Problema de Kepler por ecuaciones regulares
Mecánica Orbital y Dinámica de Actitud
Rafael Ramis
Departamento de Física Aplicada a la Ingenieria Aeronáutica
Universidad Politécnica de Madrid
Curso 2011/2012
R. Ramis Ecuaciones regulares
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orbital 2, Apuntes de Ingeniería Aeronáutica
Asignatura: Mecanica Orbital, Profesor: , Carrera: Ingeniería Aeronáutica, Universidad: UPM
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 28
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Problema de Kepler por ecuaciones regulares
Mecánica Orbital y Dinámica de Actitud
Rafael Ramis
Departamento de Física Aplicada a la Ingenieria Aeronáutica
Universidad Politécnica de Madrid
Curso 2011/
Problema de Ecuaciones Diferenciales
EDO lineal de segundo orden y coeficientes constantes
Problema:
Ecuación para y(x) en la que α y c son constantes
d
2
y
dx
2
- αy = c
Condiciones iniciales
y| x= 0
= y 0
dy
dx
x= 0
= y
′
0
La solución de este problema depende del signo de α (positivo, nulo o
negativo).
Funciones Universales de Battin
Propiedades
Propiedades elementales
dU n
dx
= U
n− 1
dU
0
dx
= −αU 1
αU 2
= 1 − U
0
Se obtienen a partir de
dU 0
dx
(α, x) = −
αx
α
2
x
3
α
3
x
5
U
0
(α, x) = 1 −
αx
2
α
2
x
4
α
3
x
6
U
1
(α, x) = x −
αx
3
α
2
x
5
α
3
x
7
U
2
(α, x) =
x
2
αx
4
α
2
x
6
α
3
x
8
Funciones Universales de Battin
Propiedades
Derivacion respecto a α
∂U
n
∂α
(nU n+ 2
− xU n+ 1
Para n = 0, se obtiene directamente derivando la serie.
∂U
0
∂α
∂α
αx
2
α
2
x
4
α
3
x
6
x
2
2 αx
4
3 α
2
x
6
x
x −
αx
3
α
2
x
5
x
U
1
Para n > 0, se obtiene integrando por partes la expresión para n − 1.
∂U
1
∂α
∂α
Z
x
0
U
0
dx =
Z
x
0
∂U
0
∂α
dx = −
Z
x
0
xU 1
dx
Z
x
0
xdU 2
xU 2
Z
x
0
U
2
dx
(U
3
− xU 2
Funciones Universales de Battin
Evaluación numérica
En las aplicaciones conviene calcular en bloque todas las funciones
universales, hasta un determinado orden, mediante desarrollos en serie
de potencias.
Si α > 0 las funciones son periódicas. Para evitar grandes errores de
redondeo se las puede evaluar en el intervalo −π ≤
αx ≤ π.
Usar directamente funciones trigonométricas puede dar lugar a serios
problemas de redondeo. Por ejemplo si α = 10
− 6
y x = 1
U
2
x
2
αx
4
U
2
1 − cos
αx
α
Si α = 10
− 10
resulta U 2
Energía y excentricidad
Definición de α y σ
Definición de α
v
2
μ
r
μ
2 a
μ
α ⇒ α =
r
v
2
μ
α es un constante, la inversa del semieje mayor.
Definición de σ
σ =
v ·
r
μ
Varía con el tiempo. En nula en los apsides.
Vector excentricidad
e =
~v ∧ (~r ∧ ~v )
μ
~r
r
v
2
~r
μ
~v · ~r
μ
v −
~r
r
= −α~r +
~r
r
σ
μ
v
Transformacion de Sundman.
Ecuaciones para la distancia r
Ecuaciones regulares para r
dr
dχ
= σ
d
2
r
dχ
2
= 1 − αr
¡lineales de coeficientes constantes!
Se obtienen a partir de:
r
dr
dχ
r ·
d
r
dχ
r
μ
r ·
d
r
dt
= r σ
d
2
r
dχ
2
dσ
dχ
r
μ
d(
r ·
v )
dt
r
μ
(v
2
r ·
v ) =
rv
2
μ
− 1 = 1 − αr
En donde se ha usado:
d
dχ
r
μ
d
dt
v = −
μ
r
3
r α =
r
v
2
μ
Transformacion de Sundman.
Ecuaciones para el vector de posición ~r
Ecuaciones regulares para
r
d
r
dχ
r
μ
v
d
2
r
dχ
2
e − α~r
¡lineales de coeficientes constantes!
Se obtienen a partir de:
d
r
dχ
r
μ
d
r
dt
r
μ
v
d
2
r
dχ
2
dr
dχ
v
μ
r
μ
d
v
dχ
σ~v
μ
r
2
μ
d
v
dt
σ~v
μ
r
r
e − α~r
En donde se ha usado:
d
dχ
r
μ
d
dt
dr
dχ
= σ
v = −
μ
r
3
r
e = −α~r +
r
r
σ
μ
v
Resolución del problema de Kepler.
Posición y velocidad
Ecuaciones regulares
r
t 0
r 0
d~r
dχ
t 0
r
0
μ
v 0
d
2
~r
dχ
2
e − α~r
Posición
r =
r 0
U
0
r 0
v 0
μ
U
1
eU 2
U
2
r 0
r 0
r 0
U
1
- σ 0
U
2
μ
v 0
Se ha empleado la definición de
~ e y la relación αU
2
= 1 − U
0
Velocidad
v =
μ
r
d
r
dχ
μU 1
r 0
r
r 0
U
2
r
v 0
Se ha empleado la expresión obtenida anteriormente para r
Ecuación de kepler generalizada.
Método de Newton-Rapson
Hallar los ceros de la función:
f (χ) = r
0
U
1
(α, χ) + σ
0
U
2
(α, χ) + U
3
(α, χ) −
μ(t − t
0
Algoritmo:
X
X X
i i+
i+
x i+ 1
= x i
−
f (x i
)
f
′
(x i
)
f = r 0
U 1
- σ 0
U 2
- U 3
−
√
μ(t − t 0
)
f
′
= r 0
U 0
- σ 0
U 1
- U 2
Ecuación de kepler generalizada.
Raices “atrapadas entre corchetes” (bracketed)
f (x a
) < 0 y f (x b
) > 0 ⇒ x a
< x < x b
∆ x
x
b
x
a
x
Si α > 0, la órbita es periódica (T = 2 π/μ
1 / 2
α
3 / 2
). Podemos restar un
cierto numero de periodos hasta lograr t − t
0
< T y 0 < χ ≤ 2 π/α
1 / 2
Una estimación de la solución es χ ' μ
1 / 2
(t − t
0
)/r
0
Si la órbita es abierta duplicariamos este valor hasta que f (χ) > 0
Ecuación de kepler generalizada.
Método de la bisección
Algoritmo
n
n+
b
x
a
x x
c
∆x
∆x
while(1){
x=(ax+xb)/2;
y=f(x);
if(fabs(y)<eps)
return(x);
else
if(y<0)
xa=x;
else
xb=x;
¿es completamente seguro?
Ecuación de kepler generalizada.
Método de Ridders
Dados dos valores (x a
, y a
) y (x b
, y b
n
n+
b
x
a
x x
c
∆x
∆x
x
d
1 x c
=
1
2
(x a
- x
b
)
2 y c
= f (x c
)
3
Suponer y(x) = (Ax + B)e
Cx
4 Determinar A, B y C a partir de
los valores en los tres puntos
5
Hallar x
d
y y
d
= y(x
d
)
6 Reducir el intervalo
∆x n+ 1
<
1
2
∆x n
7
Parar como en el caso de la
bisección.
Ecuación de kepler generalizada.
Método de Van Wijngaarden, Decker y Brent
Dados tres valores (x a
, y a
), (x b
, y b
) y (x c
, y c
n+
n
x c
d
x
x a
x
∆x
x
b
1 Suponer x(y) = Ay
2
- By + C
2
Determinar A, B y C a partir de
los valores en los tres puntos
3 Hallar x
d
y y
d
= y(x
d
) (si se
puede)
4 Reducir el intervalo eliminando
(x a
, y a
) o (x b
, y b
).
5 Parar como en el caso de la
bisección.
Si en el paso 3, x d
cae fuera del intervalo o si tras el punto 4, la reducción de
∆x es demasiado pequeña, se intercala un paso de bisección.