3.6 Plano tangente y recta normal a una superficie 13
3.6 Plano tangente y recta normal a una superficie
Sea Suna superficie dada por F(x, y , z)=0yseax0=(x0,y
0,z
0)un punto
sobre S.SeaCuna curva en Sque pasa por el punto x0y que se define
mediante la función vectorial
c(t)=(x(t),y(t),z(t)) ,
entonces para todo t
F(x(t),y(t),z(t)) = 0.
Si Fes diferenciable y c(t)es derivable, por la regla de la cadena resulta
que
0=F0(t)=F0
x(x, y, z)x0(t)+F0
y(x, y, z)y0(t)+F0
z(x, y, z)z0(t)
o equivalentemente
∇F(x)·r0(t)=0.
Este resultado nos informa de que el vector gradiente en x0es ortogonal
al vector tangente a cualquier curva sobre Squepaseporx0.Porlotanto,
todas las rectas tangentes en x0estánenunplanoqueesnormala∇F(x0)
ycontieneax0.Aesteplanolollamaremosplano tangente de Fen x0y
alarectaquepasaporx0en la dirección de ∇F(x0)la llamaremos recta
normal de Sen x0.
Para determinar la ecuación de un plano tangente a una superficie (dife-
renciable) dada por F(x, y, z )=f(x, y)−z=0en x0tomaremos un punto
arbitrario (x, y, z)del plano tangente, de esta forma podemos asegurar que
el vector v=(x−x0,y −y0,z−z0)pertenece al plano tangente. Como el
vector gradiente5es normal al plano en x0debe ser ortogonal a cada vector
del plano tangente, es decir,
∇F(x)·v=0
por lo que la ecuación del plano tangente vendrá dada por la expresión
f0
x(x0,y
0)(x−x0)+f0
y(x0,y
0)(y−y0)−(z−z0)=0
Por otro lado que al ser ∇F(x0)el vector director de la recta normal,
la ecuación de la misma será
x−x0
f0
x(x0,y
0)=y−y0
f0
y(x0,y
0)=z−z0
−1
5Supondremos que ∇F(x0)6=0.
