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UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS
COMPARACIÓN DE MODELOS PARA LA SIMULACIÓN
CONDICIONAL DE LEYES DE BLOQUES
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS
RODRIGO EDUARDO ZÚÑIGA RAMÍREZ
PROFESOR GUÍA: XAVIER EMERY
MIEMBROS DE LA COMISIÓN: JULIÁN ORTIZ CABRERA EDUARDO MAGRI VARELA
SANTIAGO DE CHILE ABRIL 2009
RESUMEN.
En la industria minera, las simulaciones geoestadísticas se utilizan para cuantificar la incertidumbre en las leyes de mineral y predecir los recursos recuperables sobre una determinada ley de corte. Para estos efectos, uno de los modelos más utilizados es el modelo multigaussiano, el cual permite simular las leyes de un material de interés a soporte puntual, para luego rebloquear los valores puntuales y construir un modelo de leyes a tamaño de bloques.
En este trabajo, se propone estudiar el modelo gaussiano discreto, que permite realizar directamente las simulaciones a tamaño de bloques sin pasar por simulaciones puntuales, con los beneficios en tiempos de cálculo que esto significa, pero también con algunas aproximaciones en las que incurre con respecto al modelo multigaussiano.
La primera parte del trabajo apunta a establecer las condiciones bajo las cuales el modelo gaussiano discreto entrega resultados similares al modelo multigaussiano. Así, se realiza un estudio de sensibilidad al variograma, que modela la variabilidad espacial de la ley, así como al tamaño de los bloques a utilizar en el modelo, a la cantidad de datos condicionantes y a la asimetría que presente el histograma de estos.
En la segunda parte del trabajo, se aplica el modelo multigaussiano y el gaussiano discreto a dos bases de datos de leyes reales con distintas características, con el objetivo de evaluar en la práctica los resultados de estos modelos. En particular, se compara las estimaciones de recursos mediante curvas tonelaje-ley y las medidas de incertidumbre asociadas a cada estimación.
Los resultados obtenidos indican que, con una base de datos con un histograma de asimetría leve o moderada, el modelo gaussiano discreto aproxima de buena forma al modelo multigaussiano, observándose distribuciones de leyes simuladas y curvas tonelaje-ley prácticamente idénticas, además de medidas de incertidumbre similares. Sin embargo, al aplicar el modelo gaussiano discreto en una base de datos con un histograma de asimetría considerable, la similitud de resultados con el modelo multigaussiano se pierde: se observa diferencias importantes en la estimación de recursos recuperables, especialmente en las leyes medias obtenidas para distintas leyes de corte, y en las medidas de incertidumbre obtenidas con cada modelo.
Las conclusiones de este trabajo indican que aplicar el modelo gaussiano discreto a datos con un histograma muy asimétrico no es recomendable. En estos casos, el modelo gaussiano discreto tiende a sobrestimar la cola de altas leyes en el histograma de frecuencias de leyes simuladas, y además presenta diferencias importantes en las frecuencias de leyes menores, todo esto en comparación al modelo multigaussiano. Sin embargo, con una base de datos de histograma con asimetría leve o moderada, el modelo gaussiano discreto es perfectamente aplicable, además de requerir tiempos de cálculo considerablemente menores.
Agradecimientos.
Gracias a mi familia y en especial a mis padres, por el apoyo y la paciencia durante estos
años de estudio, y durante toda una vida.
Gracias a ti Jessica, mi compañera durante estos últimos tres años. Por tu amor, apoyo y
comprensión. He sido muy feliz contigo este tiempo.
Un agradecimiento a los profesores del área de Evaluación de Yacimientos. A los
profesores Julián Ortiz y Eduardo Magri por las observaciones y correcciones hechas a este
trabajo. Y en especial al profesor Xavier Emery, quién ha sido un gran profesor guía.
Gracias a todos mis amigos de la facultad, ya ingenieros varios, quienes me acompañaron
en los momentos más difíciles de esta historia universitaria. Y a mis amigos de la carrera de
ingeniería de minas, quienes juntos nos hemos formado como futuros profesionales.
Agradecimientos a Fondecyt por el financiamiento de este trabajo mediante el proyecto
1061103, y a Codelco por patrocinar la cátedra de Evaluación de Yacimientos.
INDICE DE CONTENIDOS.
- 1 INTRODUCCIÓN.
- 1.1 Objetivos..............................................................................................................................
- 1.1.1 Objetivo General.
- 1.1.2 Objetivos Específicos.
- 1.2 Alcances...............................................................................................................................
- 1.2.1 Etapas del trabajo.
- 1.2.2 Bases de datos...............................................................................................................
- 1.2.3 Alcances Generales.
- 2 ANTECEDENTES.
- 2.1 Antecedentes Generales.
- 2.1.1 Estudio Exploratorio de Datos......................................................................................
- 2.1.2 Estudio Variográfico.
- 2.1.3 Estimación Local.
- 2.1.4 Simulaciones.................................................................................................................
- 2.2 Modelos de Incertidumbre a Soporte Puntual.
- 2.2.1 Modelo Multigaussiano.
- 2.3 Modelos con cambio de soporte.
- 2.3.1 Modelo Gaussiano Discreto para estimación global.
- 2.3.2 Modelo Gaussiano Discreto para estimación local.
- 2.4 Algoritmos de simulación....................................................................................................
- 2.5 Cálculo de recursos recuperables.
- 3 DESCRIPCIÓN DE IMPLEMENTACIÓN DE MODELOS.
- 3.1 Descripción Estudio Conceptual.
- 3.2 Descripción Casos de Estudio.
- 4 METODOLOGÍA PRÁCTICA.
- 4.1 Metodología Estudio Conceptual.
- 4.2 Metodología Casos de Estudio.
- 5 RESULTADOS ESTUDIO CONCEPTUAL.
- 5.1. Configuración 1: Sin datos condicionantes.
- 5.1.1 Alcance de variograma.
- 5.1.2 Efecto Pepa de variograma.
- 5.1.3 Desviación Estándar Logarítmica.
- 5.1.4 Tamaño de bloques.
- 5.2 Configuración 2: 15 datos condicionantes...........................................................................
- 5.2.1 Alcance de variograma.
- 5.2.2 Efecto Pepa de variograma.
- 5.2.3 Desviación Estándar Logarítmica.
- 5.2.4 Tamaño de bloques.
- 5.3 Configuración 3: 40 datos condicionantes...........................................................................
- 5.3.1 Alcance de variograma.
- 5.3.2 Efecto Pepa de variograma.
- 5.3.3 Desviación Estándar Logarítmica.
- 5.3.4 Tamaño de bloques.
- 5.4 Configuración 4: sondaje cruzando al bloque (15 datos).
- 5.4.1 Alcance de variograma.
- 5.4.2 Efecto Pepa de variograma.
- 5.4.3 Desviación Estándar Logarítmica.
- 5.4.4 Tamaño de bloques.
- 5.5 Resumen de gráficos.
- 5.5 Resumen de estudio conceptual.
- RESULTADOS CASOS DE ESTUDIO.
- 6.1 Resultados Don Luis.
- 6.1.1 Resultados preliminares................................................................................................
- 6.1.2 Curvas tonelaje-ley.
- 6.1.3 Varianzas condicionales.
- 6.1.4 Intervalos de probabilidad.
- 6.1.5 Tiempos de cálculos.
- 6.2 Resultados Radomiro Tomic.
- 6.2.1 Resultados preliminares................................................................................................
- 6.2.2 Curvas tonelaje-ley.
- 6.2.3 Varianzas condicionales.
- 6.2.4 Intervalos de probabilidad.
- 6.2.5 Tiempos de cálculo.
- 6.2.6 Comentarios finales.
- 7 CONCLUSIONES.
- 7.1 Conclusiones estudio conceptual.
- 7.2 Conclusiones casos de estudio.............................................................................................
- 7.3 Conclusiones generales........................................................................................................
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
- ANEXOS.
- ANEXO A. “Detalle de configuración de sondajes”.
- ANEXO B. “Detalle de resultados estudio conceptual”.
- B1. Configuración 1: Sin datos condicionantes.
- B2. Configuración 2: 15 datos condicionantes.
- B3. Configuración 3: 40 datos condicionantes.
- B4. Configuración 4: Sondaje cruzando al bloque (15 datos).
- ANEXO C: “Trabajo previo Don Luis”.
- ANEXO D: “Trabajo previo Radomiro Tomic”......................................................................
- ANEXO E: “Mapas y vistas 2D de bases de datos”.
- ANEXO F: “Gráficos resumen de estudio conceptual”.
- Tabla 1: Descripción de etapas MMG. INDICE DE TABLAS.
- Tabla 2: Descripción de etapas MGD en estudio conceptual.
- Tabla 3: Descripción de etapas MGD en casos de estudio.
- Tabla 4: Valores de cada parámetro en estudio.
- Tabla 5: Estadísticas básicas de ley de bloque esperada (Don Luis).
- Tabla 6: Detalle de curvas tonelaje-ley de corte Don Luis............................................................
- Tabla 7: Detalle de curvas ley media-ley de corte Don Luis.........................................................
- Tabla 8: Detalle de curvas finos-ley de corte Don Luis.
- Tabla 9: Tiempos de cálculo Don Luis.
- Tabla 10: Estadísticas básicas de variable ley de bloque Radomiro Tomic.
- Tabla 11: Detalle de curvas tonelaje-ley de corte Radomiro Tomic.
- Tabla 12: Detalle de curvas ley media-ley de corte Radomiro Tomic.
- Tabla 13: Detalle de curvas finos-ley de corte Radomiro Tomic.
- Tabla 14: Tiempos de cálculos Radomiro Tomic.
- Tabla 15: Coordenadas de 40 datos en 3 sondajes.
- Tabla 16: Coordenadas de 15 datos en 1 sondaje.
- Tabla 17: Coordenadas de 1 sondaje cruzando el bloque..............................................................
- Tabla 18: Estadísticas básicas de datos originales Don Luis.......................................................
- Tabla 19: Estadísticas básicas de datos gaussianos Don Luis.
- Tabla 20: Parámetros de cálculo de mapas variográficos Don Luis............................................
- Tabla 21: Estadísticas básicas de datos originales Radomiro Tomic.
- Tabla 22: Estadísticas básicas de datos gaussianos Radomiro Tomic.........................................
- Tabla 23: Parámetros de cálculo de mapas variográficos Radomiro Tomic.
- Figura 1: Histogramas de leyes para ambas bases de datos reales. INDICE DE FIGURAS.
- Figura 2: Ejemplo de variograma experimental.
- Figura 3: Determinación de función de transformación (anamorfosis).
- Figura 4: Esquema explicativo de hipótesis de modelo gaussiano discreto.
- Figura 5: Determinación de coeficiente de cambio de soporte r
- Figura 6: Tipos de algoritmos de simulación.
- Figura 7: Esquema explicativo de implementación de MMG.
- Figura 8: Esquema explicativo de implementación de MGD........................................................
- Figura 9: Esquema explicativo de implementación de MGD en casos de estudio.
- Figura 10: Forma de histograma asociado a caso base.
- Figura 11: Gráficos de alcance de variograma Configuración 1.
- Figura 12: Gráficos de efecto pepa Configuración 1.
- Figura 13: Gráficos de desviación estándar logarítmica Configuración 1.
- Figura 14: Gráficos de tamaño de bloques Configuración 1.
- Figura 15: Gráficos de alcance de variograma Configuración 2.
- Figura 16: Gráficos de efecto pepa Configuración 2.
- Figura 17: Gráficos de desviación estándar logarítmica Configuración 2.
- Figura 18: Gráficos de tamaños de bloque Configuración 2.
- Figura 19: Gráficos de alcances de variograma Configuración 3.
- Figura 20: Gráficos de efecto pepa Configuración 3.
- Figura 21: Gráficos de desviación estándar logarítmica Configuración 3.
- Figura 22: Gráficos de tamaño de bloques Configuración 3.
- Figura 23: Gráficos de alcance de variograma Configuración 4.
- Figura 24: Gráficos de efecto pepa de variograma Configuración 4.
- Figura 25: Gráficos de desviación estándar logarítmica Configuración 4.
- Figura 26: Gráficos de tamaño de bloques Configuración 4.
- Figura 27: Gráficos que resumen estudio de alcance de variograma.
- Figura 28: Gráficos que resumen estudio de tamaño de bloques.
- Figura 29: Gráficos que resumen estudio de desviación estándar logarítmica..............................
- Figura 30: Gráficos que resumen estudio de efecto pepa.
- Figura 31: Resumen de resultados estudio conceptual.
- Figura 32: Distribuciones de ley esperada Don Luis.
- Figura 33: Mapas de ley Don Luis.
- Figura 34: Curvas de tonelaje sobre ley de corte para cada modelo.
- Figura 35: Curvas de fino sobre ley de corte para cada modelo....................................................
- Figura 36: Curvas de ley media sobre ley de corte para cada modelo.
- Figura 37: Tonelaje v/s Ley de corte Don Luis.
- Figura 38: Finos v/s Ley de corte Don Luis.
- Figura 39: Ley media v/s Ley de corte Don Luis.
- Figura 40: Mapas de varianza condicional Don Luis.
- Figura 41: Nube de correlación de varianzas condicionales Don Luis.
- Figura 42: Nube de correlación de intervalos de probabilidad 95% Don Luis.
- Figura 43: Nube de correlación de intervalos de probabilidad 90% Don Luis.
- Figura 44: Distribuciones de ley esperada Radomiro Tomic.
- Figura 45: Mapas de ley Radomiro Tomic.
- Figura 46: Curvas de tonelaje sobre ley de corte para cada modelo
- Figura 47: Curvas de fino sobre ley de corte para cada modelo....................................................
- Figura 48: Curvas de ley media sobre ley de corte para cada modelo.
- Figura 49: Tonelaje v/s Ley de corte Radomiro Tomic.
- Figura 50: Ley media v/s Ley de corte Radomiro Tomic..............................................................
- Figura 51: Finos v/s Ley de corte Radomiro Tomic.
- Figura 52: Mapas de varianza condicional Radomiro Tomic........................................................
- Figura 53: Nube de correlación de varianzas condicionales Radomiro Tomic.
- Figura 54: Nube de correlación de intervalos de probabilidad 95% Radomiro Tomic.
- Figura 55: Nube de correlación de intervalos de probabilidad 90% Radomiro Tomic.
- Figura 56: Esquema conceptual con las distintas configuraciones espaciales de datos.
- Figura 57: Nubes de correlación variando alcances de variograma (Configuración 1).
- Figura 58: Gráficos q-q plot variando alcances de variograma (Configuración 1).
- Figura 59: Nubes de correlación variando tamaño de bloques (Configuración 1).
- Figura 60: Gráficos q-q plot variando tamaño de bloques (Configuración 1).
- Figura 61: Nubes de correlación variando desviación estándar logarítmica (Configuración 1).
- Figura 62: Gráficos q-q plot variando desviación estándar logarítmica (Configuración 1).
- Figura 63: Nubes de correlación variando efecto pepa (Configuración 1)....................................
- Figura 64: Gráficos q-q plot variando efecto pepa (Configuración 1).
- Figura 65: Nubes de correlación variando alcances de variograma (Configuración 2).
- Figura 66: Gráficos q-q plot variando alcances de variograma (Configuración 2).
- Figura 67: Nubes de correlación variando tamaño de bloques (Configuración 2).
- Figura 68: Gráficos q-q plot variando tamaño de bloques (Configuración 2).
- Figura 69: Nubes de correlación variando desviación estándar logarítmica (Configuración 2).
- Figura 70: Gráficos q-q plot variando desviación estándar logarítmica (Configuración 2).
- Figura 71: Nubes de correlación variando efecto pepa (Configuración 2)..................................
- Figura 72: Gráficos q-q plot variando efecto pepa (Configuración 2).
- Figura 73: Nubes de correlación variando alcances de variograma (Configuración 3).
- Figura 74: Gráficos q-q plot variando alcances de variograma (Configuración 3).
- Figura 75: Nubes de correlación variando tamaño de bloques (Configuración 3).
- Figura 76: Gráficos q-q plot variando tamaño de bloques (Configuración 3).
- Figura 77: Nubes de correlación variando desviación estándar logarítmica (Configuración 3).
- Figura 78: Gráficos q-q plot variando desviación estándar logarítmica (Configuración 3).
- Figura 79: Nubes de correlación variando efecto pepa (Configuración 3)..................................
- Figura 80: Gráficos q-q plot variando efecto pepa (Configuración 3).
- Figura 81: Nubes de correlación variando alcances de variograma (Configuración 4).
- Figura 82: Gráficos q-q plot variando alcances de variograma (Configuración 4).
- Figura 83: Nubes de correlación variando tamaño de bloques (Configuración 4).
- Figura 84: Gráficos q-q plot variando tamaño de bloques (Configuración 4).
- Figura 85: Nubes de correlación variando desviación estándar logarítmica (Configuración 4).
- Figura 86: Gráficos q-q plot variando desviación estándar logarítmica (Configuración 4).
- Figura 87: Nubes de correlación variando efecto pepa (Configuración 4)..................................
- Figura 88: Gráficos q-q plot variando efecto pepa (Configuración 4).
- Figura 89: Histograma y mapa XY de datos originales Don Luis...............................................
- Figura 90: Histograma de datos gaussianos Don Luis.
- Figura 91: Nubes de correlación de datos gaussianos Don Luis.
- Figura 92: Test de comparación de raíz de variograma v/s madograma.
- Figura 93: Nubes de correlación Ley v/s coordenadas Don Luis.
- Figura 94: Mapas variográficos en planos principales Don Luis.
- Figura 95: Variograma experimental y modelo de variograma Don Luis.
- Figura 96: Variograma de datos gaussianos a soporte de bloques Don Luis.
- Figura 97: Histograma y mapa XY de datos originales Radomiro Tomic
- Figura 98: Histograma de datos gaussianos Radomiro Tomic
- Figura 99: Nubes de correlación diferida de datos gaussianos Radomiro Tomic
- Figura 100: Test de comparación de raíz de variograma v/s madograma.
- Figura 101: Nubes de correlación Ley v/s coordenadas Radomiro Tomic.
- Figura 102: Mapas variográficos en planos principales Radomiro Tomic.
- Figura 103: Variograma experimental y modelo de variograma Radomiro Tomic.
- Figura 104: Variograma de datos gaussianos a soporte de bloques Radomiro Tomic.
- Figura 105: Mapas de leyes Don Luis.
- Figura 106: Mapas de ley Radomiro Tomic.
- Figura 107: Vistas 2D de grilla v/s datos en sondajes.
- Figura 108: Gráficos resumen de estudio de alcance de variograma.
- Figura 109: Gráficos resumen de efecto pepa.
- Figura 110: Gráficos resumen de estudio de tamaño de bloques.
- Figura 111: Gráficos resumen de estudio de desviación estándar logarítmica............................
1.1 Objetivos.
1.1.1 Objetivo General.
El objetivo primordial de este trabajo es comparar los resultados obtenidos con la utilización del modelo multigaussiano y el modelo gaussiano discreto (en su versión local), para así establecer las potenciales limitaciones o aproximaciones que cometa el modelo gaussiano discreto, y en cuales circunstancias se dan estos problemas.
1.1.2 Objetivos Específicos.
Para conocer en mayor detalle las aproximaciones que pueda cometer el modelo gaussiano discreto se realizarán estudios en función de algunos parámetros o variables, para así establecer las condiciones en las cuales el modelo tiene un buen comportamiento. Los parámetros o variables son los siguientes:
- Tamaño de los bloques a considerar en el modelo de leyes.
- Distribución estadística de los datos de leyes obtenidos en los sondajes (forma del histograma de los datos disponibles).
- Variograma, que es una función que permite caracterizar la variabilidad espacial de los valores de ley.
- Cantidad de datos que condicionan las simulaciones en cada punto o bloque del espacio estudiado.
Además se aplicarán los modelos en casos de estudio (bases de datos reales) realizándose los siguientes trabajos:
- Evaluar las diferencias en tiempos de cálculo.
- Estudiar cambios en curvas tonelaje-ley.
- Estudiar las diferencias en la cuantificación de la incertidumbre.
1.2 Alcances.
1.2.1 Etapas del trabajo.
El trabajo de la memoria se divide en dos etapas:
Primera Etapa: Estudio Conceptual
En esta etapa se busca determinar que tan aproximado es el modelo gaussiano discreto, considerando el análisis de sensibilidad en función de los parámetros mencionados en los objetivos específicos.
Segunda Etapa: Casos de Estudio
En esta etapa se aplicarán los modelos a bases de datos y calcularán y compararán los siguientes conceptos:
Las curvas tonelaje-ley esperadas Los recursos recuperables locales para distintas leyes de corte Los intervalos de probabilidad Los tiempos de cálculo
1.2.2 Bases de datos.
En la primera etapa se utilizarán diferentes series de datos ficticios, los cuales siguen una distribución lognormal. En la segunda etapa se considerarán bases de datos de leyes reales, para darle sentido al cálculo de las curvas tonelaje-ley y recursos asociados. Estas bases de datos son de las siguientes faenas mineras:
- Mina Radomiro Tomic, de la División Codelco Norte de Codelco Chile, ubicada en la región de Antofagasta, Chile.
- Rajo Don Luis de la División Andina de Codelco Chile, ubicada en la región de Valparaíso, Chile.
A continuación se presenta un breve análisis de estas bases de datos.
2 ANTECEDENTES.
2.1 Antecedentes Generales.
La geoestadística es una rama de la estadística, aplicada en un contexto espacial. Busca estudiar las variables regionalizadas, que corresponden a variables numéricas que se distribuyen en el espacio y presentan cierta continuidad espacial, aunque escapan a toda representación simple debido a que varían irregularmente. Ejemplo de una variable regionalizada es la ley en un yacimiento minero, caso que es de interés en este trabajo. Una variable regionalizada queda caracterizada por:
- Su naturaleza: puede ser continua, discreta o categórica.
- El dominio en estudio, es decir, las dimensiones espaciales que abarca la variable.
- El volumen sobre el cual se mide (tamaño de soporte), dado que no es lo mismo medirla en puntos del espacio o en soportes mayores (bloques).
Si bien los fenómenos naturales son determinísticos, pueden ser muy complejos. Es por esto que en el estudio de una variable regionalizada se puede considerar la aplicación de probabilidades, como por ejemplo en la ley de un metal presente en la mineralización de un macizo rocoso. En un modelo probabilístico una variable regionalizada z(x) en un sitio x del dominio D en estudio, se interpreta como una realización de una variable aleatoria Z(x). El conjunto de estas variables en distintos puntos del espacio constituye una función aleatoria que se expresa como Z = {Z(x), x ᒈ D}.
Una variable aleatoria Z se caracteriza por una distribución de probabilidad:
- Función de distribución: ∀ z ∈ R, F(z) = Prob(Z 㐉 z)
- Densidad de probabilidad: corresponde a la derivada de la función de distribución.
Una función aleatoria se caracteriza por una distribución espacial, que consta de todas las distribuciones de probabilidad de sus componentes, en particular:
- Distribución univariable: F( z 1 ; x 1 ) = Prob(Z( x 1 ) < z 1
- Distribución bivariable: F( z 1 , z 2 ; x 1 , x 2 ) = Prob(Z( x 1 ) < z 1 , Z( x 2 ) < z 2 )
donde x 1 y x 2 representan distintos sitios en el espacio.
En los estudios geoestadísticos se asumen algunas hipótesis simplificatorias, como la hipótesis de estacionaridad que establece que la distribución que sigue la función aleatoria es invariante por traslación en el espacio. Es decir, independiente de la ubicación en el espacio, presenta las mismas medias y varianzas.
En un estudio geoestadístico previamente se desarrollan las etapas de estudio exploratorio y variográfico, que se describen brevemente a continuación.
2.1.1 Estudio Exploratorio de Datos.
El objetivo es conocer de modo general la distribución de la variable regionalizada en estudio, para definir zonas de estudio o anticipar y corregir dificultades asociadas a las bases de datos disponibles. Algunas herramientas de análisis exploratorio de datos, presentadas con sus respectivos objetivos son:
- Mapas para visualizar la ubicación espacial de los datos.
- Histogramas para conocer la distribución estadística de los datos.
- Estadísticas básicas como las medidas de posición y dispersión.
- Gráficos de probabilidad para comparar una distribución empírica con una teórica.
- Gráficos q-q plot para comparar dos distribuciones empíricas.
- Nubes de correlación para visualizar valores de una variable en función de otra.
2.1.2 Estudio Variográfico.
Su objetivo es conocer la continuidad espacial de la variable en estudio, debido a que los valores observados en distintos puntos del espacio pueden estar correlacionados. De este modo es importante estudiar el que tan rápido o lento se pierde esta correlación al aumentar la distancia de separación entre dos puntos.
Para desarrollar este estudio se utiliza una función llamada variograma (que equivale a desarrollar la función de covarianza de los datos espaciales), que es una forma analítica de expresar la variabilidad espacial de los valores que toma la variable en estudio. De este modo se pueden calcular variogramas en algunas direcciones del espacio, obteniéndose resultados gráficos como el siguiente ejemplo de un variograma experimental:
Figura 2: Ejemplo de variograma experimental.
En un variograma experimental se define como meseta al valor en el cual se estabiliza el variograma, y como alcance a la distancia que se alcanza la meseta. Formalmente la meseta debe ser igual a la varianza de los datos. Además se define como efecto pepa a la discontinuidad en el origen del variograma (en este caso poco menor a 0.1). Mientras más alto el efecto pepa, más erraticidad a pequeña escala presenta la variable en estudio.
Un variograma experimental como el anterior requiere ser modelado debido a que es incompleto, ya que se calcula sólo para ciertas direcciones. Existen una serie de modelos
variabilidad real de la variable en estudio mediante la construcción de varias realizaciones que representan escenarios posibles.
Se pueden diferenciar dos tipos de simulaciones: las no condicionales y las condicionales. Las simulaciones no condicionales buscan reproducir la distribución global de la variable regionalizada, sin reproducir los valores de los datos en sitios ya conocidos. En cambio las simulaciones condicionales buscan reproducir las distribuciones locales, que dependen de los datos conocidos. De esta forma, en un sitio con dato no hay incertidumbre, y estas simulaciones condicionales pueden considerarse más realistas que las no condicionales.
Así como el kriging tradicional sólo permite resolver el problema de estimación, es decir, de predecir valores en sitios no conocidos, las simulaciones además entregan una medición de la incertidumbre y permiten desarrollar análisis de riesgo, debido a la disposición de varios escenarios posibles.
Para aplicar simulaciones es necesario definir un modelo adecuado de función aleatoria. Además, estas simulaciones pueden realizarse a distintos soportes, es decir, a soporte de puntos o a soporte de bloques, dado que en minería resulta de interés desarrollar un modelo de leyes a soporte de bloques.
2.2 Modelos de Incertidumbre a Soporte Puntual.
La incertidumbre en un modelo está asociada a la falta de conocimiento por no disponer de un muestreo exhaustivo de la variable en estudio. Es por esto que ningún modelo numérico reproduce la realidad sin error. Los modelos de incertidumbre buscan caracterizar los valores desconocidos de la variable regionalizada no por estimaciones, sino que por distribuciones de probabilidad.
Un modelo de incertidumbre global busca describir la distribución global de la variable regionalizada, distribución que no depende de la ubicación considerada en el espacio. Esta función de distribución puede ser obtenida a partir del histograma acumulado de los datos disponibles, el cual antes debe ser desagrupado para corregir los problemas que genera la disposición de datos espaciados irregularmente en el espacio.
Este desagrupamiento puede realizarse mediante ponderación, asignando un ponderador pequeño a los datos agrupados y un ponderador mayor a los datos aislados. Las técnicas geométricas más utilizadas son el método de las celdas y el método de los polígonos de influencia.
Por su parte, un modelo de incertidumbre local busca describir la distribución local de la variable regionalizada, es decir, condicional a los datos disponibles. De esta forma la distribución depende de la ubicación del espacio, al considerar los valores y las posiciones de los datos cercanos.
2.2.1 Modelo Multigaussiano.
Es uno de los modelos de incertidumbre a soporte puntual típicamente utilizados [1]. Este modelo requiere trabajar con variables gaussianas, lo que hace necesario transformar los datos disponibles mediante una función de transformación llamada anamorfosis. Gráficamente, la anamorfosis consiste en deformar el histograma de los datos en un histograma gaussiano, de modo que la variable transformada, denotada Y(x), tenga una distribución gaussiana estándar (de media 0 y varianza 1). Lo anterior se observa en el siguiente esquema:
Figura 3: Determinación de función de transformación (anamorfosis).
La hipótesis fundamental del modelo es que los valores transformados tienen una distribución multigaussiana, la cual se define por las siguientes propiedades:
- Toda combinación lineal de los valores sigue una distribución gaussiana.
- La densidad de probabilidad de un conjunto de valores ubicados en los sitios { x 1 ,... x n} es:
Se destaca que la densidad de probabilidad queda definida sólo con la matriz de varianza- covarianza C.
Una propiedad fundamental del modelo es que la distribución global de un valor transformado Y(x) es una gaussiana estándar N(0,1). Por su parte la distribución local de Y(x) también es una gaussiana pero no estándar, sino de media igual al kriging simple de Y(x) y de varianza igual a la varianza de kriging simple. Un resultado directo de esto es que la distribución local tiende a la distribución global en posiciones del espacio lejanas a los datos.
Lo más interesante de construir una función de distribución local es la posibilidad de expresar la probabilidad de superar un cierto valor umbral (por ejemplo una ley de corte en minería) no sólo en función del valor medio de una estimación, sino también en función de la varianza de estimación.
Z ( x ) Y ( x )
π
= y C −^ y C
x (^) 1 x 1 1 2
exp ( 2 ) det( )
g ( ,... n ; y ,... yn ) n t
t
y =( y 1 ,... yn ) C i , j =cov{ Y ( x i ), Y ( x j )}
