¡Descarga Calculo Numerico y más Apuntes en PDF de Ingeniería Aeronáutica solo en Docsity!
Asignatura : C´alculo Num´erico Grado en Ingenier´ıa Aeroespacial - EIAE Curso : 2014-
Hitos semanales :
Hito 1 : Sensibilidad de la soluci´on de un sistema lineal de ecuaciones. Para una matriz cuadrada A de coeficientes aleatorios y una matriz de Vandermonde, analizar la sensibilidad de la soluci´on del sistema lineal
Ax = b
frente a una peque˜na perturbaci´on del segudo miembro b. Calcular las normas ||x − xp|| y ||b − bp|| donde xp y bp son, respectivamente, la soluci´on y el segundo miembro del sistema perturbado.
Hito 2 : Determinaci´on de autovalores mediante el m´etodo de la potencia. Sea M una matriz de coeficentes aleatorios y tama˜no al menos 10x10. Calcular, para la matriz sim´etrica A
A = (M + M T^ )/ 2
el autovalor de mayor m´odulo λ 1 y su autovector correspondiente x 1 usando el m´eto- do de la potencia. Calcular tambi´en la estimaci´on del error ||Ax 1 − λ 1 x 1 ||/||λ 1 x 1 || Para la matriz A del apartado anterior, calcular, mediante el m´etodo de la poten- cia inversa, el autovalor de menor m´odulo λ 2 y su autovector correspondiente x 2. Calcular tambi´en la estimaci´on del error ||Ax 2 − λ 2 x 2 ||/||λ 2 x 2 ||
Hito 3 : Calcular el interpolante de Lagrange global con N+1 puntos
{xi = −1 + 2i/N, i = 0... N }
para las siguientes funciones: f (x) = sen(πx)
f (x) =
1 + 25x^2 Dibujar la funci´on y su interpolante superpuestos en la misma gr´afica y para dife- rentes valores de N. Dibujar la funci´on π(x) del error del interpolante, el error de interpolaci´on y discutir los resultados de las gr´aficas obtenidas.
Hito 4 :
Calcular el interpolante de Lagrange global con N+1 puntos
{xi = cos(πi/N ), i = 0... N }
para las siguientes funciones: f (x) = sen(πx)
f (x) =
1 + 25x^2
Dibujar la funci´on y su interpolante superpuestos en la misma gr´afica y para dife- rentes valores de N. Dibujar la funci´on π(x) del error del interpolante, el error de interpolaci´on y discutir los resultados de las gr´aficas obtenidas.
Hito 5 :
Obtener la f´ormula para de la derivada primera centrada con tres puntos, equies- paciados a una distancia ∆x, mediante una interpolaci´on de Lagrange continua a trozos.
Calcular el error de truncaci´on (Etrunc) y el error de redondeo (Eredon) que se cometen al aproximar la derivada segunda con la f´ormula obtenida y discutir el valor de ∆x que minimiza el error total
ETotal = Etrunc + Eredon
y el valor del error total m´ınimo.
Representar gr´aficamente el error total de la derivada segunda de la funci´on ex^ en el punto x = 0 frente al valor de ∆x. Discutir los resultados obtenidos.
Hito 6 :
Representar gr´aficamente en escala logar´ıtmica las siguientes funciones:
- Valor m´aximo de |π(x)| frente a N para una interpolaci´on polin´omica de grado q a trozos con N + 1 puntos:
{xi = −1 + 2i/N, i = 0... N }
para los valores de q = 2, 4 y q = N.
- Hacer la misma representaci´on anterior para el error de interpolaci´on |RN (x)| y para la funci´on f (x) = 1/(1 + 25x^2 ).
Explicar y discutir todos los resultados obtenidos.
