Pr`actica 12, GDC-Grup A, 07/08
Pla tangent. Vector normal unit`aria
El tor ´es la superf´ıcie de revoluci´o generada per una circumfer`encia en el pla xz centrada
en un punt de l’eix xde coordenades (b, 0,0) i de radi a<b, ´es a dir, de manera que la
circumfer`encia no talla l’eix z, quan aquesta gira respecte de l’eix z.
Si la circumfer`encia t´e radi ai est`a centrada en el punt (b, 0,0), amb b>a, aleshores,
les equacions impl´ıcites de la superf´ıcie de revoluci´o generada per la circumfer`encia, ´es a
dir, del tor, s´on
(px2+y2−b)2+z2=a2.
(1) Demostra que
−→
x(u, v) = (cos u(b+acos v),sin u(b+acos v), a sin v), u, v ∈]0,2π[,
´es una carta del Tor similar a la carta de les coordenades geogr`afiques de l’esfera.
( Ajuda:
(2) Quina ´es la imatge, −→
x(]0,2π[×]0,2π[), de la carta?
(3) Calcula el vector normal unit`aria associat a aquesta carta.
(4) Calcula el vector normal al tor a partir de la seua equaci´o impl´ıcita.
(5) Calcula el pla tangent al Tor en els seg¨uents punts:
a) un punt de l’equador exterior.
b) un punt de l’equador interior.
c) un punt amb tercera coordenada igual a a.
1