Movimiento/ Oscilación Forzada
Un oscilador amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano; no obstante, podemos
mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo
periódica o cíclicamente, con periodo y frecuencia definidos. Por ejemplo, considere a una
persona en un columpio. Usted puede mantenerlo oscilando con amplitud constante dándole un
empujoncito a la vez en cada ciclo. Llamamos a esta fuerza adicional fuerza impulsora.
Si aplicamos una fuerza impulsora que varíe periódicamente con frecuencia angular
⍵d
a un
oscilador armónico amortiguado, el movimiento resultante se llama oscilación forzada, o bien,
oscilación impulsada, y es diferente del movimiento que se da cuando el sistema se desplaza del
equilibrio y luego se deja suelto. En una oscilación forzada, la frecuencia angular con que la masa
oscila es igual a la frecuencia angular impulsora,
⍵d
, la cual no tiene que ser igual a la frecuencia
angular
⍵0
(natural o propia del oscilador) con que el sistema oscilaría sin una fuerza impulsora. Si
usted sujeta las cuerdas del columpio, puede obligar al columpio a oscilar con cualquier frecuencia
que desee.
Esta fuerza impulsora esta dada por la ecuación:
F
(
t
)
=Fmax cos (⍵dt)
La ecuación diferencial que describe el movimiento de una oscilación forzada es tal:
md
2
x
d t
2
=−kx−bdx
dt +F
max
cos (⍵
d
t)
(1)
El movimiento forzado tiene dos estados
Estado transitorio: desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las
condiciones iniciales.
La solución de (1) para este caso es:
x1=(Ccos (⍵t)+ Dsin (⍵t)).exp(−γtt)
;
⍵=
√
⍵
0
2
−γt
2
Una solución particular de la ecuación diferencial es:
x2=Acos(⍵dt)+Bsin (⍵dt)
Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa
A=F(⍵
0
2
−⍵
d
2
)
m¿¿
La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la
homogénea más la solución particular x=x1+x2.
x=
(
Ccos
(
⍵t
)
+Dsin
(
⍵t
)
)
.exp
(
−γtt
)
+Acos(⍵
d
t)+ Bsin(⍵
d
t)
El primer término, describe el estado transitorio, el segundo el estado estacionario.
