Espacio Eucl´ıdeo
Irene V. Toranzo
Departamento de Matem´atica Aplicada, URJC
S1. Producto escalar
Sean u,v∈Rn. Si
u=
u1
u2
.
.
.
un
yv=
v1
v2
.
.
.
vn
,
el producto escalar de uyvviene dado por
uT·v=u1u2··· un
v1
v2
.
.
.
vn
=u1v1+u2v2+. . . +unvn
Propiedades
Sean u,v∈Rn,c∈R. Entonces:
a. u·v=v·u(Sim´etrica)
b. (c1u1+c2u2+. . . +cpup)·w=
c1(u1·w) + c2(u2·w) + . . . +cp(up·w)
c. u·u≥0 siendo u·u= 0 ⇔u=0
Aplicaci´on: C´alculo de la longitud de un
vector
Sea u∈Rn, con u=
u1
u2
.
.
.
un
, se define la
longitud (o norma) del vector ucomo el
escalar no-negativo ||u|| dado por
||u|| =√u·u=qu2
1+u2
2+. . . +u2
n
Vector unitario: un vector cuya longitud es la
unidad. Dado un vector no nulo u, siempre es
posible obtener un vector unitario en la misma
direcci´on de ude la forma
eu=u
||u||
Este proceso se denomina normalizaci´on del
vector u.
S2. Distancias y ´angulos
Sean u,v∈Rn. La distancia entre u yv,
dist(u,v), se define como la longitud del vector
u−v, i.e.,
dist(u,v) = ||u−v|| =
=p(u−v)·(u−v) =
=p(u1−v1)2+ (u2−v2)2+. . . + (un−vn)2
Si u,v∈Rn, el ´angulo que forman entre s´ı uy
vviene dado por
u·v=||u||||v||cos(θ)
o
θ= arccos u·v
||u||||v||
S3(*).M´etodo (de
ortogonalizaci´on) de
Gram-Schmidt
Algoritmo para construir una base ortogonal
de cualquier subespacio no nulo de Rn
Algoritmo de Gram-Schmidt
Dada una base {x1,...,xp}de un subespacio no
nulo W⊆Rn, se construyen los vectores
v1=x1
v2=x2−x2·v1
v1·v1
v1
v3=x3−x3·v1
v1·v1
v1−x3·v2
v2·v2
v2
.
.
.
vp=xp−xp·v1
v1·v1
v1−xp·v2
v2·v2
v2−. . . −xp·vp−1
vp−1·vp−1
vp−1
Entonces, {v1,...,vp}constituye una base ortogonal
de W.
La base ortonormal correspondiente se obtiene
normalizando cada vi,i= 1,...,p, i.e,
ev1=v1
||v1||,...,evp=vp
||vp||
S3. Ortogonalidad y ortonormalidad (*)
Sean u,v∈Rn. Se dice que uyvson
ortogonales entre s´ı cuando
u·v= 0
Teorema de Pit´agoras
Dos vectores uyven Rnson ortogonales si y
s´olo si
||u+v||2=||u||2+||v||2
Un conjunto de vectores {u1,u2,...,up}en Rn
se dice que es un conjunto ortogonal si los
vectores son ortogonales entre s´ı, i.e.,
ui·uj= 0,i6=j
Resultado 1
Si S={u1,u2,...,up}es un conjunto de
vectores no nulos en Rn, entonces Ses un
conjunto linealmente independiente ⇒es
una base de un subespacio, W⊆Rn, generado
por S.
Resultado 2
Si {u1,u2,...,up}es una base ortogonal de
un subespacio W⊆Rn, entonces para cada
y∈W, los pesos de la combinaci´on lineal
y=c1u1+c2u2+. . . +cpup
vienen dados por
cj=y·uj
uj·uj
,j= 1,...,p
S4. Proyecci´on ortogonal
Dados dos vectores no nulos u,y∈Rn, interesa
descomponer el vector ycomo suma de dos
vectores
y=˜y +z
donde ˜y =cupara cierto c∈Ryz⊥u.
Si z=y−cu, entonces el vector y−˜y ⊥usii
(y−cu)·u=y·u−(cu)·u=y·u−c(u·u)=0
esto es si,
c=y·u
u·u⇒˜y ≡proyLy=y·u
u·uu
Siendo,
˜y ≡proyecci´on ortogonal de y sobre u
z≡componente ortogonal de y ortogonal
a u
L≡subespacio generado por el vector u
Teorema de la Descomposici´on
Ortogonal
Sea Wun subespacio de Rn. Entonces cada
y∈Rnpuede escribirse de forma ´unica como
y=˜y +z
donde ˜y ∈Wyz∈W⊥.
Adem´as, si {u1,...,up}es una base ortogonal
cualquiera de W, se tiene que
˜y ≡proyWy=y·u1
u1·u1
u1+. . . +y·up
up·up
up
con
z=y−˜y,
˜y ≡proyecci´on ortogonal de y sobre W,
W⊥≡subespacio complemento ortogonal
de W, i.e., el conjunto de todos los vectores z
tales que z⊥x,∀x∈W
