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Cap´ıtulo 4: Aplicaciones de las derivadas. M´aximos y m´ınimos
´Indice
1 Puntos cr´ıticos de funciones de una variable. M´aximos y m´ınimos. 1 1.0.1 Ejercicios.................................. 6
2 Concavidad y convexidad. Dibujo de gr´aficas. 7
3 Para saber m´as: Teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hˆopital. 9
4 Ejercicios 11
1 Puntos cr´ıticos de funciones de una variable. M´aximos y
m´ınimos.
Definici´on: Se dice que una funci´on real f tiene un m´aximo absoluto en un punto c si f (c) ≥ f (x) para todo x de D, donde D es el dominio de la funci´on (el conjunto donde est´a definida f ). El n´umero f (c) se llama valor m´aximo de f en D. An´alogamente, se dice que f tiene un m´ınimo absoluto en c si f (c) ≤ f (x), para todo x de D y el n´umero f (c) se llama valor m´ınimo de f en D. La figura siguiente muestra la gr´afica de una funci´on f con un m´aximo absoluto en d y un m´ınimo absoluto en a. Se observa que el punto (d, f (d)) es el punto m´as alto de la gr´afica y (a, f (a)) es el punto m´as bajo.
Si en la figura consideramos s´olo valores de x pr´oximos a b (por ejemplo, si nos restringi- mos al intervalo (a, c)), entonces f (b) es el mayor de estos valores de f (x) y se dice que es valor m´aximo relativo (o local) de f. Del mismo modo, f (c) se dice que es un valor m´ınimo relativo (o local) de f porque f (c) ≤ f (x) para todo x suficientemente cerca de c (por ejem- plo, en el intervalo (b, d)). La funci´on f tambi´en tiene un m´ınimo local en e. En general, tenemos la siguiente definici´on:
Definici´on: Se dice que una funci´on f tiene un m´aximo relativo (o m´aximo local) en c si f (c) ≥ f (x) para todo x que est´e suficientemente cerca de c (es decir, para todo x contenido en alg´un intervalo abierto que contenga a c). An´alogamente, se dice que f tiene un m´ınimo relativo (o local) en c, si f (c) ≤ f (x) para todo x suficientemente cerca de c.
Ejemplos: 1) La funci´on f (x) = cos x alcanza su valor m´aximo (local y absoluto) de 1 infinitas veces, ya que cos 2nπ = 1 para cualquier entero n y − 1 ≤ cos x ≤ 1 para todo x. Del mismo modo, cos(2n + 1)π = −1 es su valor m´ınimo, donde n es cualquier entero.
- Si f (x) = x^2 , entonces f (x) ≥ f (0) = 0, para todo x, de modo que f (0) = 0 es el valor m´ınimo absoluto (y local) de f. Sin embargo, esta funci´on carece de valor m´aximo (local o absoluto).
- La funci´on f (x) = x^3 no tiene valores m´aximos ni m´ınimos (absolutos o relativos). Vemos por los ejemplos anteriores que algunas funciones tienen valores extremos mientras que otras no los tienen. El siguiente teorema nos proporciona condiciones que garantizan que una funci´on tenga valores extremos.
Teorema: Si f es una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor m´aximo absoluto f (c) y un valor m´ınimo absoluto f (d) en puntos c y d de [a, b].
(Obs´ervese que un valor extremo puede alcanzarse m´as de una vez.) El teorema anterior nos dice que una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene m´aximo y m´ınimo absolutos, pero no nos dice c´omo encontrarlos. Para ayudarnos en esta tarea disponemos del siguiente teorema.
- El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor m´aximo absoluto; el menor de estos valores es el valor m´ınimo absoluto.
Ejemplos:
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = x − 2 x^3 definida en el intervalo [0, 1], formado por los puntos x que verifican 0 ≤ x ≤ 1. Primero, observamos que estamos considerando la funci´on definida s´olo sobre el intervalo [0, 1], que es cerrado, y que la funci´on que nos dan es continua, luego existen el m´aximo y el m´ınimo. Como adem´as es derivable, los puntos a considerar son los extremos del intervalo: 0, 1, y adem´as aquellos x tales que y′(x) = 0. Calculemos primero estos puntos:
0 = y′(x) = 1 − 6 x^2 , de donde x =
ya que la otra soluci´on x = − 1 /
6 de la ecuaci´on anterior no se encuentra dentro del intervalo [0, 1]. Los valores m´aximo y m´ınimo se han de dar, pues, en 0, 1 o 1/
- Calculemos y en cada uno de esos puntos:
y(0) = 0, y(1) = − 1 , y
de donde se deduce que el valor m´ınimo es −1, que se alcanza en x = 1 y el valor m´aximo es 3 √^26 , que se alcanza en x = √^16.
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = x − 2 x^3 definida en el intervalo (0, 1), formado por los puntos x que verifican 0 < x < 1. En este caso, el intervalo (0, 1) sobre el que est´a definida la funci´on no es cerrado, y no podemos asegurar la existencia de m´aximo y m´ınimo como antes, pero podemos emplear un truco. Podemos darnos cuenta de que la funci´on sigue estando bien definida y es continua en el intervalo cerrado [0, 1], resolver el problema como en el caso anterior (ahora es el mismo problema de antes) y luego eliminar las soluciones que no caigan dentro del intervalo en que est´a definida nuestra funci´on. As´ı, usando el ejercicio anterior, la respuesta a este es que f no tiene m´ınimo, y tiene un m´aximo en x = 1/
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = 1/x definida en el intervalo (0, 1], formado por los puntos x que verifican 0 < x ≤ 1. En este caso, el intervalo (0, 1] sobre el que est´a definida la funci´on no es cerrado, y no podemos asegurar la existencia de m´aximo y m´ınimos, ni podemos tampoco emplear el truco anterior, ya que la funci´on no est´a definida en x = 0. Primero calculamos los x que verifican
0 = y′(x) = −
x^2
que no existen, pues − (^) x^12 < 0 para todo x. Adem´as
y(1) = 1 <
x
para x ∈]0, 1[,
luego esta funci´on tiene un m´ınimo en x = 1 y no tiene ning´un m´aximo.
En los ejemplos anteriores las funciones que aparecen son derivables en todos los puntos en los que est´an definidas. De acuerdo con lo dicho m´as arriba, si la funci´on a estudiar es continua pero no es derivable en todos los puntos debemos tener en cuenta que los puntos en los que no existe la derivada tambi´en son puntos cr´ıticos, y por tanto son tambi´en candidatos a ser m´aximos o m´ınimos. Veamos un ejemplo:
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = x (^23) definida en R. La funci´on est´a definida y es continua en todo R, pero como R no es un intervalo cerrado, de momento no sabemos si y(x) tiene m´aximos o m´ınimos. Los candidatos a tales puntos son los puntos cr´ıticos. Para encontrarlos, calculemos
y′(x) =
x−^ (^13) =
√ (^3) x ,
que no se anula nunca y que est´a definida en todo R excepto en x = 0, luego x = 0 es el ´unico punto en el que y(x) no es derivable y, por lo tanto, el ´unico candidato a ser m´aximo o m´ınimo. Para descubrir qu´e es, vamos a considerar la restricci´on de y(x) = x
2 (^3) al intervalo cerrado [−a, a], sobre el que sigue siendo continua. Entonces sabemos que, en ese intervalo, esta funci´on tiene un m´aximo y un m´ınimo, y los ´unicos candidatos a serlo son a, −a y 0. Calculando en esos puntos, tenemos
y(a) = a
2 (^3) = (−a) 2 (^3) = y(−a) > 0 = y(0),
luego, para cada a > 0, 0 es un m´ınimo de y(x) sobre el intervalo [−a, a], luego, como para todo x ∈ R existe un a > 0 tal que x ∈ [−a, a], se tiene que y(0) ≤ x para todo x ∈ R, luego 0 es un m´ınimo (el ´unico adem´as) para la funci´on x (^23) definida sobre R.
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) =
x si x > 0 0 si x = 0 x^2 si x < 0
definida sobre
R. Se resuelve como el ejemplo anterior.
Como se ha dicho m´as arriba una condici´on necesaria para que una funci´on derivable f tenga un m´aximo o un m´ınimo relativo en un punto c es que f ′(c) = 0. Tambi´en hemos visto que esta condici´on no es suficiente. Para conseguir una condici´on suficiente debemos recurrir a la derivada segunda de f , suponiendo que exista, como veremos un poco m´as adelante. En cambio, si la derivada de la funci´on f es positiva o negativa s´ı que podemos extraer alguna conclusi´on sobre el comportamiento de la funci´on, como se indica en el siguiente teorema, cuya demostraci´on requiere de resultados algo m´as avanzados (V´ease el apartado “Para saber m´as ...”.).
Teorema: Sea f una funci´on derivable en un intervalo (a, b). Si f ′(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente (es decir, si y < z, entonces f (y) < f (z), para todos y, z en (a, b).) Si f ′(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente (es decir, si y < z, entonces f (y) > f (z), para todos y, z en (a, b).)
Con la ayuda de este teorema podemos demostrar el resultado que sigue, que nos da una condici´on suficiente para que f tenga un m´aximo o un m´ınimo local en c.
- Encontrar el paralelogramo de ´area m´axima cuyo per´ımetro es 36.
- Encontrar la regi´on formada por dos paralelogramos pegados como los de la figura que encierran un ´area m´axima y tales que su per´ımetro (contando el lado interior) es 36.
2 Concavidad y convexidad. Dibujo de gr´aficas.
Adem´as de para detectar m´aximos y m´ınimos, la segunda derivada tambi´en sirve para darnos informaci´on sobre la forma de la gr´afica de la funci´on f : Definici´on: Se dice que una funci´on f es convexa en un punto c si la gr´afica de f en todo entorno suficientemente peque˜no de c est´a por encima de la recta tangente en c. Se puede comprobar que si f ′′(c) > 0, entonces f es convexa en c. Adem´as, si f es convexa en (todos los puntos de) un intervalo (a, b), entonces la gr´afica de f entre dos puntos cualesquiera de (a, b) est´a por debajo del segmento rectil´ıneo que une estos dos puntos.
Definici´on: Se dice que una funci´on f es c´oncava en un punto c si la gr´afica de f en todo entorno suficientemente peque˜no de c est´a por debajo de la recta tangente en c. Se puede comprobar que si f ′′(c) < 0, entonces f es c´oncava en c. Adem´as, si f es c´oncava en (todos los puntos de) un intervalo (a, b), entonces la gr´afica de f entre dos puntos cualesquiera de (a, b) est´a por encima del segmento rectil´ıneo que une estos dos puntos.
Como la derivada segunda f ′′^ es la derivada de f ′, se tiene que en los puntos en los que f es convexa la derivada, que en cada punto nos da la pendiente de la recta tangente, es creciente, mientras que en los puntos en los que f es c´oncava f ′^ es decreciente.
Los puntos en los que la gr´afica de f pasa de ser c´oncava a ser convexa o de convexa a c´oncava se llaman puntos de inflexi´on y en ellos se anula f ′′. Veamos algunos ejemplos.
- Gr´afica de la funci´on y = x^2 + x + 1. Para averiguar los m´aximos y m´ınimos, calcu- lamos la derivada e igualamos a cero: y′^ = 2x + 1 = 0, la soluci´on es x = − 1 /2. Calculamos ahora la se- gunda derivada y sale y′′^ = 2 > 0, luego la funci´on es convexa y x = − 1 /2 es un m´ınimo, y su aspecto ser´a como el de la figura adjunta.
- Gr´afica de la funci´on y = x^3 + x^2 + 1. Para averiguar los m´aximos y m´ınimos, calcu- lamos la derivada e igualamos a cero: y′^ = 3x^2 + 2x = 0, las soluciones son x = − 2 / 3 , x = 0. Calculamos ahora la segunda derivada y sale
y′′^ = 6x + 2
< 0 en x < − 1 / 3 = 0 en x = − 1 / 3
0 en x > − 1 / 3
luego x = 0 es un m´ınimo, x = − 2 /3 es un m´aximo, la funci´on es c´oncava para x < − 1 /3 y convexa para x > − 1 /3. Su aspecto ser´a como el de la figura adjunta.
- Gr´afica de la funci´on y = (x^2 − 7 x + 12)/(x − 2). Primero observamos que esta funci´on no est´a definida en x = 2 (punto en el que se anula el denominador). Para averiguar los m´aximos y m´ınimos, calculamos la derivada e igualamos a cero: y′^ = (x^2 − 4 x + 2)/(x − 2)^2 = 0, las soluciones son x = 2 +
2 , x = 2 −
- Calculamos ahora la segunda derivada y sale
y′′^ =
(−2 + x)^3
< 0 en x < 2
0 en x > 2
luego x = 2 +
2 es un m´ınimo, x = 2 −
2 es un m´aximo, la funci´on es c´oncava en x < 2 y convexa en x > 2, luego su aspecto ser´a como el de la figura adjunta.
Ejercicio: Dibuja el aspecto de la gr´afica de la funci´on
y =
x x^2 + 1
Idea de la demostraci´on Basta aplicar el teorema de Rolle a la funci´on
h(x) = f (x) −
f (b) − f (a) b − a (x − a).
De nuevo es posible considerar natural este teorema observando la siguiente gr´afica
Un ejemplo de aplicaci´on, y tambi´en de no aplicabilidad, de la regla de L’Hˆopital es el siguiente: supongamos que queremos calcular
lim x→ 0
sen x pxp−^1
Para p > 1 y par se cumplen todas las hip´otesis de la regla, y se tiene que
lim x→ 0
sen x p xp−^1
= lim x→ 0
cos x p(p − 1)xp−^2
= 12 si p = 2 = ∞ si p > 2 y par no converge si p > 2 e impar
pero si p = 1 no se cumple la condici´on b), y
lim x→ 0
sen x x^1 −^1 6 = lim x→ 0
cos x 0
pues el l´ımite de la izquierda da 0 y el de la derecha no est´a definido. Si queremos calcular lim x→ 0
1 − cos x xp^
distinguimos nuevamente: para p = 1 se cumplen todas las hip´otesis de la regla de L’Hˆopital, y se tiene
lim x→ 0
1 − cos x x
= lim x→ 0
sen x 1
para p > 1 el cociente de derivadas es justamente el del ejercicio anterior, que no se puede saber a priori si cumple la condici´on c) o no, pero se averigua si la cumple o no volviendo a aplicar L’Hˆopital, como hicimos antes.
La regla de L’Hˆopital tambi´en es cierta cuando la condici´on a) se cambia por limx→x 0 f (x) = ±∞ = limx→x 0 g(x). As´ı, por ejemplo,
lim x→∞
x − 2 x^2 3 x^2 + 5x
= lim x→∞
1 − 4 x 6 x + 5
4 Ejercicios
- Un plano M N separa un medio en el cual la velocidad de propagaci´on de la luz es v 2 de otro medio en el cual la velocidad es v 1. ¿Cu´al ser´a la ley de propagaci´on para que un rayo de luz vaya del punto A al punto B en el intervalo de tiempo m´as corto posible?
- La intensidad de iluminaci´on de un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al foco luminoso. Dos luces, la primera de ellas con 8 veces m´as intensidad que la otra, est´an separadas por 6 metros. ¿A qu´e distancia de la luz de mayor intensidad, y para un punto situado entre las dos luces, es la iluminaci´on total m´ınima?
- Considera la par´abola y = x^2. (a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto (2,4). (b) Calcula ahora, en general, la ecuaci´on de la recta normal en un punto cualquiera P de la par´abola. (c) Encuentra el punto intersecci´on Q de la recta normal anterior con la misma par´abola. (d) Demuestra que la distancia de P a Q se minimiza cuando P = (±
√ 2 2 ,^
1 2 ).
- Calcula la m´ınima cantidad M de material para poder construir un cilindro circular recto y vac´ıo, abierto por la parte superior, para que pueda contener un volumen V y tal que el grosor de las paredes sea a.
- Un d´ıa, al salir de casa, cuando ya te encuentras a 10 Km, te das cuenta de que te has dejado un grifo abierto y decides dar media vuelta. El agua que sale del grifo cuesta 10 ptas. por hora. Ir en tu coche a una velocidad de s kil´ometros por hora cuesta 6 + 10 s ptas. por kil´ometro. La pregunta es: ¿a qu´e velocidad deber´ıas de ir para minimizar la suma del coste del agua y del viaje en tu coche?
- Un fabricante de gafas de sol puede fabricar 50.000 unidades con un precio de venta de 16 euros por unidad y con un coste fijo de 9000 euros m´as 11 euros y medio por unidad producida. a) Explica por qu´e la entrada total de dinero, E, el coste total, C, i el beneficio, B, han de satisfacer las ecuaciones E = 16x, C = 9000 + (11.5)x, B = E − C = (4.5)x − 9000.
