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VALORES Y VECTORES PROPIOS
÷ En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple Ax = λx (1)
÷ Algunos de estos campos de aplicación son:
- Ecuaciones diferenciales
- Estabilidad de sistemas lineales
- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)
- Polos y ceros de funciones transferencia
- Diagonalización de matrices
÷ Podemos averiguar si el problema planteado por (1) tiene solución si la reescribimos como sigue
(A - λΙ)x = 0 (2)
÷ Así el problema se transforma en el ya conocido sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos que tiene solución única x=0 cuando det(B)≠0. Justa- mente este es el caso que no nos interesa.
÷ El número λ se dice valor propio de A (matriz cuadra- da) si y sólo si
det(A - λΙ) = 0 (3) esta es la ecuación característica de la matriz A.
÷ El determinante que aparece en (3) resulta ser un polinomio en potencias de λ. Por ello a la expresión a(λ)=det(A - λΙ) (4) se le llama polinomio característico de la matriz A.
O Observación : El polinomio característico de una matriz de dimensión n×n es de grado n, por lo cual tendrá n posibles valores propios λ que satisfacen (3)
÷ Si λ es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = λx entonces x se dice vector propio de A correspondiente al valor propio λ
Ejemplo : Calcular los valores y vectores propios para la matriz A = 4 −^5 2 − 3 Solución : La ecuación característica queda: det( A − k I ) = det 4 −^ k^ −^5 2 − 3 − k
= 0
o sea: (4-λ)(-3-λ) + 10 = λ 2 - λ
- 2 = 0 factorizando: (λ+1)(λ−2) = 0 con lo cual obtenemos dos valores propios: λ 1 = -1, λ 2 = 2 buscamos ahora los correspondientes vectores propios: para λλ 1 = -1: ( a − k 1 I ) x = 5 −^5 2 − 2
x 1 x 2
= 0 0
Propiedades Básicas de los valores propios
÷ La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su traza : λ 1 +λ 2 +...+λn = traza(A)
÷ El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante : λ 1 λ 2 ...λn = det(A)
÷ Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.
@ Tarea : Para la matriz A = 0 11 0. Calcula sus valores
propios, sus vectores propios unitarios correspondien- tes y verifica las dos primeras propiedades anteriores.
Diagonalización
÷ Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T. A la matriz B=T-1AT se le llama matriz similar a A y a la operación T-1AT se le llama transformación de similaridad
÷ Propiedades básicas : Una transformación de similari- dad es una relación de equivalencia porque es:
- Reflexiva : Una matriz es similar a sí misma.
- Simétrica : Si A es similar a B, B es similar a A.
- Transitiva : Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a C.
@ Tarea : a) Demostrar las propiedades básicas. b) Dar otro ejemplo de una relación de equivalencia.
÷ Otras propiedades :
- Las siguientes características de una matriz son invariantes (no se alteran) bajo una transformación de similaridad:
- el determinante
- la traza
- los valores y vectores propios
@ Tarea : Para las matrices A = 0 11 0 y T = − 1 1 1 1. a)
Calcula B=T-1AT. b) Demuestra las propiedades anteriores para A, B.
÷ Si la matriz A n×n tiene n vectores propios LI , y forma- mos una matriz T cuyas columnas sean estos vectores, entonces la transformación D=T-1AT produce una matriz diagonal D. Además, los elementos de D serán justa- mente los valores propios de A.
Ejemplo : Obtener la forma diagonal para la matriz del
ejemplo anterior: A = 42 −−^53
Solución : Formamos la matriz T usando como sus columnas los vectores propios ya calculados:
Donde x es el vector de variables de estado de n×1. La solución se puede calcular por analogía al caso escalar como: x ( t ) = eAtx 0 El problema (que en el caso escalar es trivial) es: ¿ Cómo calcular la matriz exponencial eAt^?
Se puede resolver considerando por analogía al caso escalar la expansión en serie: eAt^ = I + At + (^) 2!^1 A^2 t^2 + (^) 3!^1 A^3 t^3 + ... y observando el comportamiento de una transformación de similaridad: T −^1 eAtT = eT −^1 AT O bien, eAt^ = T ( eT −^1 AT ) T −^1 si elegimos T de manera que D=T-1AT sea una matriz diagonal:
eT −^1 AT^ = eD^ =
e k^1 0 ... 0 0 e k^2 ... ... ... 0 0 ... e k n Esto nos permitirá hacer un cálculo directo de la matriz exponencial como eAt^ = T ( eD ) T −^1
Ejemplo : Resolver el sistema siguiente: x^ $ $^1 x 2 =^
− 2 1 1 − 2
x 1 x 2 Con las condiciones iniciales x(0)= x 0 = [1 2]t Solución : Los valores propios de la matriz A del sistema son λ 1 = -3, λ 2 =-1 y los vectores propios correspondientes son:
v 1 = (^) −^11 , v 2 = (^11)
Así, si elegimos T = 1 1 tendremos −1 1
D = T −^1 AT = −^3 0 − 1
Y por lo tanto (^) eDt^ = e
− 3 t (^) 0 0 e − t entonces
eAt^ = TeDtT −^1 = (^) −^1 1 1^1^ e
− 3 t (^) 0 0 e − t
0.5 −0. 0.5 0. nos da:
eAt^ = 12^ e
− 3 t (^) + e − t (^) − e − 3 t (^) + e − t − e −^3 t^ + e − t^ − e −^3 t^ + e − t
finalmente x ( t ) = eAtx 0 = 12 − e
− 3 t (^) + 3 e − t − 3 e −^3 t^ + 3 e − t
@ Tarea : Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales x $= Ax para la matriz A de la tarea anterior con las condi- ciones iniciales x 0 =[ 1 -1]t
