Resumen de Números Complejos para Circuitos Eléctricos, Resúmenes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

¡Descarga Resumen de Números Complejos para Circuitos Eléctricos y más Resúmenes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!

Departamento de Teor´ıa de la Se˜nal y Comunicaciones Escuela Polit´ecnica Superior Universidad de Alcal´a

CIRCUITOS EL´ECTRICOS

Resumen de n´umeros complejos.

Octubre - 2006

1. N´umeros Complejos.

1.1. Definici´on: el n´umero imaginario j.

Sea el n´umero j que cumple la relaci´on siguiente

j^2 = − 1 (1)

El n´umero j es llamado unidad imaginaria, y un n´umero x ser´a imaginario puro si verifica la siguiente relaci´on

x = bj (2)

donde b ∈ R.

Los n´umeros complejos C son una extensi´on de los n´umeros reales R, y se definen como la suma de un n´umero real y un n´umero imaginario puro de la forma z = a + bj (3)

donde {a, b} ∈ R, y z ∈ C.

1.1.1. M´odulo y Fase.

Sea un n´umero z ∈ C tal que z = a + bj. Se define el m´odulo de z como |z| =

a^2 + b^2. La fase de z se define como ϕ = arctan( (^) ab ).

1.2. Formas de representaci´on.

Sea el n´umero complejo z = a + bj. Entonces z puede ser representado de las siguientes formas:

Forma binomial: z = a + bj.

1.4. F´ormula de Euler.

La f´ormula de Euler es una f´ormula matem´atica que muestra la rela- ci´on existente entre las funciones trigonom´etricas y la funci´on exponencial compleja.

Sea x ∈ R, entonces se cumple que ejx^ = cos x + j sin x (4)

La f´ormula de Euler nos proporciona una interpretaci´on de las funcio- nes trigonom´etricas seno y coseno como una suma ponderada de funciones exponenciales complejas

cos x =

ejx^ + e−jx 2

sin x =

ejx^ − e−jx 2 j

Estas ecuaciones pueden ser obtenidas sumando y restando las siguien- tes f´ormulas de Euler

ejx^ = cos x + j sin x (7) e−jx^ = cos x − j sin x (8)

2. Operaciones con complejos.

Operaciones con Complejos Suma z 1 = a + bj, z 2 = c + dj, zt = z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)j Multiplicaci´on z 1 = Aejϕ, z 2 = Bejφ, zt = z 1 z 2 = ABe(ϕ+φ)j Divisi´on z 1 = Aejϕ, z 2 = Bejφ, zt = z z^12 = AB e(ϕ−φ) Producto Escalar z 1 = a + bj, z 2 = c + dj, zt = 〈z 1 ∗ z 2 〉 = ac + bd Ra´ız n-´esima z 1 = Aejϕ, zt = n

z 1 = n

Ae

ϕ n j Logaritmo neperiano z 1 = Aejϕ, zt = ln z 1 = ln A + jϕ