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Cap´ıtulo 4: Optimizaci´on
´Indice
1 Puntos cr´ıticos para funciones de una variable. M´aximos y m´ınimos ab- solutos. 1 1.0.1 Ejercicios.................................. 3
2 M´aximos y m´ınimos relativos. Concavidad y convexidad. Dibujo de gr´aficas. 4
3 Para saber m´as: Teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hˆopital. 7
4 Ejercicios 10
1 Puntos cr´ıticos para funciones de una variable. M´aximos
y m´ınimos absolutos.
Sea I un intervalo como los que describimos en el cap´ıtulo I, de extremos a y b, a < b, y sea f una funci´on real definida sobre I. Diremos que un punto x ∈ I es un m´aximo de f , y que f (x) es un valor m´aximo si f (x) ≥ f (y) para todo y ∈ I. Diremos que un punto x ∈ I es un m´ınimo de f , y que f (x) es un valor m´ınimo si f (x) ≤ f (y) para todo y ∈ I. Un punto x ∈ I se dice que es un punto cr´ıtico de una funci´on f definida sobre I si f ′(x) = 0, y al correspondiente n´umero f (x) se le llama valor cr´ıtico de f. Se verifica que si x ∈ I es un m´aximo o un m´ınimo para la funci´on f definida y derivable sobre I, entonces x es un punto cr´ıtico de f. Es f´acil entender el por qu´e de este resultado estudiando la relaci´on del signo de la derivada con el crecimiento o decrecimiento de la funci´on. De la interpretaci´on geom´etrica se intuye que la pendiente de la curva en un punto es positiva si y s´olo si la funci´on es creciente (x < y =⇒ f (x) < f (y)) en las proximidades de ese punto. Tambi´en se de- duce este hecho anal´ıticamente a partir de la definici´on de derivada: f es creciente en las proximidades de x si para ∆x > 0 suficientemente peque˜no f (x + ∆x) > f (x), de donde f ′(x) = lim∆x→ 0 f^ (x+∆∆xx)− f^ (x)> 0 , y rec´ıprocamente, si lim∆x→ 0 f^ (x+∆∆xx)− f^ (x)> 0 , para ∆x suficientemente peque˜no debe de ocurrir que f^ (x+∆∆xx)− f^ (x)> 0. Un argumento an´alogo se puede escribir para funciones decrecientes, resultando as´ı que una funci´on derivable f es
creciente (resp. decreciente) en x si y solo si f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) < 0 ). Resulta, por tanto, que los puntos en que la funci´on es derivable y se alcanza un m´aximo o un m´ınimo deben de ser puntos cr´ıticos, pues, si x no es un punto cr´ıtico, entonces, o bien f ′(x) < 0, y la funci´on es creciente en x, o bien f ′(x) < 0, y la funci´on es decreciente en x.
Se deduce de la proposici´on anterior que relacionaba los m´aximos y m´ınimos con los puntos cr´ıticos que, para encontrar los m´aximos y m´ınimos de una funci´on (que no tienen por qu´e ser ´unicos, aunque si lo son el valor m´aximo y el valor m´ınimo), basta con estudiar los valores de f en los puntos cr´ıticos y en los extremos del intervalo, pues son los ´unicos candidatos a m´aximos o m´ınimos. Tambi´en ayuda en la determinaci´on de los m´aximos y m´ınimos el siguiente resultado: Una funci´on cont´ınua definida sobre un intervalo cerrado y acotado [a, b] tiene al menos un m´aximo y un m´ınimo en ese intervalo. Vamos a ver como se usa todo esto en algunos ejemplos:
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = x − 2 x^3 definida en el intervalo formado por los puntos x que verifican 0 ≤ x ≤ 1. Primero, observamos que estamos considerando la funci´on definida s´olo sobre el intervalo [0, 1], que es cerrado, y que la funci´on que nos dan es cont´ınua, luego existen el m´aximo y el m´ınimo. Los puntos a considerar son: 0, 1 y aquellos x tales que y′(x) = 0. Calculemos primero estos puntos:
0 = y′(x) = 1 − 6 x^2 , de donde x =
ya que la otra soluci´on x = − 1 /
6 de la ecuaci´on anterior no se encuentra dentro del intervalo [0, 1]. Los valores m´aximo y m´ınimo se han de dar, pues, en 0, 1 o 1/
- Calculemos y en cada uno de esos puntos:
y(0) = 0, y(1) = − 1 , y
de donde se deduce que 1 es el m´ınimo y √^16 es el m´aximo, −1 es el valor m´ınimo y 3 √^26 ese valor m´aximo.
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = x − 2 x^3 definida en el intervalo formado por los puntos x que verifican 0 < x < 1. En este caso, el intervalo ]0, 1[ sobre el que est´a definida la funci´on no es cerrado, y no podemos asegurar la existencia de m´aximo y m´ınimo como antes, pero podemos emplear un truco. Podemos darnos cuenta de que la funci´on sigue estando bien definida y es cont´ınua en el intervalo cerrado [0, 1], resolver el problema como en el caso anterior (ahora es el mismo problema de antes) y luego eliminar las soluciones que no caigan dentro del intervalo en que est´a definida nuestra funci´on. As´ı, usando el ejercicio anterior, la respuesta a este es que f no alcanza su valor m´ınimo (no tiene m´ınimos), y tiene un m´aximo en 1/
- Encontrar los m´aximos y m´ınimos de la funci´on y(x) = 1/x definida en el intervalo formado por los puntos x que verifican 0 < x ≤ 1. En este caso, el intervalo ]0, 1] sobre el que est´a definida la funci´on no es cerrado, y no podemos asegurar la existencia de m´aximo y m´ınimos, ni podemos tampoco emplear el
- Encontrar el paralelogramo de ´area m´axima cuyo per´ımetro es 36.
- Encontrar la regi´on formada por dos paralelogramos pegados como los de la figura que encierran un ´area m´axima y tales que su per´ımetro (contando el lado interior) es 36.
2 M´aximos y m´ınimos relativos. Concavidad y convexidad.
Dibujo de gr´aficas.
Dada una funci´on f definida sobre un intervalo I, un punto x 0 ∈ I es un m´aximo relativo de f si existe un ε > 0 tal que para cualquier x que verifique |x − x 0 | < ε (es decir, x ∈]x 0 − ε, x 0 + ε[) se tiene que f (x) ≤ f (x 0 ). Se dice que x 0 es un m´ınimo relativo de f si existe un ε > 0 tal que para cualquier x que verifique |x−x 0 | < ε (es decir, x ∈]x 0 −ε, x 0 +ε[) se tiene que f (x) ≥ f (x 0. Obs´ervese que un m´aximo (absoluto) es un m´aximo relativo y que un m´ınimo (absoluto) es un m´ınimo relativo. Dado un intervalo I, un punto x ∈ I se dice que es un punto interior de I si no es ninguno de los extremos del intervalo. En un punto interior, el aspecto de un m´aximo y de un m´ınimo relativo respecto de los puntos pr´oximos es el que se indica en las siguientes figuras:
Para encontrar los m´aximos y m´ınimos relativos se usa con frecuencia el siguiente
Teorema 1 Sea f : I −→ R es una funci´on que admite derivada cont´ınua en todo punto de I. (a) Si x 0 es un punto interior de I y es un m´aximo o un m´ınimo relativo, entonces es un punto cr´ıtico de f , es decir, f ′(x 0 ) = 0. (b) Si f admite segunda derivada f ′′(x 0 ) en x 0 , f ′(x 0 ) = 0 y f ′′(x 0 ) > 0 , entonces x 0 es un m´ınimo relativo de f. (c) Si f admite segunda derivada f ′′(x 0 ) en x 0 , f ′(x 0 ) = 0 y f ′′(x 0 ) < 0 , entonces x 0 es un m´aximo relativo de f.
Idea de la demostraci´on La damos en las dos figuras siguientes
Fig1: A la izquierda de un m´aximo x 0 , la funci´on es creciente (o al menos no decreciente), por lo que la pendiente de la recta tangente f ′(x) es positiva ( o al menos no negativa). A la derecha de ese mismo m´aximo x 0 , la funci´on es decreciente (o al menos no creciente), por lo que la pendiente de la recta tangente f ′(x) es negativa (o al menos no positiva), luego, en x 0 , donde f ′^ pasa de positiva a negativa, ha de ser f ′(x 0 ) = 0. Se observa, adem´as, que la pendi- ente de las rectas tangentes va decreciendo (o, al menos no crece) constantemente. Si suponemos f ′(x 0 ) = 0: f ′′^ es la derivada de f ′, si f ′′(x 0 ) < 0, sigue verific´andose que f ′′(x) < 0 para puntos x pr´oximos a x 0 , lo que indica que, cerca de x 0 , f ′^ es decreciente y, como es 0 en x 0 , es positiva a la izquierda de x 0 y negativa a la derecha de x 0 , luego f es creciente a la izquierda de x 0 y decreciente a la derecha de x 0 , luego x 0 es un m´aximo relativo de f.
Fig. 2: A la izquierda de un m´ınimo x 0 , la funci´on es decreciente (o al menos no creciente), por lo que la pendiente de la recta tangente f ′(x) es negativa (o al menos no positiva). A la derecha de ese mismo m´aximo x 0 , la funci´on es creciente (o al menos no decreciente), por lo que la pendiente de la recta tangente f ′(x) es positiva (o al menos no negativa), luego, en x 0 , donde f ′^ pasa de negativa a positiva, ha de ser f ′(x 0 ) = 0. Se observa, adem´as, que la pendi- ente de las rectas tangentes va creciendo (o, al menos no decrece) constantemente. Si suponemos f ′(x0) = 0: f ′′^ es la derivada de f ′, si f ′′(x 0 ) > 0, sigue verific´andose que f ′′(x) > 0 para puntos x pr´oximos a x 0 , lo que indica que, cerca de x 0 , f ′^ es creciente y, como es 0 en x 0 , es negativa a la izquierda de x 0 y pos- itiva a la derecha de x 0 , luego f es decreciente a la izquierda de x 0 y creciente a la derecha de x 0 , luego x 0 es un m´ınimo relativo de f. No son ciertos los rec´ıprocos de ninguno de los apartados del teorema anterior. As´ı, i) Contraejemplo al apartado a) La funci´on y = x^3 verifica y′(0) = 0 y, sin embargo, 0 no es un m´aximo ni un m´ınimo relativo, puesto que, para cualquier a > 0, se tiene y(−a) = −a^3 < 0 = y(0) < a^3 = y(a). ii) Contraejemplo al apartado b) La funci´on y = x^4 tiene un m´ınimo (absoluto) en x = 0, puesto que, para cualquier a ∈ R, y(a) = a^4 ≤ 0 = y(0), por lo tanto, tambi´en es un m´ınimo relativo, y, sin embargo, y′′(0) = 0. iii) Contraejemplo al apartado c) La funci´on y = 4 − x^4 tiene un m´aximo (absoluto) en x = 0, puesto que, para cualquier a ∈ Bbb, y(a) = 4 − a^4 ≤ 0 ≤ 4 = y(0), por lo tanto, tambi´en es un m´aximo relativo, y, sin embargo, y′′(0) = 0.
pecto ser´a como el de la figura adjunta.
- Gr´afica de la funci´on y = x^3 + x^2 + 1. Para averiguar los m´aximos y m´ınimos, calcu- lamos la derivada e igualamos a cero: y′^ = 3x^2 + 2x = 0, las soluciones son x = − 2 / 3 , x = 0. Calculamos ahora la segunda derivada y sale
y′′^ = 6x + 2 =
< 0 en x < − 1 / 3 = 0 en x = − 1 / 3
0 en x > − 1 / 3
luego x = 0 es un m´ınimo, x = − 2 /3 es un m´aximo, la funci´on es c´oncava en x < − 1 /3 y convexa en x > − 1 /3, luego su aspecto ser´a como el de la figura adjunta.
- Gr´afica de la funci´on y = (x^2 − 7 x + 12)/(x − 2). Primero observamos que esta funci´on no est´a definida en x = 2 (punto en el que se anula el denominador). Para averiguar los m´aximos y m´ınimos, calculamos la derivada e igualamos a cero: y′^ = (x^2 − 4 x + 2)/(x − 2)^2 = 0, las soluciones son x = 2 +
2 , x = 2 −
- Calculamos ahora la segunda derivada y sale
y′′^ =
(−2 + x)^3
< 0 en x < 2
0 en x > 2
luego x = 2 +
2 es un m´ınimo, x = 2 −
2 es un m´aximo, la funci´on es c´oncava en x < 2 y convexa en x > 2, luego su aspecto ser´a como el de la figura adjunta.
Ejercicio: Dibuja el aspecto de la gr´afica de la funci´on
y =
x x^2 + 1
3 Para saber m´as: Teoremas de Rolle y del valor medio.
Regla de L’Hˆopital.
En algunos casos, la derivada es tambi´en ´util para el c´alculo de l´ımites de cocientes de funciones, especialmente cuando numerador y denominador tienden simult´aneamente a 0. Ello es gracias a la siguiente:
Teorema 2 (Regla de L’Hˆopital) Si f y g son funciones derivables, definidas sobre un intervalo I, x 0 es un punto interior de I, y se cumplen a) limx→x 0 f (x) = 0 = limx→x 0 g(x),
b) g′(x) 6 = 0 para x en un intervalo abierto que contiene a x 0 , y c) existe limx→x 0 f ′(x)/g′(x) (que puede ser tambi´en +∞ o −∞), entonces se verifica que
x^ lim→x 0
f (x) g(x) = lim x→x 0
f ′(x) g′(x)
La demostraci´on de esta regla puede hacerse usando el desarrollo de Taylor que veremos en la secci´on siguiente, pero es m´as corriente demostrar esta regla usando el teorema del valor medio, que, a su vez, se puede demostrar usando el teorema de Rolle. Enunciamos estos dos teoremas a continuaci´on.
Teorema 3 (Teorema de Rolle) Si f es una funci´on cont´ınua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el correspondiente intervalo abierto ]a, b[ tal que f (a) = f (b), entonces existe (al menos) un punto x ∈]a, b[ tal que f ′(x) = 0.
Idea de la demostraci´on Si f ′(x) no se anulara nunca, f ser´ıa creciente o decreciente en todo el intervalo ]a, b[ y, por lo tanto, no podr´ıa tomar en b el mismo valor que en a. La siguiente gr´afica muestra tambi´en lo intuitivo de este teorema:
Teorema 4 (Teorema del valor medio) Si f es una funci´on cont´ınua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el correspondiente intervalo abierto ]a, b[, entonces existe un punto x ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) = f ′(x) (b − a).
Idea de la demostraci´on Basta aplicar el teorema de Rolle a la funci´on
h(x) = f (x) − f (b) − f (a) b − a
(x − a).
De nuevo es posible considerar natural este teorema observando la siguiente gr´afica
4 Ejercicios
- Un plano M N separa un medio en el cual la velocidad de propagaci´on de la luz es v 2 de otro medio en el cual la velocidad es v 1. ¿Cu´al ser´a la ley de propagaci´on para que un rayo de luz vaya del punto A al punto B en el intervalo de tiempo m´as corto posible?
- La intensidad de iluminaci´on de un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al foco luminoso. Dos luces, la primera de ellas con 8 veces m´as intensidad que la otra, est´an separadas por 6 metros. ¿A qu´e distancia de la luz de mayor intensidad, y para un punto situado entre las dos luces, es la iluminaci´on total m´ınima?
- Considera la par´abola y = x^2. (a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto (2,4). (b) Calcula ahora, en general, la ecuaci´on de la recta normal en un punto cualquiera P de la par´abola. (c) Encuentra el punto intersecci´on Q de la recta normal anterior con la misma par´abola. (d) Demuestra que la distancia de P a Q se minimiza cuando P = (±
√ 2 2 ,^
1 2 ).
- Calcula la m´ınima cantidad M de material para poder construir un cilindro circular recto y vac´ıo, abierto por la parte superior, para que pueda contener un volumen V y tal que el grosor de las paredes sea a.
- Un d´ıa, al salir de casa, cuando ya te encuentras a 10 Km, te das cuenta de que te has dejado un grifo abierto y decides dar media vuelta. El agua que sale del grifo cuesta 10 ptas. por hora. Ir en tu coche a una velocidad de s kil´ometros por hora cuesta 6 + 10 s ptas. por kil´ometro. La pregunta es: ¿a qu´e velocidad deber´ıas de ir para minimizar la suma del coste del agua y del viaje en tu coche?
- Un fabricante de gafas de sol puede fabricar 50.000 unidades con un precio de venta de 16 euros por unidad y con un coste fijo de 9000 euros m´as 11 euros y medio por unidad producida. a) Explica por qu´e la entrada total de dinero, E, el coste total, C, i el beneficio, B, han de satisfacer las ecuaciones E = 16x, C = 9000 + (11.5)x, B = E − C = (4.5)x − 9000.
b) El punto de ruptura entre p´erdidas y beneficios es el nivel de producci´on x para el cual el beneficio es cero. Determ´ınalo c) Determina el nivel de producci´on x para el cual el beneficio es de 4500 euros. d) Si se producen m´as de 50.000 unidades, la entrada total es
E = 16x −
x^2 106
mientras que el coste no cambia. Encuentra el nivel de producci´on x que maximiza el beneficio.
- Dibuja esquem´aticamente la gr´afica de la funci´on f (x) = (^) 1+xx 2 y enuncia todos los resultados te´oricos que utilices relacionados con las derivadas de la funci´on.
- Dibuja la gr´afica de la funci´on y = x^8 − x^4 , estudiando sus m´aximos y m´ınimos relativos, crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad, ....
- Dibuja la gr´afica de la funci´on
y = ln x + x^2 − 3 x,
estudiando sus m´aximos y m´ınimos relativos, crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad, ....
EXTRAS:
- Calcula limx→ 0 1+x−e x x(ex−1) ,^ limx→^0
sen 5x x ,^ limx→^0
sen(2x) x cos x.
- Enuncia el resultado que se puede aplicar para calcular el l´ımite limx→ 0 e
x−ln(x+1)− 1 x^2 , y calc´ulalo.
