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Estudio del movimiento arm´onico simple
(Masa-resorte)
C.L L´opez-Ortiz F.J Garc´ıa-Orozco Universidad del atl´antico Programa de f´ısica
1 de julio de 2020
Resumen
En el presente informe vamos a estudiar otro de los sistemas que se modelan y pod´ıan imitar un movi- miento oscilatorio y cumplirse un movimiento arm´onico simple , el llamado sistema masa-resorte. Este sistema consiste de un resorte suspendido de un soporte, del cual se suspende un portapesas que soporta una masa, este sistema tambi´en se puede estudiar de manera que al producir su movimiento este dado por un desplazamiento horizontal en el eje ”x”.
Al describir este movimiento, observamos que est´a determinado por ciertas magnitudes por el que es- ta conformado , por ejemplo, este resorte el cual esta suspendida la masa produce una fuerza llamada fuerza recuperada y por claras razones influye en el movimiento del sistema. los objetivos de este informe es observar el comportamiento del sistema masa-resorte, estimar o evaluar esas magnitudes relacionadas con este sistema , encontrar las relaciones o en cuyo caso los valores de estas magnitudes mediante los datos obtenidos experimentalmente,a trav´es de comparaciones de gr´aficas, etc´etera, por ejemplo, ¿ De- pende el desplazamiento del sistema de la masa del resorte o del objeto colocado en la parte inferior del resorte?
Palabras claves : constante el´astica, elasticidad , peri´odico ,elongaci´on , intersecto , ecuaci´on , de- formaci´on , magnitud.
In the present report we are going to study another of the systems that are modeled and face the oscillatory movement and fulfill a simple harmonic movement, the so-called mass-spring system. This system consists of a spring suspended from a support, from which a weight carrier that supports a mass, this system can also study so that when producing its movement it is given by a horizontal displacement in the ”x.axis.
When describing this movement, we observe that it is determined by certain magnitudes by which it is formed, for example, this spring, which is suspended by the mass, produces a force called the recovered force and for certain reasons influences the movement of the system. The objectives of this report are to observe the behavior of the mass-spring system, to estimate or evaluate those magnitudes related to this system, to find the relationships or in which case the values of these magnitudes through experimentally verified data, through graph comparisons, etc., for example, does the displacement of the system depend on the mass of the spring or the object placed at the bottom of the spring?
keywords : elastic constant, elasticity, periodic, elongation, intersection, equation, deformation, magni- tude.
.
- Introducci´on
Un sistema masa-resorte es la combinaci´on de un resorte y una masa que generan un movimiento arm´onico simple u oscilatorio. Es un sistema conservatorio, es decir, la energ´ıa interna del sistema no cambia, perma- nece constante. En un sistema masa-resorte no hay fricci´on. Esta formado por un cuerpo el´astico en donde se acopla una masa, a la cual se le pueden aplicar fuerzas que deformen la contextura del cuerpo el´astico, en el que act´ua una constante de proporcionalidad del resorte. En el funcionamiento de un sistema masa-resorte interact´uan diferentes magnitudes con las cuales se pueden establecer relaciones que se ven reflejadas en la ley de Hooke para un sistema masa resorte con la cual se puede calcular los valores de las magnitudes que inter- act´uan en el fen´omeno.este sistema se puede estudiar de dos maneras ,siendo su desplazamiento horizontal o vertical. Como se menciono anteriormente este sistema trae consigo ciertas magnitudes, como esta constante de elasticidad, el desplazamiento, el peso, periodo, etc´etera. Detallando nuestros objetivos seria evaluar las n magnitudes que influyen en el movimiento del sistema. lo haremos de una manera experimental, donde mediante diferentes mediciones , comparaciones de los resultados de nuestros datos obtenidos , por ejemplo , de nuestras mediciones hallaremos el valor aproximado de esa constante de proporcionalidad en diferentes situaciones de masa.
- M´etodo Experimental
Nuestro sistema a estudiar se basa de un resorte suspendido de un soporte, del cual se suspende un portapesas que soporta una masa, para este experimento utilizamos un programa que nos facilita el uso de instrumentos , para lograr observar su comportamiento. el programa se llama PhET Interactive Simulations, de la Uni- versidad de Colorado Boulder, es un proyecto de recursos educativos abiertos sin fines de lucro que crea y alberga explicaciones explorables. Fue fundada en 2002 por el premio Nobel Carl Wieman. ah´ı encontramos muchas simulaciones de situaciones , tales como en ´areas de termodin´amica , mec´anica , vibraciones , etc´etera.
En este caso usamos una simulaci´on de un sistema masa-resorte , este programa nos da la opci´on de co- locar masas diferentes en un rango de [50 - 300], nosotros usamos masas con una diferencia de 50 g , es decir , ( 50 , 100 ,150 , 200 , 250 , 300 ) , nos proporciona una regla para poder medir la elongaci´on del resorte cuando esta sometido a la masa en su extremo, tambi´en nos da la opci´on de poder registrar el tiempo de las n oscilaciones que deseamos estudiar, en nuestro experimento hicimos el conteo de 10 oscilaciones , y de esa manera pudimos obtener nuestros valores de elongaci´on , periodo, etc´etera.
tenemos una masa de 0kg , el periodo sera 0sg podemos ver esto de la simplificaci´on de la ecuaci´on (2), en este caso su periodo elevado al cuadrado.
T 2 = 4π^2 ·
m k
.Pero en realidad no pasa esto, por ejemplo, cuando realizamos una serie de mediciones del periodo de las oscilaciones de acuerdo a este sistema masa-resorte y hallamos la gr´afica de nuestros valores de T 2 y m seg´un la ecuaci´on (3) , nos dar´ıa algo de esta manera.
Figura 2: T 2 vs m
. Donde vemos que el valor de la masa del objeto que esta sostenido por el resorte si equivale a cero , pero el periodo no , entonces se sabe que seg´un la ecuaci´on (2 ) , hay algo errado y es definitivamente que no se toma en cuenta el peso del resorte.Para tener un resultado preciso se requiere hacer un tipo de c´alculos matem´aticos para esto.
Para ver la influencia de la masa del muelle, se observa en primer lugar que no todas las partes del muelle oscilan con la misma amplitud. Mientras que el punto del muelle unido a la masa colocada en su extremo oscila como ´el, el punto del muelle unido al soporte superior no se mueve. Es decir, las diferentes partes del muelle oscilan con amplitudes diferentes. Por esta raz´on, admitiendo que el muelle es real (no ideal) y que, por tanto, posee una masa distinta de cero, no se puede, sencillamente,deducir el periodo de la ecuaci´on (2) la masa m del objeto por la masa real que seria la del conjunto muelle-objeto, sino que se asocia al muelle una ‘masa efectiva’, o masa equivalente, que se denota como me de manera que el periodo de oscilaci´on del conjunto muelle-objeto, es ;
T = 2π
m + me k
Para calcular la masa correspondiente de un muelle de masa mo se puede determinar la variaci´on de energ´ıa cin´etica ∆E que experimenta cada espiral el muelle de longitud x cuando es estirado de tal manera que su extremo libre se mueve con velocidad m´axima (vmax). El extremo fijo permanece con velocidad 0. Como a lo largo del muelle diferentes partes se van a mover con velocidades diferentes, como vemos en el siguiente gr´afico ;
Figura 3: Sistema masa-resorte
De aqu´ı podemos hallar la relaci´on entre las velocidades y desplazamiento ;
Vmax x 0
Vs x
= Vs =
Vmax · x x 0
. Deducimos que cada espira tiene una energ´ıa cin´etica ∆E correspondiente, que la suma de ellas contribu- ye a la energ´ıa cin´etica del sistema, y se mueve con una velocidad Vs y siendo la masa de una espira igual a dm
∆E =
dmV (^) s^2
De la misma forma como relacionamos las velocidades podemos hacerlo con esa masa de una espira, mediante lo aprendido de la teor´ıa de las integrales y su definici´on de valores bajo la curva, Si la masa del resorte es uniforme , tenemos que:
dm dx
m 0 x 0
= dm =
dx x 0
m 0
. Donde m 0 es la masa del resorte y dm la masa de cada espiral
Entonces la energ´ıa cin´etica total seria la integral de ella , ya que seria la suma de todas las espirales dm
∆E =
∫ (^) x 0 0
V (^) s^2 dm
Siendo dm seg´un lo anterior dicho igual a
dx x 0
m 0
∆E =
∫ (^) x 0 0 V^
2 s
dx x 0
m 0
Donde m 0 y x 0 no cambian, son constantes.
∆E =
m 0 x 0
∫ (^) x 0 0 V^
2 s dx
Reemplazando a V (^) s^2
∆E =
m 0 x 0
∫ (^) x 0 0
Vmax · x x 0
dx
Figura 4: x vs m
Con nuestros valores medidos de la elongaci´on del resorte en el sistema con diferentes masas elaboramos la anterior gr´afica de dispersi´on en Excel, a estos valores puntuales le dimos una tendencia para poder obtener una relaci´on entre las dos variables (X; M). Si esta l´ınea de tendencia podemos extenderla hasta llegar a la intersecci´on con el eje de las masas vemos que la elongaci´on tiene un valor igual a cero (x = 0) es decir que existen masas para las cuales el resorte no presenta ning´un estiramiento. La ecuaci´on de esta gr´afica es y = 0, 0016 x − 0 ,0007 donde (X) toma valores de la masa y (y) de la elongaci´on. Si evaluamos tambi´en, lo anteriormente dicho en la gr´afica para cuando la elongaci´on es igual a cero con la variable de la masa despejada queda que:
x =
Es decir que este es el valor l´ımite de la masa en (g) para que no haya una deformaci´on en el resorte.
Para hallar la constante K dado que la ley de Hooke dice que: K =
F
m
utilizamos la informaci´on dados
por la gr´afica (X vs M) la cual solo nos proporciona los valores de estos dos, por lo tanto, para hallar la fuerza multiplicamos en una tabla todos los valores de la masa por la aceleraci´on gravitacional de la tierra.
LEY DE HOOKE
x (m) m · g(N ) 0.081 0. 0.164 0. 0.243 1. 0.329 1. 0.41 2. 0.49 2.
Figura 5: F vs x
La pendiente de la gr´afica de (F vs X) coinciden con la ley de Hooke, hallamos el valor de K con cada una de las relaciones (fuerza- elongaci´on) y posterior hallamos el error de cada uno de los valores y la incertidumbre de la medici´on, donde K = (6, 001 ± 0 , 039) , (los datos se encuentran en la siguiente tabla)
m (kg) x (m) m · g(N ) K Kprom (K − Kprom)^2 S 0.05 0.081 0.49 6.049382772 6.00123863 0.00231785 0. 0.1 0.164 0.48 5.97560976 6.00123863 0. 0.15 0.243 1.47 6.04938272 6.00123863 0. 0.2 0.329 1.96 5.95744681 6.00123863 0. 0.25 0.41 2.45 5.97560976 6.00123863 0. 0.3 0.49 2.94 6 6.00123863 0. Total : 0.
OSCILACIONES
Masa (g) Tiempo · 10 osc T (sg) T 2 (sg^2 ) 50 5.76 0.576 0. 100 8.17 0.817 0. 150 9.990 0.999 0. 200 11.53 1.153 1. 250 12.9 1.29 1. 300 14.8 1.48 2.
. La masa efectiva del muelle puede tambi´en calcularse si se reescribe la ecuaci´on (4) que relaciona T 2 y m a˜nadiendo a la masa del cuerpo la masa efectiva del muelle, me
T 2 =
4 π^2 k
(m + me) = T 2 =
4 π^2 k
m +
4 π^2 k
me
Como vimos de la gr´afica anterior la masa del muelle intervino en el periodo del sistema ya la recta no inicia desde (T 2 = 0, m = 0), La recta tendr´a id´entica pendiente cuando al periodo le agregamos el valor de la masa del muelle, entonces ; seg´un la ecuaci´on de la gr´afica la ordenada en el origen (b = 0, 0646 sg^2 ) deber´ıa ser igual al segundo sumando de la anterior ecuaci´on. Por lo tanto de la ecuaci´on de la recta y nuestro valor de K hallado , tenemos que :
b =
4 π^2 k me = me =
bK 4 π^2
0 , 0646 sg^2 · 5483 , 1
g sg^2
4 π^2 = 8, 97 g
Entonces de la ecuaci´on (5) , deducimos que la masa del resorte es igual a :
g
Donde el periodo del sistema estar´ıa dado ahora por ;
T = 2π
√ m^ +
g
k
- Conclusiones
.En la realizaci´on del experimento ten´ıamos como objetivo identificar las relaciones que existen entre la se- gunda ley de la din´amica de manera te´orica, con nuestras mediciones y como siempre, que tan cercanas est´an a la teor´ıa. m´as espec´ıficamente por medio de las mediciones se hall´o la relaci´on entre la masa y la elongaci´on para halla posteriormente la constante del resorte usado en el sistema y a partir de ah´ı las dem´as relaciones en conjunci´on con la masa y el periodo, para tener as´ı tanto una noci´on como una relaci´on matem´atica que describa la manera en c´omo ocurre este fen´omeno y posiblemente el efecto que pueda efectuar este mismo sobre otros sistemas u objetos que est´en en relaci´on con ´el.
. Tambi´en pudimos notar ciertas caracter´ısticas del sistema, como por ejemplo que el periodo no depen- de de la masa, as´ı como la forma corregida de su expresi´on matem´atica, dado que en el sistema ideal no se considera la masa del resorte del sistema oscilante y la inclusi´on de esta en dicha expresi´on presenta un cambio significativo para la precisi´on del valor del periodo. Aunque curiosamente notamos que la pendiente de la grafica realizada del periodo al cuadrado en t´erminos de la masa no var´ıa solo el punto de corte con el eje de los valores de la masa.
Referencias
[1] https://drisfrutalaisica.wordpress.com/segundo-ciclo/eventos-ondulatorios/movimiento-armonico- simple/sistema-masa-resorte/
[2] https://fisquiweb.es/Laboratorio/Muelle2Bach/ExperienciaUnivCantabria. ”La masa efectiva de un os- cilante Primavera.Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
[3] https://drisfrutalaisica.wordpress.com/segundo-ciclo/eventos-ondulatorios/movimiento-armonico- simple/sistema-masa-resorte/
[4] https://phet.colorado.edu/es/simulation/masses-and-springs-basics
