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SECCIONES CÓNICAS

LA PARÁBOLA

¿Para qué me sirve el estudio de la Parábola? SECCIONES CÓNICAS La parábola es una curva que tienen una gran importancia en Física y que se ajusta a la descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos. También tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor. Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Los chorros y las gotas de agua que salen de los caños de la numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades Cuando un haz luminoso de forma cónica se proyecta sobre una pared.

Datos/Observaciones

SECCIONES

CÓNICAS

PARÁBOLA

El nombre de “secciones cónicas” se derivó del hecho de que estas figuras se encontraron

originalmente en un cono. Cuando se hace intersecar un cono con un plano obtenemos distintas

figuras. Cada una de ellas es una cónica.

LA PARÁBOLA ¡RECORDEMOS! PARÁBOLA

Distancia focal o parámetro ( 𝒑 ): Es la distancia del foco al

vértice y se le asigna la letra 𝑝

Eje de simetría ( 𝑳𝟏 ): Recta perpendicular a la directriz 𝐿𝐷

que pasa por el vértice y el foco.

Directriz( 𝑳𝑫 ): Recta fija que dista p del vértice.

Foco ( 𝑭 ): Es un punto tal que cada punto de la parábola

posee la misma distancia que hasta la recta directriz.

Vértice ( 𝑽 ): Es el punto de intersección de la parábola con

eje de simetría.

Cuerda ( 𝑪𝑬 ): Es el segmento de la recta que une dos puntos

cualesquiera de la parábola.

Cuerda focal ( 𝑨𝑩 ): Segmento de la recta que une los puntos

de la parábola pasando por el foco.

Lado recto ( 𝑳𝑹 ): Es una cuerda focal perpendicular al eje de

simetría.

LA PARÁBOLA

1 .1 Elementos

𝑉 𝐹 𝑝 A B C E

Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.

1 PARÁBOLA

LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria 𝑥 − ℎ 2 = −4𝑝 𝑦 − 𝑘 Ecuación Canónica 𝑥 2 = −4𝑝𝑦 Ecuación General 𝑥 2

• 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑝 = Parámetro 𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘 𝐿𝑅 = Lado recto 𝐹 = Foco

Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.

1 PARÁBOLA

LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Ecuación Canónica 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Ecuación General 𝑦 2

• 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑝 = Parámetro 𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘 𝐿𝑅 = Lado recto 𝐹 = Foco

Datos/Observaciones Bosqueje la gráfica de la ecuación 4 𝑦 2

• 12𝑦 + 16𝑥 + 25 = 0 y determine el vértice, foco, lado recto y la ecuación de la recta directriz.

Ejemplo.

SOLUCIÓN:

2 = −4𝑥 −

2

2 = −4𝑥 − 4 𝑦 +

2 = − 4 𝑥 + 1 𝑉 − 1 , −

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1. Halle la ecuación general de la parábola con vértice en ( 3 , 5 ) y foco en − 3 , 5.

SOLUCIÓN:

2

2

2

2

2

LA PARÁBOLA

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

2. Dados los puntos − 1 , 2 ; 0 , − 1 ; 2 , 1. Determine la ecuación de la parábola

que pase por los tres puntos dados, tal que su eje focal sea paralelo al eje 𝑌.

SOLUCIÓN:

2

RPTA: − 5𝑥 − 3𝑦 − 3 = 0

LA PARÁBOLA

2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 𝑥 2

• 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 1 − 𝐷 + 2𝐸 + 𝐹 = 0 −𝐸 + 𝐹 = 0 4 + 2𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0

2 −

Experiencia Grupal

Desarrollar los ejercicios en equipos

Equipos de 5 estudiantes

Tiempo : 20 min

EJERCICIOS RETOS

1. Grafique la cónica y halle: el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola: 𝑥 2 − 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
2. Señale la ecuación de la parábola que tiene su vértice en 𝑉(− 2 , 1 ) y cuyos extremos del lado recto son (− 4 , 0 ) y ( 0 , 0 ).
3. Una parábola tiene por vértice ( 2 , 1 ) y foco ( 2 , 4 ) Determinar la longitud de su lado recto.
4. Los puntos 𝐴( 13 , 𝑎) y 𝐵( 4 , 𝑏) pertenecen a una parábola de vértice 𝑉(ℎ, 1 ) Además el eje focal es paralelo al eje de las abscisas ,su parámetro es 𝑝 y 𝐴, 𝐵 están contenidos en la recta 2𝑥 − 𝑦 − 13 = 0. Hallar 𝑎 ℎ + 𝑏 𝑝 .
5. El vértice y el foco de una parábola son ( 2 , 1 ) y ( 5 , 1 ) respectivamente. Señale la ecuación de la parábola.

Datos/Observaciones Conclusiones

1. Los elementos principales para la ecuación de la parábola son el vértice y el parámetro.
2. El parámetro indica la orientación de la parábola.
3. Se cumple que la distancia de cualquier punto de la parábola al 𝐹 y a 𝐿 𝐷 es la misma.

Datos/Observaciones LA PARÁBOLA