) i
e
( 90 ¿¿ 0 ) i
cos 90
0
0
MATEMÁTICA BÁSICA
world's research. 2001;: p. 2-4.
http://rvf0068.github.io/variable-compleja/.
complejos. En ALGEBRA LINEAL II. Salamanca: División de Ingenierías p. 1-6.
x
