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Pendulo invertido. Este artículo expone el sustento teórico y metodológico de la aplicación de las leyes de la dinámica de Newton en el modelado y control de un sistema péndulo invertido sobre un carro
Tipo: Apuntes
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Ejemplo 3.5 Un pendulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la
figura (a). Este es un modelo de control de poscicion de un propulsor prmimario espacial para
despegues. (El objetivo del problema del control de posicion es conservar el propulsor primario
espacial en una poscicion vertical.)
El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier
dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí se considera solo
un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo solo se mueve en el plano de la página.
Se aplica al carro la fuerza de control 𝜇. Supóngase que el centro de gravedad de la barra del
péndulo está en su centro geométrico. Obténgase un modelo matemático para este sistema.
Sea 𝜃 el ángulo de la barra respecto de la linea vertical. Sean además las coordenadas (𝑥, 𝑦) del
centro de gravedad de la barra del péndulo (𝑥 𝐺
𝐺
). De este modo,
𝐺
= 𝑥 + 𝑙 sin(𝜃)
𝐺
= 𝑙 cos(𝜃)
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, considérese el diagrama de cuerpo
libre que aparece en la figura (b). El movimiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de
su centro de gravedad se describe mediante
= 𝑉 𝑙 sin(𝜃) − 𝐻 𝑙 cos(𝜃) ( 3. 9 )
donde I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad.
El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante
2
2
(𝑥 + 𝑙 sin(𝜃)) = 𝐻 ( 3. 10 )
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo es
2
2
(𝑙 cos(𝜃)) = 𝑉 − 𝑚 𝑔 ( 3. 11 )
El movimiento horizontal del carro se describe mediante
2
2
Como se debe mantener el péndulo invertido en posición vertical, se puede suponer que 𝜃(𝑡) y
(𝑡) son pequeños, de forma que sin(𝜃) ≑ 0 , cos(𝜃) = 1 y 𝜃𝜃
= 0. Entonces, las ecuaciones
(3.9) a (3.11) se linealizan del siguiente modo:
A partir de las ecuaciones (3.12) y (3.14), se obtiene
A partir de las ecuaciones (3.139, (3.14) y (3.15), se obtiene
2
Las ecuaciones (3.16) y (3.17) describen el movimiento del sistema del péndulo invertido en el
carro. Constituyen un modelo matemático del sistema.
3
4
Observe que el angulo 𝜃 indica la rotación de la varilla del péndulo respecto al punto P, y x es la
posición del carro. Si se consideran 𝜃 y 𝑥 como las salidas del sistema, entonces
1
2
1
3
(Observe que tanto 𝜃 como 𝑥 son cantidades fácilmente medibles.)Entonces, a partir de la
definición de estados y de las ecuaciones (3.20) y (3.21), se obtiene
1
2
2
1
3
4
4
1
En términos de las ecuaciones vectoriales, se tiene
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2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
Las ecuaciones (3.22) y (3.23) dan una representación en el espacio de estados del sistema del
péndulo invertido. (Observe que la representación en el espacio de estados del sistema no es
única. Hay infinitas representaciones para este sistema.).
Ejemplo 10.5 Considere el sistema de control del péndulo invertido que se muestra en la figura
10.8. En este ejemplo se está interesado en los movimientos del péndulo y en el movimiento del
carro en el plano de la pagina.
Se asignan valores las variables :
y se obtiene las matrices 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷.
Asi como la función de transferencia de la función principal
2
− 16
4
2
𝐾 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 T
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− 1
− 1
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3
2
− 1
− 1
