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GUÍA N°2: NÚMEROS Y FRACCIONES
MATEMÁTICA
8º EGB
INSTRUCTIVO PARA EL ESTUDIANTE
En la siguiente guía te enfrentarás a diversas actividades que te ayudarán a recordar y ejercitar tus habilidades en el área de Matemática. Para eso debes seguir la estructura de la guía, que consta de las siguientes etapas:
RECORDANDO CONTENIDOS: Aquí encontrarás una presentación de los contenidos esenciales para resolver la guía, por lo que, cada vez que tengas dudas, puedes volver a visitar esta sección.
COMPRENDIENDO LO ABORDADO: Aquí encontrarás distintos tipos de ejercicios para desarrollar y comprender los contenidos que recordarás en la sección anterior.
REFLEXIÓN Y ANÁLISIS DE LO APRENDIDO: Aquí encontrarás ejercicios que te harán reflexionar sobre los contenidos trabajados en la guía, puesto que los puedes abordar con distintos métodos. Esto te permitirá profundizar tu aprendizaje.
➢ CÓMO SE UTILIZA LO APRENDIDO: Aquí encontrarás ejercicios que te mostrarán cómo se aplican en la vida diaria los contenidos abordados.
➢ EVALUANDO LO APRENDIDO: Aquí encontrarás ejercicios con los que podrás practicar lo aprendido, algunos presentan mayor complejidad, los que te ayudarán a apropiarte aún más de los contenidos.
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CONTENIDO:
▪ Números enteros. ▪ Fracciones propias e impropias.
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: ▪ OA_1 Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de números enteros: › Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica. › Aplicando procedimientos usados en la multiplicación y la división de números naturales. › Aplicando la regla de los signos de la operación. › Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios
▪ OA_1^1 Demostrar que comprenden los factores y múltiplos: determinando los múltiplos y factores de números naturales menores de 100; identificando números primos y compuestos; resolviendo problemas que involucran múltiplos.
▪ OA_ 6^2 Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dígitos. ▪ OA_8^3 Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
HABILIDAD: Resolver problemas dados por situaciones matemáticas, en relación con el desarrollo de ejercicios de números enteros y fracciones.
(^1) Objetivo de aprendizaje 6EGB, programa de Matemática. (^2) Objetivo de aprendizaje 6EGB, programa de Matemática. (^3) Objetivo de aprendizaje 6EGB, programa de Matemática.
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¡NO OLVIDAR!
A partir del método anterior, realiza el siguiente análisis: Observa distintos casos de multiplicación en que solo están involucrados números enteros, es decir, cualquiera de los números involucrados es un número “completo” (entero sin decimales) pero que puede ser tanto positivo como negativo. Para este análisis te pedimos analizar detenidamente la siguiente tabla:
¡Inténtalo con otros números enteros de las mismas características!
Generalizando lo anterior se obtiene la regla de los signos :
Combinación de signos Resultado ( - ) • ( - ) + ( + ) • ( + ) + ( - ) • ( + ) - ( + ) • ( - ) -
Método 1.2 – Descomposición de Factores
Paso 1: Escribe los factores que componen a cada uno de los números involucrados, sin considerar su signo. Escríbelos como una multiplicación.
Los factores de 4 son 2 y 2 , luego los escríbelos como multiplicación 2 • 2
Ahora, con el - 18. Sus factores son 2 y 9 , o bien 2, 3 y 3 (fíjate que aquí no consideramos el signo de - 18). Al escribirlo como multiplicación obtenemos: 2 • 9 o bien, 2 • 3 • 3
Paso 2: Reescribe la multiplicación sin signos y con los factores que utilizaste en el paso anterior.
Combinación de signos
Expresión Numérica Adición de sumandos^
Resultado Final
Signo del resultado Positivo por positivo 3 • 6 6 + 6 + 6^18 + Positivo por negativo 5 • (-9) (-9) + (-9) +(-9) +(-9) +(-9) - 45 - Negativo por negativo (-4) • (-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) 12 + Negativo por positivo (-5) • 6 - (6) - (6) - (6) - (6) - (6) - 30 -
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Nota: Recuerda que si el resultado te queda con el signo + puedes no escribirlo, esto dado que, en matemáticas, se considera innecesario poner el signo inicial a no ser que el número sea negativo. Por ejemplo, es igual decir 82 que +82.
Paso 3 : Multiplica cada factor siguiendo las reglas de multiplicación básica.
2 • 2 • 2 • 3 • 3 4 • 2 • 3 • 3 8 • 3 • 3 24 • 3 72
Paso 4: Presenta tu resultado obtenido en el paso 3 utilizando la regla de los signos. En este caso “4” tiene signo positivo (recuerda que, si no observas un signo en el número, entonces es porque corresponde a un signo positivo) y (-18) tiene signo negativo, entonces el resultado final será negativo.
El resultado de 4 • (-18) es - 72
Método 1.3 – Método general
Paso 1: Multiplica los números involucrados sin su signo. Para esto puedes utilizar el método 1 o 2 mencionado en la sección anterior.
4 • 18 72
Paso 2: Aplica la regla de los signos para los números involucrados. En este caso 4 tiene signo positivo y - 15 negativo. Como son de signos distintos, entonces el resultado será negativo.
Paso 3: Reescribe y presenta tu resultado.
El resultado de 4 • (-18) es - 72
Es decir, agrega el signo – al número 72
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Paso 5: Justifica tu método después de la verificación
Como 3 • (-15) es - 45 (de acuerdo con los métodos de multiplicación anteriores), entonces (45) : 3 es una división exacta.
Método 2.2 – División inexacta
Este es el otro caso de la división, cuando el dividendo NO es igual al divisor por el cociente, es decir el resto es ≠ 0
Situación de ejemplo Divide el número - 18 por el número entero - 5, es decir, calcula (-18) : (-5).
Paso 1: Divide el dividendo por su divisor sin considerar el signo de cada número involucrado.
18 : 5 = 3,
Paso 2 : Aplica la regla de los signos al resultado obtenido, utilizando los signos del dividendo y el divisor. Nota que el signo del dividendo (-18) es negativo y el signo del divisor (-5) es negativo.
Como son signos iguales, el resultado final tendrá signo positivo, es decir, será +3,6.
Paso 3: Reescribe y presenta tu resultado
El resultado de (-18) : (-5) es 3,
Paso 4: Verifica que la división sea inexacta. Esto se hace confirmando que el resto obtenido de la división es distinto de 0 o bien, teniendo presente que en las divisiones realizadas el dividendo NO ES IGUAL al divisor por la parte entera del cociente. Notar que la parte entera del número 3,6 es 3 (lo que está antes de la coma).
- 18 (-5) • 3 el dividendo NO ES IGUAL al divisor por el cociente.
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II. Resuelve las siguientes operaciones, usando los métodos vistos. Indica además si es una división exacta o inexacta.
A. 36 : (-6) = B. (-63) : 12 = C. 54 : (-4) = D. 125 : 5 =
III. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y luego escribe el resultado en la guía.
A. 3 • 4 + 2 = B. 12 : 6 – 3 • 5 = C. (-4) • 2 + 6 • 5 =
C. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M):
Método 3.1 – Cálculo del M.C.M:
Situación de ejemplo: Calcula el mínimo común múltiplo de los números 6, 12 y 15.
Paso 1: Escribe todos los números en una tabla.
6 12 15
IMPORTANTE: Prioridad de las operaciones en ejercicios combinados Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
- Resolver los paréntesis.
- Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
- Realizar adiciones y/o sustracciones.
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Paso 2: Escribe en la columna derecha los números primos divisores desde el menor al mayor como se muestra en el ejemplo.
Paso 3: Divide los números hasta dejarlos indivisibles.
Paso 4: Multiplica la columna derecha y encuentra el MCM.
2 • 2 • 3 • 5 = 60
Paso 5: Presenta tu resultado
El M.C.M. de 6, 12 y 15 es 60
IV. Obtén el M.C.M de los siguientes números:
A. 3 y 6 = B. 5, 14 y 28 =
D. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D):
Situación de ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los números 12, 18 y 30.
Método 4.1 – Cálculo del M.C.D
Paso 1: Descompón todos los números en factores primos.
12 = 2 • 2 • 3 18 = 2 • 3 • 3 30 = 2 • 3 • 5
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Paso 2: Revisa los divisores y selecciona los que están presentes en los tres números.
En este caso son el número 2 y el 3
Paso 3: Multiplica los divisores y encuentra el resultado. Si es sólo un divisor el que se repite, dicho número es el M.C.D.
2 • · 3 = 6
Paso 4: Presentar tu resultado
El M.C.D. de 12, 18 y 30 es 6
Método 4.2 – Cálculo del M.C.D
Paso 1: Escribe todos los números en una tabla.
Paso 2: Escribe en la columna derecha los números primos divisores desde el menor al mayor como muestra en el ejemplo.
Paso 3: Divide los números hasta dejarlos indivisibles.
Paso 4: Revisa en la columna derecha cuáles son los números que dividen a los tres números.
En este caso, 2 y 3
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4 • 6 15 • 6 =^
24 90
2 • 5 18 • 5 =^
10 90
7 • 3 30 • 3 =^
21 90
Paso 3: Realiza una tabla con tantas filas como denominadores hayas contado (en este caso, serán 3) y anota en ella el M.C.M. obtenido en una columna y en la siguiente anota los denominadores involucrados. En la columna subsiguiente escribe las divisiones entre el M.C.M. y cada uno de los denominadores.
Paso 4: Amplifica cada fracción involucrada por su factor correspondiente. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador por el mismo factor obtenido anteriormente.
Paso 5: Reescribe la expresión original, conservando los signos de cada operación.
2 18 +^
15 −^
30 ⟹^
90 +^
90 −^
Paso 6: Reescribe la expresión, conservando el denominador y reescribiendo la suma (o resta) en el numerador, luego calcula.
90 +^
90 −^
90 ⟹^
90 ⟹^
Paso 7: Reescribe y presenta tu resultado.
El resultado de la expresión 182 + 154 − 307 es (^1390)
M.C.M. Denominadores (^) M.C.M. / Denominador Factor 90 18 5 90 15 6 90 30 3
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VI. Resuelve.
A. 12 + 13 =
B. 62 + 38 − 12 =
F. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES :
Método 6.1 - Multiplicación de fracciones
Situación de ejemplo: Calcula la siguiente suma de fracciones 28 ∙ 45 ∙ (^73)
Paso 1: Identificar los numeradores y multiplícalos.
2 • 4 • (-7) = - 56
Paso 2: Identificar los denominadores y multiplícalos.
8 • 5 • · 3 = 120
Paso 3: Presenta tu resultado
El resultado de la expresión 28 ∙ 45 ∙ 73 = es − 12056
IMPORTANTE:
Considera el signo de las fracciones solo en el numerador
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2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros. Luego se ubica la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Ejemplo: 3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Ejemplo:
VII. Resuelve.
A. 0,42 • 3 = B. 0,285 • 4 = C. 38,88 : 8 = D. 97,2 : 6 =
Ejercicios combinados:
VIII. Resuelve.
A. 14 − 13 + 0 15 • 3 =
B. 1 45 ∶ 5 + 75 − 12 =
1 5 , 1 2 : 2 , 1 = 1 5 1 , 2 : 2 1 = 1 5 1 2 : 2 1 0 = 7 , 2
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2. COMPRENDIENDO LO ABORDADO
I. Considera los siguientes ejemplos y representa las multiplicaciones que aparecen a continuación en la recta numérica.
Ejemplo 1: Multiplicación de 5 • 3 Cinco espacios se replican 3 veces a partir del 0 en la recta numérica. El avance es hacia la derecha por el signo del número 3.
Ejemplo 2: Multiplicación de 3 • (- 4 ) Tres espacios se replican 4 veces a partir del 0 en la recta numérica. El avance es hacia la izquierda por el signo del número 4.
A. 2 • 4 =
B. 6 • (-3) =
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IV. ¿Qué método(s) puedes utilizar en cada una de las siguientes expresiones para obtener el resultado? Guíate por el ejemplo mostrado en el primer ejercicio. A. (-1/2) + 18 /9 Método 5. B. (-30/5) · 15 C. 8 /2 - (- 14 /3) D. 55 /2 ÷ 22 /
V. ¿Qué signo posee el valor del resultado de las siguientes operaciones? Guíate por el ejemplo mostrado en el primer ejercicio.
A. - 12+ 6/2 Negativo B. - 25 – 6 / C. 40 /5 – 75 / D. 86 /2 + 32/
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3. REFLEXIÓN Y ANÁLISIS DE LO APRENDIDO
I. Relaciona la multiplicación o la división de números enteros con cada una de las siguientes situaciones propuestas. Guíate por el ejemplo inicial para responder.
Situación propuesta Operación a utilizar A. Si una persona da 3 pasos por cada segundo, ¿qué debes hacer para saber cuántos pasos dio después de 30 segundos?
Multiplicación
B. Si queremos repartir una torta en porciones iguales entre 4 invitados presentes, ¿qué debes hacer para saber cuánto le toca a cada uno si queremos darles a todos la misma cantidad de torta? C. En una caja hay 24 refrescos, ¿qué debemos hacer para saber cuántos refrescos habrá en 9 cajas? D. ¿Qué debemos hacer para saber cuántas horas hay en 3. minutos, si se sabe que una hora tiene 60 minutos?
II. Lee y responde.
A. Entre el 3 y el 6 el M.C.M es 6 y el M.C.M entre 3 y 4 es 12. ¿Por qué en el primer caso el M.C.M es igual a uno de los dos números (3 y 6), mientras que en el segundo caso el M.C.M es distinto a 3 y 4?
B. Supongamos que multiplicas el número 6 por 1, luego por 10 y después por 100 (son 3 resultados distintos). Ahora, divides el mismo número por 1, por 10 y por 100 (nuevamente 3 resultados distintos), ¿qué características muestran los números y qué conclusión puedes pensar respecto de la multiplicación y división de alguna potencia del número 10?
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