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TEMA 0. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean, entre otras muchas cosas, para almacenar información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría,...
DEFINICIONES BÁSICAS
Matriz de orden n x m
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de n filas y m columnas. Se simboliza en las formas:
n n nm
m
m
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
, ó
A c 1 , c 2 ,..., cm , ó fn
f A
1
siendo:
a (^) ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j
(j = 1, 2, ..., m)
fi : vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., n)
Si (^) n 1 , la matriz se denomina matriz fila.
Si m 1 , la matriz se denomina matriz columna.
Una matriz puede contener informaciones muy variadas:
- Resultado de una encuesta realizada a n individuos sobre m preguntas. Cada fila es la respuesta de un individuo.
- Una tecnología lineal que emplea n factores en m procesos productivos. Cada columna es un proceso productivo.
- Una aplicación lineal de Rn^ en Rm.
- Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de n ecuaciones y m incógnitas. Cada columna son los coeficientes de una incógnita.
Matrices cuadradas
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas n = m.
En las matrices cuadradas llamamos diagonal principal a los elementos en los que los subíndices i y j coinciden:
a 11 (^) , a 22 ,, ann forman la diagonal principal.
La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.
Traz A a 11 a 22 .... ann
Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal se denominan matrices triangulares. Siendo: subtriangular si son nulos los que quedan a la izquierda y súper triangular sin son los de la derecha.
Matriz diagonal es la que tenga nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal.
an an ann
a a
a
A
1 2
21 22
11 0
nn
n
n
a
a a
a a a
A
11 12 1
Triangular superior Triangular inferior
ann
a
a
A
22
11
Diagonal
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden n x m, por otra matriz B de orden m x p, es la matriz C , de orden n x p, cuyo elemento genérico cij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.
An (^) m Bmp Cnp / cij ai 1 b 1 j ai 2 b 2 j ... aim bmj
Propiedades
Suponiendo conformidad de órdenes entre las matrices A, B y C:
- Asociativa: A ( BC ) ( A B ) C
- Distributiva: A ( B C ) AB AC
- No Conmutativa: A B B A
El elemento neutro del producto matricial cuando las matrices son cuadradas es la matriz identidad , que tiene unos en la diagonal principal y el resto de elementos iguales a cero.
TRANSPOSICIÓN MATRICIAL
Transpuesta de una matriz A, de orden n x m , es la matriz At, de orden m x n , cuyas filas son las columnas de A.
mn
Transposición t A Mn m A M
Ejemplo:
(^1 30) t A A
Si la matriz A es cuadrada y además aij aji , la matriz At coincide con A. Las matrices que
cumplen At A se denominan matrices simétricas.
Ejemplo:
A
Propiedades
- Propiedad involutiva : el resultado de transponer dos veces (o un número par de veces) una matriz, es la propia matriz.
A A
t t
- La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas.
A Bt^ At Bt
- La transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de las transpuestas cambiadas de orden.
A Bt^ Bt At
- Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a A
Número de productos: 3! = 1.2.3 = 6.
Ordenados los elementos por filas, son de la forma a^ 1 i a 2 ja 3 k.
Los segundos subíndices pueden ser
En los tres primeros hay un número par de inversiones (se les antepone el signo + a los productos), los tres últimos tienen un número impar de inversiones del orden natural (se antepone signo – a los productos).
13 22 31 12 21 33 11 23 32
11 22 33 12 23 31 13 21 32
......
a a a a a a a a a
A a a a a a a a a a
- Determinante de una matriz de orden superior a tres
Existen distintos métodos que permiten calcular el determinante de un matriz de orden superior a tres, el más utilizado es el de los adjuntos.
La suma de los productos de los elementos de una fila (o una columna) pos sus respectivos adjuntos es igual al determinante de la matriz.
ij
m i j
i
det A aij 1 det M 1
Donde: Aij ( 1 ) i j det( Mij )es el adjunto de aij.
Determinante de una matriz triangular
En una matriz triangular son nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal. Debido a esto, los productos cuya suma es el determinante de la matriz son nulos, excepto el producto de los elementos de la diagonal principal.
nn
n nn
a a a a
a a a
a a
a
A
n
11 22 33
1
21 22
11
Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada, no triangular, de orden mayor que tres, procede recurrir a las propiedades de los determinantes.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Permiten simplificar el cálculo del determinante en algunos casos, dar un procedimiento operativo para calcularlo en cualquier caso; además, resuelven el problema de la dependencia e independencia lineal de n vectores del espacio vectorial Rn.
1. PROPIEDADES QUE SIMPLIFICAN EL CÁLCULO:
PROPIEDAD 1
El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta
det A det At
PROPIEDAD 2
Si una de las columnas (o de las filas) de la matriz es nula, el determinante vale 0.
det ,..., 0 ,.., 0
_ c 1 cn
PROPIEDAD 3
Si se intercambian entre sí dos columnas (o filas) de la matriz, el determinante cambia de signo.
det c (^) 1 ... ci ... cj ... cn det c 1 ... cj ... ci ... cn
PROPIEDAD 4
Si la matriz tiene dos columnas (o filas) iguales, su determinante es cero.
det c (^) 1 ... ci ... cj ... cn 0 si ci cj
RANGO DE UNA MATRIZ
Si el determinante es un número real asociado sólo a las matrices cuadradas, el rango es un número natural asociado a cualquier matriz.
Si interpretamos las filas (o las columnas) de una matriz como vectores de Rn, el estudio de los modelos lineales de compatibilidad requiere procedimientos operativos que permitan averiguar la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna formados por los coeficientes de las incógnitas. El concepto de determinante, al ir referido a matrices cuadradas, no aporta un procedimiento operativo general. Se hace necesario otro concepto más general, aplicable tanto a matrices cuadradas como no cuadradas. Tal concepto es el rango de la matriz.
DEFINICIÓN
Llamamos MENORES de orden h a los determinantes de las submatrices cuadradas formadas por los elementos comunes a h filas y h columnas cualesquiera de la matriz. Se dice que el RANGO DE UNA MATRIZ A es el número natural r , si algún menor de orden r es distinto de cero y todos los menores de orden mayor que r son nulos.
TEOREMA
El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores-columna y con el máximo número de vectores-fila linealmente independientes que hay en la matriz.
De este teorema se desprende que todo el problema relativo al estudio de la dependencia o independencia lineal entre vectores de los espacios de tipo Rn^ queda reducido al cálculo del rango de matrices.
CÁLCULO DEL RANGO
- Elegir las dos primeras columnas y buscar un menor de orden dos no nulo. Si lo hay, c1 y c2 son l.i. y el rango de la matriz es, al menos dos. Si no lo hay, c2 es múltiplo de c1, se suprime c2, y se elige la siguiente columna en su lugar.
- Partiendo del menor no nulo de orden 2, se elige una nueva columna y se van calculando solamente los menores de orden 3 que sean orlados del de orden dos no nulo, hasta encontrar uno no nulo. Si lo hay, las tres columnas son l.i. y el rango es al menos tres. Si no lo hay, la tercera columna es combinación lineal de las dos primeras y puede suprimirse.
- Se reitera el procedimiento partiendo del menor de orden tres no nulo.
0.6.INVERSIÓN MATRICIAL
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A-1^ es matriz inversa de la matriz A, si el producto de ambas matrices es igual a la matriz unidad (I).
A A A A In 1 1
La matriz A será invertible si su determinante es distinto de cero. En caso contrario no será invertible. Así pues las matrices regulares admiten inversa y las matrices singulares no admiten inversa.
Es condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una matriz cuadrada que su determinante sea distinto de cero.
PROPIEDADES
- La inversa de una matriz, si existe, es única
- El determinante de la inversa de una matriz, coincide con el inverso del determinante de la matriz.
A
A
- La inversión es involutiva, es decir, aplicada dos veces (o un número par de veces) resulta la matriz inicial.
A A
1 1
- La inversa de un producto es igual al producto de las inversas cambiadas de orden.
A. B^1 B^1. A^1
- La inversa de la transpuesta de una matriz, es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz
t t A A^1
1
CÁLCULO DE LA INVERSA
La inversa de la matriz A es igual al inverso de su determinante por la matriz formada por los adjuntos de A transpuestos.
det( )
1 1 t adj A A
A
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas se escribe de la forma siguiente:
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 2 2
211 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
o escrito en forma matricial quedaría:
A X b
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
m m mn n m
n
n
2
1 2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
Discusión del sistema (Teorema de Rouchè-Frobenius)
Si rango(A) rango(A|b) el sistema es incompatible (sin solución) Si rango(A) = rango(A|b) = n el sistema es compatible determinado (con solución única) Si rango(A) = rango(A|b) < n el sistema es compatible indeterminado (con múltiples soluciones)
Resolución del sistema (Regla de Cramer)
Si A 0 X A^1 b
La regla de Cramer surge al despejar cada incógnita en la anterior ecuación matricial.
Si la matriz A no admite inversa, se suprimen las ecuaciones que sean redundantes y se forma un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas (con matriz A regular), pasando al lado derecho de cada ecuación las variables restantes.
Sistemas homogéneos
Son aquellos que tienen nulos todos los términos independientes.
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
m m mn n
n
n
x
x
x
a a a
a a a
a a a
Al ser nulos los términos independientes, coinciden los rangos de las matrices A y A|b, por lo que son siempre compatibles. La solución única será la trivial ( x 1 (^) x 2 xn 0 ).
