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UNIVERSIDAD DEL B´IO-B´IO FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA´ Profesores: SC - PD - FF - MH - HM - CS / H.M - C.S. 1 Semestre de 2018
C ´ALCULO DIFERENCIAL
M ´ODULO I
Pauta evaluaci´on sumativa 1, 23 de marzo de 2018
- (20 pts) Probar que:
a) Si a + b = 1, con a, b ∈ R − 0, entonces (ab)−^1 = (a−^1 + b−^1 ). (10 pts) Soluci´on: Por hip´otesis a, b 6 = 0. Esto implica que ab 6 = 0. Por lo tanto, (ab)−^1 est´a bien definido. De esto, se tiene que (ab)−^1 = (^) ab^1. Por hip´otesis a + b = 1. Reemplazando, se tiene que
ab =^
a+b
ab =^
a
ab +^
b
ab =^
a +^
b =^ a
− 1 + b− 1.
b) Para cualquier x, y ∈ R+, demostrar que
x + y 2
xy (10 pts) Soluci´on: Sabemos que (x − y)^2 > 0, ∀x, y ∈ R+^ : x 6 = y. Luego x^2 − 2 xy + y^2 > 0. ⇒ x^2 − 2 xy + y^2 + 4xy > 4 xy. / (+4xy) Luego se tiene que x^2 + 2xy + y^2 > 4 xy ⇒ (x − y)^2 > 4 xy / Aplicando producto notable ⇒ (x + y) > 2
xy /(Aplicando Ra´ız cuadrada) ⇒ x+ 2 y>
xy
- (30 pts) Resuelva las siguientes inecuaciones
a)
x + 4 x + 3
x^2 − 6 x + 5 x^2 − 7 x + 6
(15 pts) Soluci´on: Consideremos primero restringir el conjunto universal de la inecuaci´on. x + 4 x + 3
x^2 − 6 x + 5 x^2 − 7 x + 6 Reescribiendo nuestra inecuaci´on se tiene que
x + 4 x + 3
(x − 1)(x − 5) (x − 1)(x − 6) De esto debemos tener en cuenta que x + 3 6 = 0,x − 1 6 = 0, x − 6 6 = 0, lo que implica que x 6 = {− 3 , 1 , 6 }. Por lo tanto el conjunto universo de la inecuaci´on es R − {− 3 , 1 , 6 }. Habiendo hecho esto, podemos simplificar nuestra ecuaci´on quedando de la forma x + 4 x + 3
(x − 5) (x − 6)
x+
x+3 −^
x− 5
x− 6 ≤^0
(x+4)(x−6)−(x−5)(x+3)
(x+3)(x−6) ≤^0
x^2 − 2 x− 24 −(x^2 − 2 x−15)
(x+3)(x−6) ≤^0
x^2 − 2 x− 24 −(x^2 − 2 x−15)
(x+3)(x−6) ≤^0
(x+3)(x−6) ≤^0
(x+3)(x−6) ≤^0.
(x+3)(x−6) ≥^0.
En lo que sigue realizaremos una tabla de puntos cr´ıticos para determinar el conjunto de soluci´on. Expresi´on (−∞, −3) (− 3 , 6) (6, ∞) x + 3 − + + x − 6 − − +
(x+3)(x−6) +^ −^ + S = (−∞, −3) ∪ (6, ∞) b) |x − 1 | + |x| < 2 (15 pts) Soluci´on: Por definici´on de valor absoluto, se tiene que |x − 1 | ⇒ x − 1 ≥ 0 si x ≥ 1 ∨ −(x − 1) ≥ 0 si x < 1. An´alogamente se tiene para |x|. Nuestros puntos cr´ıticos son x = { 0 , 1 }. De aqu´ı se desprenden 3 casos:
- si U 1 : x ∈ (−∞, 0). −(x − 1) − x < 2 ⇒ −x + 1 − x < 2 ⇒ − 2 x + 1 < 2 ⇒ − 2 x < 1
⇒ x >
Por lo tanto S 1 = (−^12 , ∞) ∩ (−∞, 0) = (−^12 , 0)
si U 2 : x ∈ [0, 1) −(x − 1) + x < 2 ⇒ −x + 1 + x < 2 ⇒ 1 < 2 Por lo tanto, S 2 = R ∩ [0, 1) = [0, 1)
si U 3 : x ∈ [1, ∞) x − 1 + x < 2 ⇒ 2 x − 1 < 2 ⇒ 2 x < 3 ⇒ x < 32 S 3 = (−∞, 32 ∩ [1, 32 ) = [1, 32 ) Finalmente Sf inal = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 = (−^12 , 32 )
- (20 pts) Marque verdado o falso. En caso de ser falso (F) entregue un contraejemplo y en caso de ser verdadero (V) demuestre la expresi´on.
Expresi´on V F a) Si x es un n´umero real, entonces −x es negativo b) Si x ∈ R, entonces x^2 + 1 > 1 c) Si x, y ∈ R, satisfaciendo que x^2 = y^2 , entonces x = y ´o x = −y d) ∀x, y ∈ R, 4 xy ≤ (x + y)^2
b) Para esto resolvemos la inecuaci´on
500 + 600T − 20 T 2 < 200 =⇒ 300 + 600T − 20 T 2 < 0 =⇒ T 2 − 30 T − 15 > 0
=⇒ C.S =
]
[
]
[
As´ı obtenemos que la fuerza tensil S es menos que 200 si T < − 0 , 49 y T > 30 , 49 ◦ aproximadamente.
b) Para esto resolvemos la inecuaci´on
500 + 600T − 20 T 2 ≥ 4500 =⇒ −4000 + 600T − 20 T 2 ≥ 0 =⇒ T 2 − 30 T + 200 ≤ 0 =⇒ C.S = [10, 20]
As´ı obtenemos que la fuerza tensil S es mayor o igual que 4500 si 10◦^ ≤ T ≤ 20 ◦.
