¡Descarga Operaciones con números complejos en Maple - Prof. Bosch y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Infórmatica solo en Docsity!
EEBE - Càlcul - Pràctiques Maple
Pràctica de Nombres complexos resolta
Diverses expressions d'un complex
Escriure el número i = K 1
La unitat imaginària, el número i en Maple s'escriu amb la lletra majúscula I I; I
Escriure un complex en forma binòmica z 1 = a C b i
1+3*I;
1 C3 I
Li podem assignar un nom per cridar-lo més tard z1:=1+3I;* z1 d 1 C3 I
Escriure un complex en forma polar z 2 = r α
polar(2,Pi/4); polar 2,^1 4
π
També li podem assignar un nom per cridar-lo més tard z2:=polar(2,Pi/4);
z2 d polar 2,
π 4
Passar un complex de forma binòmica a polar i de polar a binòmica
L'ordre polar serveix tant per escriure un nombre en aquesta forma com per obtenir la forma polar d'un complex qualsevol. L'ordre evalc ens dóna la forma binòmica de qualsevol complex.
Escriurem el número complex z 1 = 1 C 3 i , introduït prèviament, en forma polar : polar(z1); polar 10 , arctan 3
z 1 té mòdul 10 i argument l'angle de tangent 3. Escriurem z 2 = 2 (^) π 4
, que ja hem introduït, en forma binòmica :
evalc(z2); 2 CI 2
Altres expressions d'un complex
Podem fer servir les formes trigonomètrica i exponencial, que no són més que una altra manera d'introduir les formes binòmica i polar, respectivament. De fet, generalment les redueix a una d'aquestes.
Si entrem el complex z 3 = 5 e
π i (^3) que està en forma exponencial , o bé observem que, per defecte,
ja ens l'escriu en forma binòmica.
z3:=5exp(PiI/3);**
z3 d 5 2
C 5 I^3
El mateix passa si l'entrem en la seva forma trigonomètrica z 3 = 5 cos
π 3
C i sin
π 3 z3:=5(cos(Pi/3)+Isin(Pi/3));**
z3 d 5 2
C 5 I^3
Ara, si volem, podem demanar-ne una aproximació numèrica , la seva forma polar, o una aproximació numèrica d'aquesta: evalf(%); 2.500000000 C4.330127020 I
polar(z3);
polar 5,
π 3
evalf(%); polar 5., 1.
Manipulació de complexos
Conjugat L'ordre conjugate permet obtenir el conjugat d'un complex donat en qualsevol de les seves formes. conjugate(2+3I);* 2 K3 I
conjugate(polar(2,Pi/4)); polar 2, K^1 4
π
a~ b~
Exercicis proposats
a) Escriviu els nombres complexos següents en forma polar: 1 K i , i C 3 , K2..
b) Trobeu el mòdul i l'argument del nombre complex K i 3
c) Escriviu els nombres complexos següents en forma binòmica: 3 π, 8 e
π i (^3).
d) Trobeu la part real i la part imaginària dels nombres complexos:^1 2
C i^^3 2
, 5 e
3 π i (^5).
e) Trobeu el conjugat del nombre complex 2 e
π i (^4).
f) Comproveu que el producte de dos polinomis de grau 1, amb arrels conjugades, dóna un polinomi amb coeficients reals: (x - ( a + bi ))·(x - ( a - bi )) = (x - a )^2 C b^2 (utilitzeu l'ordre assume per indicar que a i b són reals).
a) z1:=1-I; polar(z1); z1 d 1 KI
polar 2 , K
π 4
z2:=I+sqrt(3); polar(z2); z2 d IC 3
polar 2,
π 6
z3:=-2.45; polar(z3); z3 d K2. polar 2.45, 3. b) z4:=-I/3; modulz4:=abs(z4);
argument(z4); z4 dKI 3
modulz4 d 1 3
K
π 2
c)
evalc(3Pi);* 3 π
evalc(8exp(IPi(1/3)));* 4 C4 I 3
d)
z5:=1/2+Isqrt(3)/2; Re(z5); Im(z5);*
z5 d 1 2
C I^3
z6:=5exp((3PiI/5)); Re(z5); Im(z5);*
z6 d 5 e
3 I 5 π
1 2
3 2
e)
z6:=2exp(IPi/4); conjugate(z6);** z6 d 2 CI 2
2 KI 2
f)
assume(a,real);
polar 1 K 2
2 C 3 K 2
2 , arctan 3 K^2 1 K 2
Cπ
Mirem de simplificar el resultat: simplify(%);
polar 14 K 8 2 , arctan K^3 C^2 2 K 1
Cπ
Recordeu que també podeu demanar un aproximació numèrica.
Producte i divisió
Calcularem z 1 z 3 i
z 1 z 2 z1z3;* 18 C4 I
z1/z2; 1 C3 I
polar 2,
π 4 Dóna el resultat indicat perquè z 2 està en forma no binòmica. Amb l'ordre evalc el donarà en binòmica i amb polar en polar: evalc(z1z2);* K 2 2 C4 I 2
polar(z1z2);* polar 2 10 , Karctan 2 Cπ
Potències
Calcularem z 12 i z 23 z1^2; K 8 C6 I
z2^3;
polar 2,
π 4
3
També aquí obtenim el resultat indicat perquè z 2 està en forma no binòmica. Amb les ordres evalc i polar el podrem tenir en la forma que ens interessi: evalc(z2^3); K 4 2 C4 I 2
polar(z2^3);
polar 8,
3 π 4
Arrels
Si indiquem les arrels com a potències d'exponent fraccionari, el resultat que apareixerà és només un dels n valors d'una arrel d'índex n. El resultat apareixerà en forma binòmica si fem servir l'ordre evalc i en forma polar si utilitzem l'ordre polar. A continuació obtenim com a resultat un dels quatre valors de l'arrel quarta del número i.
evalc(I^(1/4)); polar(I^(1/4));
cos
π 8
CI sin
π 8
polar 1,
π 8
Si volem totes les arrels d'índex n cal conèixer el mòdul r i l'argument principal θ. Això ho podem obtenir amb la instrució polar.
Totes les arrels tenen el mateix mòdul rootn , i els arguments s'obtenen afegint a
θ n
múltiples de
2 π n
fins a tenir tants arguments com l'índex de l'arrel.
Com a exemples calcularem les arrels quartes del número i, i les arrels quintes del número 2 (^) π 4
Càlcul de les arrels quartes de i z:=I; z d I
polar(z); polar 1,^1 2
π
Ara ja coneixem el mòdul, que val 1, i l'argument principal, que val
π 2
. El mòdul dels resulats de l'arrel seran r oot4 , i per obtenir els arguments farem: π 2 4
C
k $ 2 π 4
π 8
C
k $ 2 π 4
per a k = 1,2,3. Això ho podem fer pas per pas, obtenim de manera directa els resultats en forma polar
z0:=polar(root4, Pi/8); z1:=polar(root4, Pi/8+2Pi/4); z2:=polar(root4, Pi/8+22Pi/4); z3:=polar(root4, Pi/8+32Pi/4);*
(^1) π 8
, 1 (^5) π 8
, 1 (^9) π 8
, 1 (^13) π 8
Càlcul de les arrels quintes de (^2) π 4 z:=polar(2,Pi/4);
z d polar 2,
π 4
n:=5; r:=2; arg:=Pi/4; n d 5 r d 2
arg d
π 4
for k from 0 to n-1 do arrel[k]:=polar(rootn,arg/n+2k Pi/n) end do;**
arrel 0 d polar 21 5 ,
π 20
arrel 1 d polar 2 1 5 ,
9 π 20
arrel 2 d polar 2 1 5 ,
17 π 20
arrel 3 d polar 2 1 5 ,
5 π 4
arrel 4 d polar 2 1 5 ,
33 π 20
Exercicis proposats
2.- Calculeu a) 4 C^7 i^ C^1 K i^^2 K i 5 C i^2
, b) 10 K^1 K^4 i^ K^2 K^3 i 3 i C 2 C 3 i 2 K 3 i
, c)
1 K i 1 C i
6 , d) 2 e
π i (^3) C K^1 C^2 i 1 C 3 i
7
a) (4+7I+(1-I)(2-I))/(5+I)^2;** 40 169
C 23 I
b) (10-(1-4I-(2-3I)))/(3I+(2+sqrt(3I))(2-sqrt(3I))); evalc(%);**
11 CI
3 IC 2 C 6
C I^6
2 K 6
K I^6
C I
c) ((1-I)/(1+I))^6; K 1 d) 2exp(PiI/3)+(-1+2I)/(1+sqrt(3)I)^7; evalc(%);** 1 CI 3 C K^1 C2 I 1 CI 3
7
C 3
CI 257 3
C 1
3.- Donat el complex z =^2 x^ K^3 i 1 K i
determineu el valor del número real x per tal que a) z sigui
real, b) z sigui imaginari, c) z tingui mòdul 3 2
NOTA: Consulteu l'apartat de càlcul simbòlic.
restart: assume(x,real); z:=(2x-3I)/(1-I);** z d 1 2
C I
2 x~ K3 I
a) solve(Im(z)=0,x); Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables. 3 2 Com la instrucció solve inclou un "warning", podem corroborar el resultat resolent el problema en dos passos. Im(z); K^3 2
C x~
solve(-3/2+a=0,a); 3 2
arrel 1 d polar 1,
π 2 arrel 1 d I
arrel 2 d polar 1,
5 π 6
arrel 2 dK 3 2
C I
arrel 3 d polar 1,
7 π 6
arrel 3 dK 3 2
K I
arrel 4 d polar 1,
3 π 2 arrel 4 d KI
arrel 5 d polar 1,
11 π 6
arrel 5 d 3 2
K I
5.- Calculeu les arrels quartes de 3 C^5 i K 4 C 3 i polar((3+5I)/(-4+3I));**
polar 34 5
, Karctan 29 3 polar 1, π
n:=4; r:=sqrt(34)/5; arg:=-arctan(29/3); n d 4
r d 34 5
arg dKarctan 29 3
for k from 0 to n-1 do arrel[k]:=polar(rootn,arg/n+2k Pi/n) end do;**
arrel 0 d polar 125
, K
arctan 29 3 4
arrel 1 d polar 125
, K
arctan 29 3 4
C
π 2
arrel 2 d polar 125
, K
arctan 29 3 4
Cπ
arrel 3 d polar 125
, K
arctan 29 3 4
C
3 π 2
L'expressió és farragosa. Comprovem si demanant una simplificació o la forma binòmica dels resulats obtenim una millora del resultat.
for k from 0 to n-1 do simplify(arrel[k]) end do;
polar 5
, K
arctan 29 3 4
polar 5
, K
arctan 29 3 4
C
π 2
polar 5
, K
arctan 29 3 4
Cπ
polar 5
, K
arctan 29 3 4
C
3 π 2
for k from 0 to n-1 do evalc(arrel[k]) end do;
1251 4 341 8 cos
arctan 29 3 4 5
K
I 125^1 4 341 8 sin
arctan 29 3 4 5
1251 4 341 8 sin
arctan 29 3 4 5
C
I 125^1 4 341 8 cos
arctan 29 3 4 5
K
1251 4 341 8 cos
arctan 29 3 4 5
C
I 125^1 4 341 8 sin
arctan 29 3 4 5
K
1251 4 341 8 sin
arctan 29 3 4 5
K
I 125^1 4 341 8 cos
arctan 29 3 4 5
solve(z^3-2z+1=0,z);* Warning, solving for expressions other than names or functions is not recommended. Error, (in solve) a constant is invalid as a variable, 1/2+5*I Si el programa protesta és perquè el nom z l'havíem assignat prèviament a un complex (venim de fer els problemes on z=^1 2
C 5 i ), per tant, no el pot considerar com a incògnita. Per solucionar-ho farem un restart i tornarem a demanar que resolgui l'equació que havíem proposat i dues més: restart: solve(z^3-2z+1=0,z);* 1,^1 2
5 K 1
, K^1
K 1
solve(z^4-1=0,z); 1, K1, I, KI
solve(z^4+1=0,z); 1 2
2 C 1
I 2 , K^1
2 C 1
I 2 , K^1
2 K 1
I 2 ,^1
2 K 1
I 2
En el primer cas totes les solucions són reals, en el segon dels dos tipus i en el tercer totes complexes. Això permetria, en principi, obtenir totes les arrels d'un complex sense haver d'afegir els arguments no principals. Només caldria fer-li resoldre la corresponent equació. Per exemple, per al càlcul de les arrels quartes de i resoldrem l'equació z^4 = i solve(z^4=I,z); K 1 1/8, K 1 5/8, K K 1 1/8, K K 1 5/ Ara se'n pot obtenir la forma que es desitgi. Calculem per a la tercera arrel les formes, binòmica i polar: evalc(-(-1)^(1/8)); Kcos 1 8
π KI sin 1 8
π
polar(-(-1)^(1/8));
polar 1, K
7 π 8
Exercicis proposats
7.- Calculeu les arrels de l'equació 243 i C 32 z^5 = 0
restart: solve(243I+32z^5=0,z);**
3 RootOf KI _Z^3 C _Z^4 CI _Z K _Z^2 C1, index = 1 2
3 RootOf KI _Z^3 C _Z^4 CI _Z K _Z^2 C1, index = 2 2
3 RootOf KI _Z^3 C _Z^4 CI _Z K _Z^2 C1, index = 3 2
3 RootOf KI _Z^3 C _Z^4 CI _Z K _Z^2 C1, index = 4 2
, K3 I
Observem que el resultat no és gaire clar. Atès que l'equació és equivalent a resoldre
z^5 =K^243 i 3
0 z = K^243 i 32
5 , passem a forma polar el radicand K^243 i 32
i calculem les seves arrels cinquenes. polar(-243I/32);*
polar 243 32
, K
π 2
n:=5; r:=243/32; arg:=-Pi/2; n d 5
r d 243 32
arg dK
π 2
for k from 0 to n-1 do arrel[k]:=rexp((arg/n+2kPi/n)I) end do;**
arrel 0 d 243 e
K 10 I π
32
arrel 1 d 243 e
3 I 10 π 32
arrel 2 d 243 e
7 I 10 π 32
arrel 3 d 243 e
K9 I 10 π
32
arrel 4 dK243 I 32
8.- a) Comproveu que e
π 5 $ i Ce^ K
π 5 $ i és una arrel de l'equació z (^4) K3 z (^2) C1 = 0. b) Trobeu les altres arrels.
