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MATEM ´ATICAS III
Pauta certamen III
07 de diciembre de 2022
DATOS PERSONALES:
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor
INDICACIONES GENERALES:
Tiempo 70 minutos. Escriba con l´apiz pasta o tinta. Los desarrollos con l´apiz grafito no tienen derecho a apelaci´on. Escriba con claridad y justifique cada uno de sus desarrollos. No est´a permitido el uso de calculadoras, celulares ni hojas adicionales. Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de deshonestidad acad´emica tendr´an nota 0 en esta prueba.
CALIFICACI ON:´
PREGUNTA P1^ P2^ P3^ CALIFICACI ON´ (30 Pts.) (40 Pts.) (30 Pts.) CERTAMEN PUNTAJE
Departamento de Matem´atica Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Certamen 3 - MAT
P1) [30 Pts.] Un gran dep´osito contiene inicialmente 100 litros de agua pura. Al dep´osito ingresa salmuera a raz´on de 5 litros por minuto con una concentraci´on de sal de 201 kilogramos de sal por litro. La mezcla en el dep´osito se mantiene homog´enea y se extrae a raz´on de 2 litros por minuto. Sea S (t) los kilogramos de sal en el dep´osito en en minuto t.
a) Muestre que S (t) satisface el problema de valores iniciales: dS (t) dt
100 + 3t S (t) =
S (0) = 0 :
b) Resolver el problema de la parte anterior para determinar S (t).
Soluci´on: a) Si S (t) corresponde a los kilogramos de sal en el dep´osito en en minuto t entonces, de los datos del problema tenemos que la variaci´on de la cantidad de sal respecto del tiempo dSdt es: dS dt
S
100 + 5t − 2 t
donde
20
(5) es la cantidad (kilos) de sal que entra por minuto y
( S
100+3t
(2) es la cantidad (kilos) que salen por minuto (concentraci´on por rapidez, en unidades
[kg lt
] [ (^) lt min
]
[ (^) kg min
]
Notemos tambi´en, que la cantidad de sal inicial es cero, esto es S (0) = 0. Se obtiene el problema de valores iniciales dS (t) dt
100 + 3t
S (t) =
S (0) = 0 :
b) La ecuaci´on diferencial del problema, es una ecuaci´on diferencial lineal, con factor integrante (t) = e
∫ (^2) 100+3t dt^ = (100 + 3t)^2 /^3 , multiplicando por el factor, la ecuaci´on queda d dt
(100 + 3t)^2 /^3 S (t)
(100 + 3t)^2 /^3
integrando (100 + 3t)^2 /^3 S (t) =
(100 + 3t)^5 /^3 + C y despejamos la funci´on inc´ognita
S (t) =
(100 + 3t) + C (100 + 3t) ^2 /^3.
Para determinar la constante reemplazamos la condici´on inicial
0 =
(100) + C (100) ^2 /^3
Departamento de Matem´atica Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Certamen 3 - MAT
P2) [40 Pts.] Sea q : R → R una funci´on continua. Se sabe que φ (x) = e^5 x^ es soluci´on de la
ecuaci´on diferencial
y′′^ (x) − 3 y′^ (x) + q (x) y (x) = 0 para x ∈ R (1)
a) Mediante reemplazo directo de φ, determine q (x) y use la teor´ıa de ecuaciones con coeficientes constantes para resolver la ecuaci´on diferencial (1).
b) Utilice la f´ormula de Abel para obtener una segunda soluci´on de (1) linealmente independiente con φ.
c) Resolver la ecuaci´on no homog´enea
y′′^ (x) − 3 y′^ (x) − 10 y (x) = e^5 x^ para x ∈ R
con alguno de los m´etodos vistos en clases.
Soluci´on:
a) Al reemplazar φ se tiene 25 e^5 x^ − 15 e^5 x^ + q (x) e^5 x^ = 0
despejando q (x) = −10. La ecuaci´on diferencial queda en la forma y′′^ (x) − 3 y′^ (x) − 10 y (x) =
- Esta ecuaci´on diferencial tiene ecuaci´on caracter´ıstica asociada
m^2 − 3 m − 10 = 0
que tiene ra´ıces m = 5 y m = −2. La soluci´on general es y (x) = e^5 x^ + e ^2 x, ; ∈ R.
b) Si φ (x) = e^5 x^ es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y′′^ (x) − 3 y′^ (x) + q (x) y (x) = 0, una
segunda soluci´on, que nos entrega la f´ormula de Abel, es dada por
ϕ (x) = e^5 x
e ^
∫ (^) 3 dx
e^10 x^ dx
= e^5 x
e ^7 xdx
= e^5 x
e ^7 x − 7
e ^2 x 7
esta respuesta es compatible con lo obtenido en la parte anterior, la soluci´on general es el espacio generado por e^5 x^ y −e− 72 x.
c) Como ya se ha resuelto la parte homog´enea, solo queda por determinar una soluci´on particular.
Usando variaci´on de par´ametros, existe una soluci´on particular de la forma
yp (x) = C 1 (x) e^5 x^ + C 2 (x) e ^2 x
donde
C 1 (x) =
0 e ^2 x e^5 x^ − 2 e ^2 x
e^5 x^ e ^2 x 5 e^5 x^ − 2 e ^2 x
dx =
dx = x 7
C 2 (x) =
e^5 x^0 5 e^5 x^ e^5 x
e^5 x^ e ^2 x 5 e^5 x^ − 2 e ^2 x
dx =
e^7 x − 7 dx = −
e^7 x
luego yp (x) = x 7 e^5 x^ − 491 e^5 x^ (o simplemente x 7 e^5 x^ puesto la otra parte es soluci´on de la homo- genea). La soluci´on general es
yG (x) = e^5 x^ + e ^2 x^ + x 7 e^5 x^ con ; ∈ R:
