Pr`actica 13, GDC-Grup A, 06/07
Primera Forma Fonamental
Recordem que l’`area d’una regi´o fitada, R, continguda en la imatge d’alguna carta
−→
x:U→S, ´es a dir, tal que R´es la imatge d’un subconjunt Q⊂U,−→
x(Q) = R, es
defineix com a
Ar(R) = ZQ||−→
xu(u, v)∧−→
xv(u, v)||du dv.
(1) Considerem l’anomenada superf´ıcie d’Enneper
−→
x(u, v) = (u−u3
3+uv2,v3
3−vu2−v, u2−v2),(u, v )∈R2.
Calcula l’`area de la regi´o d’aquesta superf´ıcie definida per |u| ≤ 1,|v| ≤ 1. (Ajuda.:
−→
xu∧−→
xv= (1 + u2+v2)(2u, 2v, −1 + u2+v2) i el resultat ´es 532
45 .)
(2) Considerem el paraboloide hiperb`olic {(x, y, z)∈R3:z=xy}. Calcula l’`area de
la regi´o d’aquesta superf´ıcie definida per x2+y2≤1.
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
(Ajuda: Una vegada plantejada la integral que s’ha de calcular, el millor ´es fer
un canvi a coordenades polars. L’`area ´es 2π
3(2√2−1).)
(3) Calcula la superf´ıcie del tor. F´es servir la parametritzaci´o
−→
x(u, v) = ((a+bcos u) cos v, (a+bcos u) sin v , b sin u),
amb u∈]0,2π[, v ∈]0,2π[.
1