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MATEMÁTICAS 1º ESO 33
Antes de empezar
1.Números enteros ……………….……………pág. 35
Introducción
La recta numérica
Valor absoluto
Ordenar enteros
Opuesto de un número entero
2.Suma y diferencia de enteros ………. pág. 38
Suma de dos enteros
Suma de tres o más enteros
Expresiones sencillas con paréntesis
Suma y resta de enteros con paréntesis
3.Producto y división de enteros ……… pág. 41
Producto
División
3.Potencia y raíz cuadrada …………….… pág. 42
Potencia
Raíz cuadrada
3.Operaciones combinadas …………….… pág. 43
Jerarquía de operaciones
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor
Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
- Utilizar números enteros en distintos contextos.
- Representar y ordenar números enteros. Hallar el valor absoluto y el opuesto de un número entero.
- Sumar, restar, multiplicar, dividir, realizar potencias y extraer raíces cuadradas de números enteros.
- Operar con números enteros respetando la jerarquía de las operaciones
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36 MATEMÁTICAS 1º ESO
- Los números enteros
Introducción
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes.
Por ejemplo: si tienes 10 euros y debes 15 euros ¿De cuánto dispones?. Observa a la derecha distintas situaciones en las que se necesitan números enteros.
Los números enteros son una ampliación de los naturales:
- Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +)
- Los enteros negativos van precedidos del signo -.
- El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.
La recta numérica
Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica.
Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro Dividir la recta en segmentos iguales Colocar los nº positivos a partir del cero a la derecha. y los nº negativos a partir del cero a la izquierda.
Ordenar y comparar números enteros
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es. Cuanto más a la izquierda esté situado menor es.
-1 está más a la izquierda que + por tanto –1 es menor que +2. Se escribe –1 < +
Valor absoluto
¿A qué distancia se encuentra –3 y cero? ¿A qué distancia se encuentra +7 de cero?
Debe 113 ∈ Tiene 113 ∈ Se escribe -113 Se escribe +
El buzo está a 15 m de profundidad Se escribe -15 m El globo está a 20 m de altura. Se escribe +15 m
¿ Cuál es el valor de A y de B?
El valor de A = + El valor de B = - 6
¿Cuál es menor? ¿Cuál es mayor?
-6 está a la izquierda de -3 ⇒ -6 es menor que –3. Se escribe –6<-
La distancia de +4 a cero es 4. El valor absoluto de +4 es 4.
La distancia de -3 a cero es 3. El valor absoluto de -3 es 3.
El valor absoluto es una distancia por lo que no puede ser negativo.
El valor absoluto de un número entero es la distancia que le separa del cero. Se escribe entre dos barras | | y es el número sin su signo: |+a| = a |-a| = a
MATEMÁTICAS 1º ESO 37
Opuesto de un número entero Lo contrario de deber es tener. Lo contrario de 4º C es 4º bajo cero. Lo contrario de 5 m de altura es 5 m bajo el nivel del mar etc.
Si hablamos de dinero ¿cómo están relacionadas las cantidades +4 y –4?
-4 y +4 son opuestos. Se escribe op(+4)=- ó op(-4) = + +4 y –4 son simétricos respecto del cero
EJERCICIOS resueltos
1. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea: a) Bajamos al sótano 3
b) Nació en el año 234 antes de Cristo c) El avión vuela a 2455 m de altura d) El termómetro marcaba 5º C bajo cero
2. ¿Cuál es el valor de A y de B? a) b) 3. Escribe el signo < o > según convenga: a) –2 -6 b) –2 +4 c) +5 +12 d) +4 - 4. Ordena de menor a mayor
a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -
5. Completa adecuadamente a) |-5| = b) |+7| = c) op(+6)= d) op(-4)= Soluciones:
- a) –3 b) –234 c) +2455 d) –
- a) A=+1 B= -2 b) A=-4 B=+
- a) –2 > -6 b) –2 < +4 c) +5 < +12 d) +4>-
- a) –10<-5<+6<+12 b) –20<-7<-4<+
- a) +5 b) –7 c) –6 d) +
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero. Se escribe así: Op(+a) = -a Op(- a) = +a
MATEMÁTICAS 1º ESO 39
¿Qué significan las expresiones? +(+3) +(-3) -(+3) -(-3) ¿Debo o tengo?
+(+a) = +a -(-a ) = +a
+(-a ) = -a -(+a) = -a
Si los dos signos son iguales el resultado positivo Si los dos signos son distintos el resultado es negativo
Ejemplos: +(+2) =+2 -(-2) = +
¿ Cuál es el resultado?
Eliminar paréntesis Operar
Lo anterior es válido si hay tres ó más enteros, fíjate en los ejemplos.
Expresiones sencillas con paréntesis El signo más (+) puede indicar suma o que el nº es positivo. El signo menos (-) puede indicar resta o que el nº es negativo. ¿Cómo escribimos " sumar al 5 el nº -6"? No es correcto escribir 5 + -6 , lo correcto es 5 + (-6)
¿Cómo escribir " restar al 6 el nº -8"? No es correcto 6 - -8 lo correcto es 5 - (-8) No podemos escribir dos signos seguidos , debemos separarlos mediante un paréntesis
Suma y diferencia de enteros con paréntesis Cuando se presenten ejercicios del tipo:
- ( -5 ) + ( -2 ) =
- ( +3 ) - ( -7 ) = Deberemos 1º) Eliminar los paréntesis 2º) Operar adecuadamente los nº resultantes
Recuerda que : + (+a) = +a - (+a) = -a
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EJERCICIOS resueltos
6. Realiza las siguientes sumas de números enteros
a) +7 +4 = b) –5 –4 = c) +8 –2 = d) –5 +9 =
7. Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de agrupar a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 = 8. Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 = 9. Escribe el resultado a) + (+3) = b) – (+4)= c) – (-5)= d) + (-2) = 10. Realiza las siguientes sumas y diferencias de números enteros a) +(+3) + (-5) =
b) –(+4) – (+6) = c) – (-5) + (+7) = d) -(+3) + (+1) – (-4) = e) -(+2) - (+1) – (+5) = f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)= g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=
Soluciones:
- a) +7 +4 = +11 b) –5 –4 = - c) +8 – 2 = +6 d) –5 +9 = +
- a) –4+5-3 = +1-3=-2 b) 3 –5+7 = -2 +7 =+ c) –3+5-8=+2-8=-6 d) +4-7-8 = -3-8 =-
- a)-4+5-3 = -7+2=-5 b) 3-5+7 =-5+10=+ c)-3+5-8 =-11+5=-6 d) +4-7-8= 4-15 =-
- a) +3 b) – c) +5 d) –
- a) +3-5=-2 b)-4-6=- c) +5+7 = +12 d) –3+1+4=+ e)-2-1-5 = -8 f) –2-1-4+5 = - g) –1-3+4+5 = 5
42 MATEMÁTICAS 1º ESO
- Potencia y raíz cuadrada
Potencias de enteros
Según se trate de un número positivo o negativo, tenemos los siguientes casos:
(+a) n 5 3 = (+5)·(+5)·(+5)
(-a) par (-3) 4 = (-3)·(-3)·(-3)·(-3)
(-a)
impar (-3)
3 = (-3)·(-3)·(-3)
Raíz cuadrada de un número entero
- Raíz cuadrada de un número positivo.
Un nº positivo tiene dos raíces cuadradas Se escribe 16 =± 4
- Raíz cuadrada de un número negativo
No existe raíz cuadrada de un número negativo.
Base positiva (+2) 3 = (+2)·(+2)·(+2) = + (+2) 4 = (+2)·(+2)·(+2)·(+2)= + Base negativa exponente par (-2) 3 = (-2)·(-2)·(-2) = - Base negativa exponente impar (-2) 4 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+
EJERCICIOS resueltos
12. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas a) (+3)^2 = b) (-5)^3 = c) (-3)^4 = d) (-3)^5 = e) (-2)^4 =
f) − 16 = g) 9 = h) − 9 = i) 25 = j) 16
Soluciones: a) +9 b) -125 c) +81 d) –243 e) + f) no existe raíz g) ± 3 h) no existe raíz i) ± 5 j) ± 4
+ (^) +
+ -
- El resultado de una potencia de un número positivo es positivo.
- El resultado de una potencia de un número negativo es positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.
Las posibilidades son: 4 2 = (-4) 2 =
Observa que: b 2 es positivo -36 es negativo No es posible encontrar solución para b
MATEMÁTICAS 1º ESO 43
Ej 1: +3 – (+4)·(-2) =
1.-Multiplicar +3 – (-8) = 2.-Eliminar paréntesis +3 +8 = 3.-Sumar +
Ej 2: +1 + (-6):(+4-7)=
1.-Paréntesis +1 + (-6): (-3) = 2.-División +1 + (+2) = 3.-Quitar paréntesis +1+2 = 4.-Sumar +
Ej 3: -4 + [-3 – (-14):(+2)] =
1.-División paréntesis -4+[-3-(-7)]= 2.-Quitar paréntesis -4 +[-3+7]= 3.-Suma paréntesis -4 + [+4] = 4.-Quitar paréntesis -4 +4= 5.-Sumar 0
- Operaciones combinadas
Jerarquía de operaciones Observa que hay dos tipos de paréntesis:
- Paréntesis de tipo I: en ellos hay operaciones Por ejemplo: 3+4-(2+3·5) =
- Paréntesis de tipo II: sirven para separar signos. Ejemplo: -3- (-4) + (-2) = Los primeros deben operarse en primer lugar y los segundos deben eliminarse en el momento oportuno. Para realizar operaciones con números enteros se ha de respetar el siguiente orden :
1ª) operar los paréntesis (tipo I) 2º) realizar las multiplicaciones y las divisiones 3º) realizar las sumas y las restas
EJERCICIOS resueltos
13. Realiza las siguientes operaciones a) +7 + (-9)·(+5) = b) –5 + (-6):(+6) =
c) +1-(-36):(-9-9) = d) +1 +(+6)·(+5-6) = e) –6 – [+3 -(-5): (+5)] = f) +8+ [+4 +(-7)·(-9)] =
Soluciones: a) +7 + (-45) = +7 –45 = - b) –5+(-1) = -5-1 = - c) +1-(-36) : (-18) = +1 – (+2) = +1-2 = - d) +1+(+6)·(-1) = +1+(-6) = +1 –6 = - e) –6 – [ +3 – (-1) ] = -6 - (+3+1) = -6-(+4) = -6 –4 = - f) +8+[+4+(+63)] = +8+(+4+63) = +8 +(+67) = +8 +67 = +
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Para saber más
El origen de las cosas ...
¿Sabías que el cero tardó mucho tiempo en utilizarse? En la mayoría de los sistemas numéricos antiguos no existía el cero. Se cree que fueron los hindúes los que lo utilizaron por primera hacia el año 650 d.C
Los signos de sumar y restar + y – comenzaron a usarse a partir del siglo XV. Antes se usaban palabras o abreviaturas. En el caso de la suma se usaba p (plus) y para la resta m (minus)
El signo = apareció en el siglo XVI y parece que la idea surgió porque “no hay dos cosas más iguales que dos rectas paralelas”
Los símbolos de la multiplicación (x) y la división (:) comenzaron a usarse en el siglo XVII.
El matemáticos italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) en su libro Ars Magna fue el primero que enunció las reglas para operar los números enteros tay y como las utilizamos hoy en día.
Estrella mágica de siete puntas
La suma de los 3 números de cada segmento debe ser cero. ¿Te animas a completarla?
¿Es difícil crear cuadrados mágicos? Crearlos con números enteros es muy fácil. Basta tomar uno hecho y sumar a cada una de sus cifras una cantidad fija. Por ejemplo
También los conseguirás si dado uno restas una cantidad o si dado un cuadrado mágico multiplicas o divides a cada número por una cantidad fija. Observa que esa cantidad puede ser positiva o negativa, según prefieras.
46 MATEMÁTICAS 1º ESO
Recuerda
lo más importante
El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero.
Los enteros aparecen en muchas situaciones de nuestro alrededor: temperaturas, fechas, dinero y deudas, ascensores, alturas y profundidades ...
Se pueden representar en la recta :
Los números enteros están ordenados. Un número es menor que otro si, en la recta, está situado más a la izquierda. Un número es mayor que otro si, en la recta, está situado más a la derecha.
El opuesto de un nº es otro número con la misma magnitud y distinto signo.
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
El valor absoluto de un número es la distancia del número al cero.
|+a | = a | -a | = a
Suma de enteros
Se eliminan paréntesis Si tienen el mismo signo: se suman y se pone el mismo signo Si tienen distinto signo: se restan y se pone el signo del mayor
Resta de enteros
Se aplica la regla:
+(+a) = +a - (+a) = -a
-(-a ) = +a +(-a) = -a
Se procede como en la suma
Producto Se multiplican los números sin signo Se aplica la regla de los signos.
División Se dividen los números sin signo Se aplica la regla de los signos
Jerarquía de operaciones En operaciones combinadas debe respetarse este orden:
1.- Los paréntesis 2.- Las multiplicaciones y las divisiones. 3.- Las sumas y las restas
4 + [8 – (-4)·(-2) – 5] =
1.-Multiplicación paréntesis 4+[8–(+8)–5]= 2.-Quitar paréntesis 4 +(8–8–5)= 3.-Suma paréntesis 4 + (-5) = 4.-Quitar paréntesis 4 – 5 = 5.-Sumar 0
48 MATEMÁTICAS 1º ESO
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. a) - b) + c) - d) + 2. a) + b) - c) - d) - 3. a) - b) - c) - d) - 4. a) + b) + c) - d) + 5. a) - b) + c) + d) - 6. Tenía 41 años 7. –3. El año 3 antes de Cristo 8. 23 después de Cristo 9. –8º C. (8º bajo cero) 10. Ha aumentado 4º C 11. –21ºC. Marca 21º bajo cero 12. Ha llegado a la planta 4 13. Hay 3 plantas de separación 14. En el sótano 1 15. Ha ingresado 306 ∈ 16. –159 ∈. Debe 159 ∈
No olvides enviar las actividades al tutor f
Soluciones AUTOEVALUACIÓN
1. a) +7 b) –57 c) –38 d) + 2. A = +4 B = - 3. a) 14 b) 19 c) 19 d) - 4. El menor = -43 y el mayor = 15 5. - 6. - 7. a) 14 b) – 8. a) -8 b) 81 9. - 10. 24 años
