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Una introducción a los métodos numéricos, con énfasis en la identificación y calculo de diferentes tipos de errores en operaciones numéricas. Se explican conceptos como error absoluto, error relativo, error de truncamiento y redondeo, y se muestran ejemplos prácticos para su comprensión. Además, se presenta una fórmula para calcular el error relativo aproximado en métodos de iteraciones sucesivas.
Tipo: Ejercicios
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Calcular e identificar los diferentes tipos de errores en operaciones numéricas. INTRODUCCIÓN Los métodos numéricos son procedimientos matemáticos cuyo objetivo es la resolución numérica de problemas que carecen de expresión analítica para su resolución exacta. Estos procedimientos se expresan, en general, mediante algoritmos que especifican la secuencia de operaciones lógicas y aritméticas que conducen a la solución (normalmente aproximada) del problema planteado. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como: EA = | P – P | Error relativo.* Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Y el error relativo como ER = | P – P| / P , si P ≠ 0* El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como error porcentual: ERP = ER x 100 Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo. Errores de Truncamiento
Código: clear all; close all; clc % EXPRESION DE Pi format a=pi %error de redondeo format long a1=pi %error de truncamiento %expesion de 2/ format b=2/3 %error de redondeo format long b1=2/3 %error de truncamiento
2. Tomar los valores de a=1345.61, b=0.00052 y c=- 0.00049 y usando sólo cuatro cifras decimales para expresar el resultado final, calcula los distintos tipos de error al ejecutar las operaciones que se indican: Operacione s Valor correcto Valor fix4 Error absoluto Error relativo % de error a + b (^) 1345.61052 1345.6105 1.9999 1.4863 1. b ∗ c -2.548e-07 0 2.548e-07 -1 - b c
a − b c a ∗ b
clear all; close all; clc format longG a = 1345.61; b = 0.00052; c = -0.00049; %valor correcto format longG vc1 = a+b vc2 = bc vc3 = b/c vc4 =(a-b)/((c/a)b) %valor fix v1_fix4= fix((a+b)10000)/ v2_fix4= fix((bc)10000)/ v3_fix4= fix((b/c)10000)/ v4_fix4= fix((a-b)/((c/a)b)10000)/ %errores absolutos
ea1= abs(vc1-v1_fix4) ea2= abs(vc2-v2_fix4) ea3= abs(vc3-v3_fix4) ea4= abs(vc4-v4_fix4) %errores relativos er1= ea1/vc er2= ea2/vc er3= ea3/vc er4= ea4/vc %errores porcentuales ep1= er1* ep2= er2* ep3= er3* ep4= er4*
3. Partiendo de la forma de aproximar el error en métodos de iteraciones sucesivas, establece una forma de calcular el error relativo aproximado. El cálculo del error relativo aproximado en métodos de iteraciones sucesivas se puede realizar utilizando la siguiente fórmula: Error Relativo Aproximado (ERA) = |Xn - Xn-1| / |Xn| Donde: Xn es la aproximación actual en la iteración n. Xn-1 es la aproximación anterior en la iteración n-1. |X| representa el valor absoluto de X. Esta fórmula calcula la diferencia entre la aproximación actual (Xn) y la aproximación anterior (Xn-1) y la divide por el valor absoluto de la aproximación actual (|Xn|) para obtener el error relativo aproximado. El valor absoluto se utiliza para asegurarse de que el error relativo sea siempre un número positivo.
7. Explica brevemente y da un ejemplo de la propagación de errores bajo el producto. La propagación de errores bajo el producto se refiere a cómo los errores en los valores de entrada se propagan a través de una multiplicación. Cuando multiplicamos dos números con ciertos errores o incertidumbres, el error en el resultado final puede ser mayor que los errores individuales de los números originales. Para la multiplicación de dos números: p*q p = p Ep q = q Eq p= valor aprox de p p = 10± 3 q = 20± 3 p = valor verdadero p Ep=3÷10=0.3 Eq=3÷20=0.15 Ep= error abs de p Ep p = error relativo de p Epq ≋Eq + Ep Epq ≋ 0.3 + 0.15 = 0. (p * q) = 13 * 23 = (p * q) = 10 * 20 = Epq= 299-200200= 0.
De acuerdo con la información recabada por la introducción, lo realizado en clase y en este reporte; podemos decir que se realizó con éxito y entendimiento lo visto. Ya que fue posible visualizar y entender los tipos de errores que se manejan a la hora de realizar programas para resolver diferentes cuestiones numéricas. Y ver que impacto tenían a la hora de reportar un resultado. Observamos que el reportar una cierta cantidad limitada de dígitos después del punto decimal si afecta al resultado, dándonos un grado de error y teniendo un valor un tanto cercano al adecuado. Continuando así, con el error absoluto y relativo, los cuales señalan que el absoluto es la diferencia entre la medición y el valor promedio, y el relativo es el cociente entre el absoluto y el valor promedio, donde en nuestra ejecución podemos ver una clara diferencia entre sí. CONCLUSIONES Durante el desarrollo de esta practica fue posible visualizar, estudiar y comprender los diferentes tipos de errores además de entender que impacto tienen dentro de un resultado, utilizando valores porcentuales y visualizarlo por medio de cálculos de error absoluto, error relativo y errores por truncamiento y redondeo. BIBLIOGRAFÍA LUDA UAM-Azc. (s/f). Org.mx. Recuperado el 21 de febrero de 2024, de http://aniei.org.mx/paginas/uam/CursoMN/curso_mn_02.html Métodos Numéricos 1: fuentes de error. (s/f). Ulpgc.es. Recuperado el 21 de febrero de 2024, de https://estadistica-dma.ulpgc.es/FCC/05-1-Generalidades- Metodos-Numericos.html
