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EXPRESIONES ALGEBRAICAS - OPERATORIA ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es una representación escrita con símbolos matemáticos, tales como: números, letras, signos de operación, de agrupación, de relación.
Ejemplos.
Son expresiones algebraicas:
3x 2x – 8 (x – y) + z (3/4)x + 10 = x (^) √4𝑥 − 7 = 2 ax + by < 1
Términos. En una expresión algebraica se distinguen los términos , los cuales están separados entre sí por los signos de operación más y menos: + y –
La anterior afirmación no es una definición, sino, una forma intuitiva de concebir lo que es un término algebraico.
Ejemplos.
Las expresiones que siguen pueden ser consideradas términos de una expresión algebraica:
10x ax^2 2axyz 345 𝑎 5 𝑥𝑦𝑧^2 𝑎𝑥 10 −𝑏𝑦 √ 10 𝑎 √𝑥^2 − 16 √𝑎+ 20 𝑏+𝑐
Nota. Cuando una expresión está agrupada con paréntesis, corchetes o llaves, en sí misma, se considera que es un término; inclusive, el signo radical, la barra horizontal de la división, se los considera, en cierta forma, como signos de agrupación.
En la expresión a + b + c + d hay cuatro términos; pero en (a + b) + (c + d), hay dos términos, (a + b) y (c +d).
En la expresión 𝑥𝑎+𝑏^ + 𝑦𝑐^ hay dos términos, el primer término es 𝑥𝑎+𝑏, y en su exponente hay dos términos a y b.
Variables. Letras tales como: x, y, z, u, v, w se las utiliza como variables , es decir, que pueden “tomar” distintos valores en la misma expresión. En ciertas expresiones, como las ecuaciones, estas letras se las denomina incógnitas, variables , esto porque representan cantidades o valores desconocidos.
Una letra con subíndices, también puede representar variables, así: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n
Constantes. Letras como a, b, c, d, … se las emplea como coeficientes de variables o para la generalización de ciertas expresiones; “toman” valores constantes o fijos, es decir, representan valores particulares de ellas, con lo cual, se obtiene una expresión en particular.
Ejemplos.
La expresión ax 2 + bx + c , donde a 0; en general es un polinomio de segundo grado o de grado 2, conocido como polinomio cuadrático, donde x es la variable ; a, b son coeficientes; c es término “ independiente ”.
Si se asigna arbitrariamente valores constantes (fijos) para a , b , c , se obtiene una expresión cuadrática particular.
Así, para a = 5, b = – 7 y c = 10, se obtiene: 5 x^2 – 7 x + 10
En la expresión 200 x^2 + 35 x – 30, se tiene que a = 200, b = 35 y c = – 30
POLINOMIOS.
Una expresión algebraica con uno, dos o más términos, donde los exponentes de la variable son números enteros positivos, se denomina polinomio.
Monomio. Es una expresión algebraica con un solo término. Ejemplos: 100, 45x, abc, x 2+ b^ y^3 , 2ax^3
Binomio. Es una expresión algebraica con dos términos. Ejemplos: x + y; 25 – 9y^2 ; (x + y) + z; a^3 – b^3
Trinomio. Es una expresión algebraica con tres términos. Ejemplos: 4 x^2 – 12 x + 9; x + y + z
La expresión: 2 x^4 – 6 x^3 + 5 x^2 – 4 x + 10 es un polinomio con cinco términos.
La expresión (x + y)^2 es el cuadrado de un binomio; a^3 – b^3 es una diferencia de cubos.
La expresión (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy es una igualdad ( identidad ) en la cual, el primer miembro es el cuadrado de un binomio y el segundo miembro es un trinomio.
Nota. Una identidad es una igualdad, la cual se cumple para valores arbitrarios de sus letras o variables.
Son identidades: ( a – b )^3 = a^3 – 3 a^2 b + 3 a b^2 – b^3 sen^2 x + cos^2 x = 1 (identidad trigonométrica)
La anterior identidad trigonométrica, se cumple para cualquier valor real de x ( x expresado en radianes o en grados sexagesimales)
Términos Semejantes. Son aquellos que tienen las mismas variables y con igual exponente.
Son términos semejantes: 20 x^2 y (2/3) x^2 y x^2 y – x^2 y
Término Entero. Es aquel que no tiene variables en el denominador. Ejemplos: 10x; (1/5)y; xy/
Término Fraccionario. Es aquel que tiene una o más variables en el denominador. Ejemplos: (^40) 𝑥 ; 𝑥+𝑦3𝑥 ; (^) 𝑥−3𝑦2𝑎+
Término racional. Es aquel que no tiene variables en radicales. Los términos anteriores son racionales.
Grado de un Término. El grado de un término entero respecto a una variable, es el exponente entero no-negativo de dicha variable. Se lo llama también grado relativo.
El término 50 x^2 z^3 es de grado 2 respeto a x y de grado 3 respecto a z
3 xyz es de grado 1 respecto a x , grado 1 respecto a y , de grado 1 respecto a z
Grado Absoluto de un Término Entero. Es la suma de los grados de sus variables.
El grado absoluto de 80a x^2 y^3 z es 2 + 3 + 1 = 6
El grado absoluto de 12ab x y^4 z^3 es 8
Términos Homogéneos. Son los que tienen igual grado absoluto. Ejemplos: 60 x^4 y z^2 ; (-3/5) x^2 y^2 z^3 son homogéneos
Términos Heterogéneos. Son los que tienen diferente grado absoluto.
Polinomio de Grado Cero. Un polinomio P( x ) = k, donde k es un real fijo, es decir, es una constante, es un polinomio de grado cero. Según esto, cualquier número real, incluyendo el cero, es un polinomio de grado cero.
Polinomio de Grado Uno. Un polinomio P( x ) = a x + b , donde a 0 , es de grado uno. En este caso, se dice también que P(x) es un polinomio lineal.
La igualdad a x + b = 0 es una ecuación polinomica de grado uno o una ecuación lineal.
Polinomio de Grado Dos. Un polinomio P( x ) = a x^2 + b x + c, donde a 0 , es de grado dos. En este caso se dice también que P(x) es un polinomio cuadrático.
La igualdad a x^2 + b x + c = 0 es una ecuación polinómica de grado dos o una ecuación cuadrática.
Polinomio de Grado Tres. Un polinomio P( x ) = a x^3 + b x 2 + c x + d, donde a 0 , es de grado tres. En este caso, se dice también que P(x) es un polinomio cúbico.
La igualdad a x^3 + b x 2 + c x + d = 0 es una ecuación polinomica de grado tres o una ecuación cúbica.
OPERACIONES CON POLINOMIOS.
Adición y Sustracción. Para obtener la suma o la diferencia de polinomios, simplemente se reduce términos semejantes. No es necesario que tengan igual grado, que sean completos o que estén ordenados; pero, sí es conveniente hacerlo en forma ascendente o descendente.
Ejemplos.
P(x) = 3 x^3 – 8 x^2 + 7 x – 9 ; Q(x) = 25 + 30 x – 15 x^2 + 80x 3 ; R(x) = 23 x + 50 – 18 x^4 + 70x 3
P(x) + Q(x) = (3 + 80) x^3 + (– 8 – 15) x^2 + (7 + 30) x + (– 9 + 25) = 83 x^3 – 23 x^2 + 37 x + 16
Q(x) + R(x) = (25 + 50) + (30 + 23) x + (– 15) x^2 + (80 + 70) x^3 + (– 18) x^4 = 5 + 53 x – 15 x^2 +150 x^3 – 18 x^4
P(x) – R(x) = – (–18) x^4 + (3 – 70) x^3 – 8 x^2 + (7 – 23) x + (– 9 – 50) = 18 x^4 – 67 x^3 – 8 x^2 – 16 x – 59
P(x) – Q(x) = (3 – 80) x^3 + (– 8 + 15) x^2 + (7 – 30) x + (– 9 – 25) = – 77 x^3 + 7 x^2 – 23 x – 34
P(x) – Q(x) – R(x) =
18 x^4 + (3 – 80 – 70) x^3 + (– 8 + 15) x^2 + (7 – 30 – 23) x + (– 9 – 25 – 50) = 18 x^4 – 147 x^3 + 7 x^2 – 46 x – 84
(3 x^3 – 8 x^2 + 7 x – 9) + (9 x – 5 x^2 + 8 x^3 – 12) = (3 + 8) x^3 + ( – 8 – 5) x^2 + (7 + 9) x + ( – 9 – 12) = 11 x^3 – 13 x^2 + 16 x – 21
Propiedades o leyes de los exponentes.
Nota. La expresión a n^ es un potencia de a , n es el exponente y a es la base.
Notaciones: a b = a****. b = ab
Producto de Potencias de la Misma Base. a n^ a m^ = a n +^ m^ Se deja la base y se suma los exponentes
Producto de Potencias de Igual Exponente a n^ b n^ = ( a b ) n^ Se multiplica las bases y se deja el exponente
Cociente de Potencias de la Misma Base. a n^ / a m^ = a n^ –^ m^ Se deja la base y se resta los exponentes
Cociente de Potencias de Igual Exponente. a n^ / b n^ = ( a / b ) n^ Se divide las bases y se deja el exponente
Potencia de una Potencia. ( a n ) m^ = a n^ ^ m^ Se escribe la base y se multiplica los exponentes.
Además, a^1 = a
Para un real a diferente de cero: a^0 = 1.
También 𝑛√𝒂^ = (𝑎)^1 ⁄𝑛^ 𝑛√𝑎^ 𝑚 = (𝑎)𝑚 ⁄𝑛
Ejemplos
- a n^ a m^ = a n +^ m^ y en forma equivalente a n +^ m^ = a n^ a m
z^2 z^5 = z 2 + 5^ = z^7 x 1/2^ x 3/2^ = x 4/2^ = x^2 x^5. x –^2 = x^3
8903 890 –^2 = 890^3 –^2 = 890
6 10 6 5 6 –^13 = 6 10 + 5^ –^13 = 6 2 = 36
2.340 1/2^ 2.340 1/3^ 2.340 1/6^ = 2.34 0 (3+2+1) 6⁄^ = 2.340 1 = 2.
a a a a = a^4
a 5 a –^8 a^6 a –^3 = a^0 = 1
x^7 = x 5 + 2^ = x^5. X^2
x^7 = x^6 x = x^3 x^4
- a n^ b n^ = ( a b ) n^ y en forma equivalente ( a b ) n^ = a n^ b n
5 2 102 = (5 10)^2 = 50 2 = 2 500
a^3 b^3 = ( ab )^3 (1/500)^3 (1000)^3 = (1000/500)^3 = 2 3 = 8
( a^2 )^3 b^3 = ( a^2 b )^3 ( a k^ ) n^ ( b h) n^ = ( a k^ b h)n^ ( 5 k^ ) n^ ( a^3 )n^ ( b^2 ) n^ =( 5 k^ a^3 b^2 )n
( ab )^3 = a^3 b^3 (2 ab )^3 = 2^3 a^3 b^3 = 8 a^3 b^3
(6 a^3 b^2 )^3 = (6)^3 ( a^3 ) 3 ( b^2 )^3 = 216 a^9 b^6
- a n^ / a m^ = a n^ –^ m
a^5 / a^2 = a^5 –^2 = a^3 a^3 / a^5 = a^3 –^5 = a –^2 b^4 / b^3 = b^4 –^3 = b
2034035 2034034 = 20340
40 25041 =^250
Nota. 𝑎−^ 𝑛^ = (^) 𝑎^1 𝑛
Se ordenan P(x) y S(x) en forma descendente
Se divide el primer término de P(x) entre el primer término de S(x) y este resultado es el primer término del polinomio cociente Q(x).
Se multiplica el primer término del cociente por S(x) y este polinomio resultante se resta a P(x). Para esto, se escribe este polinomio resultante, cambiando de signo a sus términos, debajo de P(x) y se reduce términos semejantes; obteniendo de esta forma un polinomio P 1 (x), ordenado también en forma descendente.
Si el grado de P 1 (x) es mayor o igual a m , se divide el primer término de P 1 (x) entre el primer término de S(x) y este resultado es el segundo término del polinomio cociente Q(x).
Se multiplica el segundo término del cociente por S(x) y este polinomio resultante se resta a P 1 (x). Se escribe este polinomio resultante cambiando de signo a sus términos, debajo de P 1 (x) y se reduce término semejantes; obteniendo de esta forma un polinomio P 2 (x), ordenado también en forma descendente.
Si el grado de P 2 (x) es mayor o igual a m , se divide el primer término de P 2 (x) entre el primer término de S(x) y este resultado es el tercer término del polinomio cociente Q(x); y se continúa el proceso tal como en los casos anteriores.
El proceso termina cuando se obtiene un polinomio Pk(x) de grado menor que m. Este polinomio Pk(x), constituye el polinomio residuo R(x).
Ejemplos
Dividir: P(x) = 2x 3 + x 2 – 43x – 60 entre:
a) S(x) = x + 5 b) S(x) = x + 4 c) S(x) = 3x – 4 d) S(x) = x – 5 e) S(x) = 2x + 3
Como P(x) y S(x) están ordenados en forma descendente, entonces, se divide 2x 3 entre x.
2x 3 + x 2 – 43x – 60 x + 5 El resultado es 2x 2 y es el primer término del cociente.
- 2x 3 – 10x 2 2 x 2 – 9x + 2 Se multiplica 2x 2 por x + 5, lo cual resulta 2x 3 + 10x 2
P 1 (x) = – 9x 2 – 43x – 60 Este polinomio se resta a P(x), lo cual equivale a cambiarle de
9x 2 + 45x signo y sumar con P(x). Se reduce términos semejantes y se
P 2 (x) = 2x – 60 obtiene el polinomio P 1 (x) = – 9x 2 – 43x – 60
- 2x – 10 Como P 1 (x) es de grado 2 y x + 5 es de grado 1, entonces se
P 3 (x) = – 70 = R(x) procede a dividir tal como en el proceso anterior; aplicando el paso 5) y el paso 6)
Como P 3 (x) =– 70 es de grado cero, entonces termina la división y – 70 es el resto o residuo R(x)
El cociente es Q(x) = 2 x 2 – 9x + 2.
Según el algoritmo de la división: P(x) = (x + 5). (2 x 2 – 9x + 2) + (–70)
2x 3 + x 2 – 43x – 60 x + 4 2x 3 + x 2 – 43x – 60 3x – 4
- 2x 3 – 8x 2 2 x 2 – 7x – 15 - 2x 3 + (8/3)x 2 (2/3)x 2 +(11/9)x – (343/27)
P 1 (x) = – 7x 2 – 43x – 60 P 1 (x) = (11/3)x^2 – 43x – 60 7x 2 + 28x – (11/3)x^2 + (44/9)x P 2 (x) = – 15x – 60 P 2 (x) =– (343/9) x – 60 15x + 60 (342/9) x – (1.372/27) P 3 (x) = 0 = R(x) (Residuo) P 3 (x) = – 2.992/27= R(x) (Residuo) Cociente: 2 x^2 – 7x – 15 Cociente: (2/3)x^2 +(11/9)x – (343/27)
Según el algoritmo de la división se tiene que: P(x) = (x + 4). (2 x 2 – 7x – 15) + 0 = (x + 4). (2 x 2 – 7x – 15)
En este caso, P(x) queda factorizado; los factores son: (x + 4) y (2 x 2 – 7x – 15)
Para el otro ejemplo se cumple que: P(x) = (3x – 4). [(2/3)x 2 +(11/9)x – (343/27)] + (- 2.992/27)
En este caso, P(x) no está factorizado.
División Sintética o Método de Coeficientes Separados.
Un caso especial se presenta cuando se divide un polinomio P(x) de grado n , entre un polinomio lineal S(x) = a x + b
Según el algoritmo de la división, el cociente Q(x) queda de grado n – 1 y 0 < grado R(x) < 1 ( m = 1, grado de S(x)), en consecuencia, grado R(x) = 0. Según esto, R(x) es un número real, incluido cero. Esto se puede observar en los tres ejemplos anteriores. Luego, R(x) = r es un número real.
Ahora, para realizar la división entre un polinomio lineal, se realiza un proceso más simplificado , más “ corto ”, llamado división sintética o también método de coeficientes separados.
Pasos
1. Se ordena en forma descendente P(x) y se escribe únicamente sus coeficientes.
2. Se “ baja ” el primer coeficiente y se multiplica por – b / a. Este resultado se suma con el segundo coeficiente de P(x)
3. Se multiplica el resultado anterior por – b / a y este producto se suma con el tercer coeficiente de P(x).
4. Se multiplica el resultado del paso anterior por – b / a y este producto se suma con el cuarto coeficiente de P(x).
Así, en forma sucesiva hasta obtener la suma del último coeficiente de P(x) con el “ último ” producto con – b / a.
Esta última suma , es el residuo.
Se divide el primer coeficiente de P(x) y las sucesivas sumas obtenidas, excepto la última suma, la cual es el residuo. Los demás valores son los coeficientes del cociente Q(x).
Ejemplos. Efectuar las divisiones anteriormente realizadas, (pág. 7) más las dos que faltan de los literales d) y e). pág.
a) 2 1 – 43 – 60 En este caso, como S(x) = x + 5, entonces a = 1, b = 5, entonces – b / a = – 5
Ahora, si a x + b = 0 , entonces x = – b / a. Reemplazando x por este valor en P(x), se obtiene:
P(– b / a ) = 0. Q(– b / a ) + r = 0 + r = r.
Por tanto, P(– b / a ) = r
Teorema del Residuo : El resto de dividir un polinomio P(x) entre ( a x + b ) es P(– b / a )
Ahora, si el resto r es cero, entonces en P(x) = ( a x + b ) Q(x)
Como se afirmó en los ejemplos, en este caso P(x) está factorizado y la expresión ( a x + b ) es un factor lineal.
Teorema del factor : ( a x + b ) es factor (lineal) de un polinomio P(x), si y sólo si, P(– b / a ) = 0
Por tanto, a x + b es factor de P(x), si y sólo si, la división de P(x) entre a x + b, es “exacta”, es decir, el resto es cero.
En los ejemplos b), d) y e), anteriores, los residuos son cero, por lo tanto las divisiones son exactas. En consecuencia x + 4, x – 5 y 2x + 3 son factores (lineales) de P(x).
Ejemplo. Aplicando el teorema del residuo, obtener el resto de dividir P(x) = 2x 3 + x 2 – 43x – 60
Entre: a) S(x) = x + 5 b) S(x) = x + 4 c) S(x) = 3x – 4 d) S(x) = x – 5 e) S(x) = 2x + 3
a) Como S(x) = x + 5, entonces a = 1, b = 5, entonces – b / a = – 5.
P(– 5 ) = 2(– 5) 3 + (– 5) 2 – 43(– 5) – 60 = 2(– 125) + (2 5) – 43(– 5) – 60 = – 250 + 25 + 215 – 60 = – 70 = r
b) S(x) = x + 4, entonces a = 1, b = 4, entonces – b / a = – 4
P(– 4 ) = 2(– 4) 3 + (– 4) 2 – 43(– 4) – 60 = 2(– 64) + (16) – 43(– 4) – 60 = – 128 + 16 + 172 – 60 = 0 = r
c) S(x) = 3 x – 4, entonces a = 3, b = – 4, entonces – b / a = 4/
P(4/3 ) = 2(4/3) 3 + (4/3) 2 – 43(4/3) – 60 = 2(64/27) + (16/9) – 43(4/3) – 60
= 128/27 + 16/9 – 172/3 – 60 = 128/27 + 48/27 – 1.548/27 – 1.620/
= (128 + 48 – 1.548 – 1.620)/27 = – 2.992/27 = r
d) S(x) = x – 5, entonces a = 1, b = – 5, entonces – b / a = 5
P(5 ) = 2(5) 3 + (5) 2 – 43(5) – 60 = 2(125) + (25) – 43(5) – 60 = 250 + 25 – 215 – 60 = 0 = r
e) S(x) = 2x + 3, P(– 3/2 ) = 2(– 3/2) 3 + (– 3/2) 2 – 43(– 3/2) – 60 =
= 2(– 27/8) + (9/4) – 43(– 3/2) – 60 = – 27/4 + 9/4 + 129/2 – 240/
= (–27 + 9 + 258 – 240)/4 = 0/4 = 0 = r
Como se observa, estos restos ya se los había obtenido realizando las divisiones.
Ahora se presentan los anteriores procesos como ejemplos del teorema del residuo.
Obtener el resto de dividir P(x) = 12x 3 – 43 x 2 + 11x + 30, entre a) 4x – 5 b) x – 2
a) P(5/4) = 12(5/4) 3 – 43 (5/4) 2 + 11(5/4) + 30 = 12(125/64) – 43(25/16) + 55/4 + 30
= 375/16 – 1.075/16 + 220/16 + 480/16 = (375 – 1.075 + 220 + 480)/16 = 0/16 = 0 = r (residuo)
Nota. Como r = 0, entonces, 4x – 5 es un factor (lineal) de P(x)
b) P(2) = 12(2) 3 – 43 (2) 2 + 11(2) + 30 = 12(8) – 43(4) + 22 + 30 = 96 – 172 + 52 = – 24 = r (residuo)
Nota. Como r ≠ 0, entonces, x – 2 no es un factor de P(x)
Realizamos las divisiones por el método de coeficientes separados.
a) 12 – 43 11 30 b) 12 – 43 11 30
(5/4) 15 – 35 – 30 (2) 24 – 38 – 54
12 – 28 – 24 0 12 – 19 – 27 – 24
Residuo = 0 Cociente: 3x 2 – 7x – 6 Residuo = – 24 Cociente: 12x 2 – 19x – 27
Conclusión. Para obtener el residuo (resto) de la división de un polinomio P(x) entre un polinomio lineal, es “ conveniente ”, en muchos casos, aplicar el método de la división sintética.
Valor Numérico y Raíz de un Polinomio.
Si en un polinomio P( x ) se reemplaza la variable x por un número fijo k , entonces el resultado obtenido, es el valor numérico de P( x ) para x = k. Es decir, este valor numérico es P( k ).
Ahora, cuando P( k ) = 0, se dice que k es una raíz de P(x)
Ejemplos. P(x) = 2x 3 + x 2 – 43x – 60
P(– 5 ) = 2(– 5) 3 + (– 5) 2 – 43(– 5) – 60 = 2(– 125) + (2 5) – 43(– 5) – 60 = – 250 + 25 + 215 – 60 = – 70 = r
P(– 4 ) = 2(– 4) 3 + (– 4) 2 – 43(– 4) – 60 = 2(– 64) + (16) – 43(– 4) – 60 = – 128 + 16 + 172 – 60 = 0 = r
P(4/3 ) = 2(4/3) 3 + (4/3) 2 – 43(4/3) – 60 = 2(64/27) + (16/9) – 43(4/3) – 60
= 128/27 + 16/9 – 172/3 – 60 = 128/27 + 48/27 – 1.548/27 – 1.620/
= (128 + 48 – 1.548 – 1.620)/27 = – 2.992/27 = r
P(5 ) = 2(5) 3 + (5) 2 – 43(5) – 60 = 2(125) + (25) – 43(5) – 60 = 250 + 25 – 215 – 60 = 0 = r
P(– 3/2 ) = 2(– 3/2) 3 + (– 3/2) 2 – 43(– 3/2) – 60 =
= 2(– 27/8) + (9/4) – 43(– 3/2) – 60 = – 27/4 + 9/4 + 129/2 – 240/
= (–27 + 9 + 258 – 240)/4 = 0/4 = 0 = r
Ejemplo.
Sea P(x) = 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10. El término independiente es a 0 =– 10 y a (^) n = a (^) 3 = 2
Los factores (divisores) de – 10 son: 1, 2, 5, 10. Los factores (divisores) de 2 son: 1, 2
Luego, las posibles raíces racionales de la forma p / q son: factores de – 10 sobre 1 y factores de – 10 sobre 2
De esta manera, las posibles raíces racionales de P(x) son: 1, 2, 5, 10, 1/2, 5/2.
Ahora, para comprobar que una posible raíz, sea o no una raíz de P(x), se aplica la división sintética.
2 7 – 17 – 10 2 7 – 17 – 10 2 7 – 17 – 10
(1) 2 9 – 8 (– 1) – 2 – 5 22 (2) 4 22 10 ………………………………….. ……………………………………. ……………………………………. 2 9 – 8 – 18 2 5 – 22 12 2 11 5 0
Según lo anterior, P(1) = – 18; P(–1) = 22; P(2) = 0. Luego, – 1 y 1 no son raíces y 2 es una raíz de P(x).
Como 2 es una raíz P(x) = 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10, entonces P(x) = 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10 = (x – 2)( 2x 2 + 11x + 5).
Ahora se halla las raíces del polinomio cociente Q(x) = 2x^2 + 11x + 5, que también son raíces de P(x).
Nota. Las raíces de un polinomio cuadrático p(x)= a x^2 + b x + c , son soluciones de la ecuación cuadrática:
a x^2 + b x + c = 0, y se obtienen mediante la siguiente fórmula:
− 𝑏 ± √𝑏^2 − 4𝑎𝑐
Para p(x)=2x^2 + 11x + 5 : 𝑥 = −11 ± √^
(^2) − 4(2)(5) 2×2 =^
−11 ± √121 − 4 =^
− 11 ± √ 4 =^
− 11 ± 9 4
Una raíz es: − 11 + 9 4 = − 2 4 = − 12 La otra raíz es: − 1 1− 9 4 = − 20 4 = − 5
Así que: p(− 12 ) = 0; 𝑝(−5) = 0
Por tanto las raíces de la ecuación 2x^2 + 11x + 5=0, son − 12 𝑦 − 5
Las raíces del polinomio P(x) = 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10; son 2, – 5 y – 1/2; y estas raíces son las soluciones de la ecuación 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10 = 0
Nota. Los factores lineales de P(x) son (x – 2); (x + 5); (2x + 1); en consecuencia P(x) = (x – 2)(x + 5) (2x + 1); o sea que: 2x 3 + 7x 2 – 17 x – 10 = (x – 2)(x + 5) (2x + 1)
Por tanto, para obtener raíces racionales de un polinomio P(x) de grado n , se aplica la división sintética, iniciando con los coeficientes del P(x) y se continúa el proceso con los coeficientes de los sucesivos cocientes.
Ejemplo Obtener las raíces de P(x) = – 49x^3 + 6x 4 + 234x + 72 + 37x 2 (Polinomio no ordenado)
El polinomio P(x) ordenado queda así: P(x) = 6x 4 – 49x^3 + 37x 2 + 234x + 72
6 – 49 37 234 72 Las posibles raíces racionales son los divisores de 72 sobre divisores de 6:
(4) 24 – 100 – 252 – 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 ……………………………………………………… 1/2; 3/2; 9/2; 1/3, 2/3; …
6 – 25 – 63 – 18 0 Después de probar que 1, 2, 3 no son raíces, se obtiene la “primera”
(6) 36 66 18 raíz, que es 4 y después 6. …………………………………………………… En la primera división, el cociente es de grado 3; en la segunda el cociente es 6 11 3 0 de grado 2 y sus raíces son – 3/2 y – 1/3.
Respuesta. Las raíces del polinomio de grado 4, son: 4, 6, – 3/2 y – 1/3.
Las soluciones de la ecuación 6x 4 – 49x^3 + 37x 2 + 234x + 72 = 0, son : 4, 6 , – 3/2 y – 1/3.
Los factores lineales de P(x) = 6x 4 – 49x^3 + 37x 2 + 234x + 72; son: x – 4; x – 6; 2x + 3; 3x + 1. Entonces:
P(x) = 6x 4 – 49x^3 + 37x 2 + 234x + 72 = (x – 4) (x – 6) (2x + 3)(3x + 1).
Teorema Fundamental del Algebra
Un polinomio de grado n , tiene como Máximo n raíces complejas Diferentes.
Una ecuación polinomica de grado n , tiene como Máximo n soluciones complejas Diferentes.
Nota. Si las raíces diferentes de un polinomio P(x) de grado 3, son dos, k y h , entonces una de las dos se repite.
Así: P(x) = (x – h )(x – h )( x – k ) o P(x) = (x – h )(x – k )( x – k )
Las raíces de un polinomio P(x), son las soluciones de la ecuación polinómica P(x) = 0
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Suma Por Diferencia de Dos Expresiones: (A + B) (A – B) = A 2 – B 2
La suma por la diferencia o diferencia por suma, de dos expresiones, es igual al cuadrado de la “primera” expresión que está en la diferencia , menos el cuadrado de la otra expresión.
Ejemplos
(5 + x)(5 – x) = 25 – x 2 (x 2 – y)( x 2 + y) = (x 2 )^2 – y 2 = x 4 – y 2 (8 – x 3 )(x 3 + 8) = 64 – (x^3 )^2 = 64 – x 6
(3x + 2y)(2y – 3x) = (2y)^2 – (3x)^2 = 4y^2 – 9x^2 (√7 – 4xy^2 )( 4xy^2 + √7 ) = (√7 )^2 – (4xy 2 )^2 = 7 – 16x^2 y^4
Cuadrado de un Binomio : (A + B)^2 = A 2 + 2AB + B 2 (A – B)^2 = A 2 – 2AB + B 2
En el desarrollo de un trinomio, sus términos no necesariamente deben tener el “orden” señalado anteriormente.
Diferencia de Cuadrados. (Caso “contrario” de la suma por diferencia) A 2 – B 2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos
100 – x^2 = 10 2 – x^2 = (10 + x ) (10 – x ) 144 – 25x^2 = 12 2 – (5x) 2 = (12 – 5x ) (12 + 5x )
a^6 – b^8 = ( a^3 ) 2 – ( b^4 )^2 = ( a^3 – b^4 ) ( b^4 + a^3 ) 36x^2 – 49y 4 = (6x)^2 – (7y^2 ) 2 = (6x + 7y ) (6x – 7y )
10 a^2 x 4 – 5 b y 8 = (√10 a x 2 )^2 – (√5𝒃 y 4 )^2 = (√10 a x 2 + √5𝒃 y 4 ) (√10 a x 2 – √5𝒃 y 4 )
Trinomio Cuadrado Perfecto. (Caso “contrario” del cuadrado de un binomio) A 2 2AB + B 2 = (A B)^2
Ejemplos
36x^2 + 60xy + 25y^2 = (6x)^2 + 2(6x)( 5y) + (5y )^2 = (6x + 5y )^2 36x^2 – 60xy + 25y^2 = (6x – 5y )^2
9y^2 + 12xy + 4x^2 = (3y)^2 + 2(3y)( 2x) + (2x)^2 = (2x + 3y )^2 4x^2 + 9y^2 – 12xy = (2x – 3y )^2
30x 2 y 4 + 9x 4 + 25y 8 = (3x 2 )^2 + (5y 4 )^2 + 2(3x 2 )( 5y 4 ) = ( 3x 2 + 5y 4 )^2.
Factorización de un Trinomio Cuadrático. a x 2 + b x + c = (𝒂𝑥 + 𝑚 )(𝒂𝑥 + 𝑛)𝒂 ; donde mn = ac y m + n = b
Como caso particular, cuando a = 1: x 2 + b x + c = (x + m ) (x + n), donde mn = c y m + n = b
Ejemplos.
x 2 + 13x + 40 = ( x + 5 ) (x + 8 ) m = 5 y n = 8, porque 5 + 8 = 13 = b y 5 8 = 40 = c
x 2 + 3x – 70 = (x + 10) (x + (– 7)) = ( x + 10) (x – 7) m = 10 y n = – 7, 10 + (– 7) = 3 y 10 (– 7) = – 70
x 2 – 9x – 220 = ( x + 11 ) (x – 20) m = 11 y n = – 20, 11 + (– 20) = – 9 y 11 (– 20) = – 220
x 2 – 14x + 48 = ( x – 8 ) (x – 6) m = – 8 y n = – 6, – 8 + (– 6 ) = – 14 y – 8 (– 6) = 48
60𝑥^2 + 37𝑥 + 5 =
60 =^ (12𝑥 + 5)(5𝑥 + 1)
En este ejemplo, m = 25 y n = 12, porque 25 12 = 300 = 60 5 = ac ; 25 + 12 = 37 = b
Factor Común
Si en cada uno de los términos de una expresión hay un factor común, entonces dicha expresión es igual al factor común multiplicado por la expresión que se obtiene de dividir cada término de la expresión inicial, por ese factor.
Ejemplos.
5a + 5ax + 5ay – 5az = 5a(1 + x + y – z) 12 + 24x – 36y + 12z = 12(1 +2x – 3 y + z)
3x 4 – 4x 3 + 8x^2 – 9x = x(3x 3 – 4x 2 + 8x – 9) (5/2)x 3 + (7/2)x 2 – (1/2)x = (1/2) (5x 3 + 7x 2 – x)
20a 2 x 3 – 25a 3 y + 30a 4 z 4 = 4(5a^2 )x^3 – 5(5a^2 )a y + 6(5a^2 )a 2 z 4 = (5a^2 )( 4x^3 – 5ay + 6a 2 z 4 )
Diferencia y Sumas de Potencias
𝐴𝑛^ − 𝐵𝑛^ = (𝐴 − 𝐵)( 𝐴𝑛− 1^ + 𝐴𝑛−2𝐵 + 𝐴𝑛−3^ 𝐵^2 +..... + 𝐵𝑛−1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝒏
𝐴𝑛^ − 𝐵𝑛^ = (𝐴 + 𝐵)(𝐴𝑛− 1^ − 𝐴𝑛−2𝐵 + 𝐴𝑛−3^ 𝐵^2 −..... − 𝐵𝑛−1^ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝒑𝒂𝒓 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝒏
𝐴𝑛^ + 𝐵𝑛^ = (𝐴 + 𝐵)(𝐴𝑛− 1^ − 𝐴𝑛−2𝐵 + 𝐴𝑛−3^ 𝐵^2 −..... + 𝐵𝑛−1^ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝒏
Nota. Los denominadores en los cocientes notables, los cuales son divisores de los numeradores, ahora pasan a ser factores de los numeradores.
Ejemplos
43 − 𝑥^3 = (4 − 𝑥)(4 3− 1^ + 4 3−2𝑥 + 43−3^ 𝑥^2 ) = (4 − 𝑥)(4 2 + 4 1 + 4^0 𝑥^2 ) = (4 − 𝑥)(16 + 4𝑥 + 𝑥^2 )
25 − 𝑥^4 = 52 − (𝑥^2 )^2 = ( 5 − 𝑥^2 )(5 2− 1^ + 5 2 −2𝑥^2 ) = ( 5 − 𝑥^2 )(5 + 𝑥^2 )
16 − 81𝑥 4 = 2 4 − (3𝑥) 4 = (2 + 3𝑥)(2 3 − 2 2 (3𝑥) + 2(3𝑥)^2 − (3𝑥)^3 ) = (2 + 3𝑥) (8 − 12𝑥 + 18𝑥^2 − 27𝑥^3 ) 6 3 + 𝑥^3 = (6 + 𝑥)(6 2 − 6𝑥 + 𝑥^2 ) = (6 + 𝑥)(36 − 6𝑥 + 𝑥 2 ) 1 + 𝑥^3 = (1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥^2 )
1 − 𝑥^3 = ( 1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥^2 ) 8 − 𝑥^3 = 2^3 − 𝑥^3 = ( 1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥^2 )
32 + 𝑥^10 = 2^5 + (𝑥^2 )^5 = ( 2 + 𝑥^2 )(2 4 − 2 3 𝑥^2 + 2^2 (𝑥^2 )^2 − 2(𝑥^2 )^3 + (𝑥^2 )^4 )
= (2 + 𝑥^2 )(16 − 8𝑥^2 + 4𝑥^4 − 2𝑥^6 + 𝑥^8 )
Observe y compare los resultados obtenidos, con los ejemplos de cocientes notables, pág. 15
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una fracción algebraica que contiene radicales en el denominador, consiste en obtener otra expresión algebraica equivalente de modo que el denominador no contenga radicales.
Caso 1. Fracciones con denominador^ 𝑛√𝐴^ 𝑛√𝐴𝐾 = 𝐾.^ √𝐴^
𝑛 𝑛− 𝐴 (Cuando n = 2, no se escribe el 2)
Ejemplos.
1 (^3) √2 =^
- 3 √2 3− 2 =^
(^3) √2 2 2 =^
(^3) √ 4 2
1 √3^ =^
√3 2− 3 =^
√3 1 3 =^
√ 3
1 √5^ =^
√ 5
1 √2^ =^
√ 2
10 (^3) √5 =^
10 √5^32 5 = 2 √
3 − (^3) √30 =^
− 20 √30^3 30 =^
−2 √900^3 3
7 √10^ =^
7 √ 10
− 45 √15^ =^
− 45√ 15 = −3√
Caso 2. Fracciones con denominador √𝐴 √𝐵 (^) √𝐴 𝐾+ √𝐵 = 𝑘(√𝐴 − √𝐵 )𝐴 − 𝐵 √𝐴 − √𝐵^ 𝐾 = 𝑘(√𝐴 + √𝐵 )𝐴 − 𝐵
Tener en cuenta que las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación polinomica P(x)=0.
Ejemplos. Ver los ejemplos de factorización de un trinomio de la forma a x 2 + b x + c (pág. 16)
Como x 2 + 13x + 40 = ( x + 5 ) (x + 8 ), entonces las raíces del polinomio x 2 + 13x + 40 son: – 5 y – 8
Luego, las soluciones de la ecuación x 2 + 13x + 40 = 0, son – 5 y – 8
De igual manera, las soluciones de la ecuación x 2 + 3x – 70 = 0, son – 10 y 7
Las soluciones de la ecuación x 2 – 9x – 220 = 0 son – 11 y 20
Las soluciones de la ecuación x 2 – 14x + 48 = 0 son 6 y 8
Las soluciones de 60x 2 + 37x + 5 = 0 son – 5/12 y – 1/
Ver otros ejemplos de raíces de un polinomio, en los cuales se estableció al mismo tiempo las soluciones de la respectiva ecuación polinomica.
Las soluciones de una ecuación cuadrática se las halla también aplicando la fórmula establecida en la página 13.
Ecuaciones Fraccionarias Con una variable
Una ecuación o inecuación es fraccionaria , cuando tiene al menos un término fraccionario.
Para resolver una ecuación fraccionaria se la debe transformar en ecuación polinómica , para lo cual se aplica primero trasposición de factores, divisores, términos, etc.
Ejemplos.
2
6𝑥 + 1 = 𝑥^ ^ 2 = 𝑥(6𝑥 + 1) = 6𝑥
La factorización se realiza con la fórmula de la página 15 y repetida en la anterior. Las soluciones son: – 2/3 y 1/
𝑥 𝑥 − 3 +^
10 = 3^ ^
10(𝑥 − 3) =^3 ^ 10𝑥 + 𝑥
𝑥^2 − 23𝑥 + 90 = 0 ( 𝑥 − 5)(𝑥 − 18) = 0. 𝐿𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛: 5 𝑦 18
4𝑥^2 + 16𝑥 + 3𝑥^2 + 12𝑥 + 2𝑥^2 = 2𝑥^2 (𝑥 + 4)
9𝑥^2 + 28𝑥 = 2𝑥^3 + 8𝑥^2
2𝑥^3 − 𝑥^2 − 28𝑥 = 0
𝑥( 2𝑥^2 − 𝑥 − 28) = 0
Las soluciones de la última ecuación son: 0, 4 y – 7/2; pero en la ecuación fraccionaria inicial, x no puede ser cero.
Luego las soluciones de la ecuación fraccionaria son: 4 y – 7/
Conclusión. “ transformada ” una ecuación fraccionaria en ecuación polinómica, se resuelve esta última, tal como se ha realizado en los ejemplos de raíces de un polinomio o soluciones de una ecuación polinomica. Luego se debe tener en cuenta que en una fracción, el denominador no puede ser igual a cero.
Ecuaciones Con Radicales
Son aquellas que tienen al menos un radical (raíz cuadrada, raíz cúbica).
Para resolver una ecuación con radicales es conveniente dejar un radical en un miembro de la igualdad, con el fin de elevar al cuadrado o al cubo, según el caso, y así “eliminar” el radical para obtener una ecuación polinómica.
Nota. Cuando se eleva al cuadrado, muchas veces se introducen raíces “extrañas”. Por esto, es necesario comprobar los valores obtenidos en la ecuación inicial.
Cuando delante de una raíz cuadrada no está el signo menos, se considera o toma únicamente la raíz positiva
√16 = 4 √2 = 1.414213..... − √144 = −12 ∓ √169 = ±13 √1 = 1
Ejemplos.
Si (^) √𝑥 = 4, entonces x = 16 Si √𝑥 + 5 = 5 , entonces, 𝑥 + 5 = 25 y 𝑥 = 20. Solución de la ecuación: 5
√4𝑥 + 5 = 𝑥 4 𝑥 + 5 = 𝑥^2 𝑥^2 – 4 𝑥 – 5 = 0 (𝑥 + 1 ) ( 𝑥 − 5) = 0 𝑥 = – 1 ; 𝑥 = 5
Las soluciones de la ecuación cuadrática son: – 1; 5; pero reemplazando 𝑥 por – 1 en la ecuación inicial, no se cumple:
√4(−1) + 5 = (^) √−4 + 5 = (^) √1 = 1 – 1 Para 𝑥 = 5: √4(5) + 5 = (^) √20 + 5 = √25 = 5
Así, la solución de la ecuación con radical es 5.
√5𝑥 + 39 – 𝑥 = 9^ ^ √5𝑥 + 39^ = 𝑥 + 9^ ^ 5𝑥 + 39 = (𝑥 + 9 )^2 = 𝑥^2 + 18𝑥 + 81^
𝑥^2 + 18𝑥 + 81 − 5𝑥 − 39 = 0 𝑥^2 + 13𝑥 + 42 = 0 (𝑥 + 6)(𝑥 + 7) = 0 𝑥 = −6 ; 𝑥 = −
Comprobando: √5(−6) + 39 – (−6) = √−30 + 39 + 6 = √9 + 6 = 3 + 6 = 9
√5(−7) + 39 – (−7) = √−35 + 39 + 7 = √4 + 7 = 2 + 7 = 9
Así, las soluciones de la ecuación inicial son: – 6 y – 7. En este caso, no se introdujeron raíces “extrañas”
Ecuaciones Con Valor Absoluto
Para resolver una ecuación con valor absoluto, se aplica propiedades del valor absoluto. De esta forma se obtiene una ecuación polinomica.
Nota. Para un número real x, el valor absoluto de x se denota o indica así: |x|
Definición : |x| = x si y sólo si x > 0 ( x es mayor o que 0) y |x| = – x si y sólo si x < 0
