TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA DE CÁLCULO DIFERENCIAL – BMA-01
(Solucionario 2019-2)
1. Aplicando la definición de función derivada, calcular 𝑑𝑓
𝑑𝑥 si 𝑓(𝑥)=𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥) 4 pts.
Resolución:
𝑓′(𝑥)=lim
ℎ→0𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥+ℎ)−𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥)
ℎ=lim
ℎ→0 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥+ℎ −𝑒𝑥)
ℎ.𝑐𝑜𝑠(𝑒𝑥+ℎ).𝑐𝑜𝑠(𝑒𝑥)=𝑠𝑒𝑐2(𝑒𝑥)lim
ℎ→0𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥+ℎ −𝑒𝑥)
ℎ
𝑓′(𝑥)=𝑠𝑒𝑐2(𝑒𝑥)lim
ℎ→0𝑒𝑥+ℎ −𝑒𝑥
ℎ=𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐2(𝑒𝑥)lim
ℎ→0𝑒ℎ−1
ℎ=𝒆𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒆𝒙)
2. La función 𝑓(𝑥)={ 𝑏𝑥2+ a𝑥 , 𝑠𝑖 0 ≤𝑥 ≤ 2
𝑐+√𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 2<𝑥≤5 es derivable en el intervalo ]0,5[. Determine
el valor de "a+𝑏𝑐" sabiendo que 𝑓(0)=𝑓(5) 4 pts.
Resolución:
➢ Como 𝑓(0)=𝑓(5) entonces 𝒄=−𝟐 …(*)
➢ Para que 𝑓 sea continua en 2, se debe cumplir que: 4𝑏+2a=𝑐+1 …(**)
➢ Para que 𝑓 sea derivable en 2, se debe cumplir que: 4𝑏+a=1
2 …(***)
Resolviendo el sistema formado por (*), (**) y (***) se obtiene:
𝒂=−𝟑
𝟐 , 𝒃 =𝟏
𝟐 , 𝒄 =−𝟐
Respuesta: 𝐚+𝒃𝒄=−𝟓
𝟐
3. La altura por arriba del suelo a que se suelta una pelota a una altura inicial de 122,5 𝑚 está dada
por 𝑠(𝑡)= −4,9 𝑡2+122,5, donde 𝑠 se mide en metros y 𝑡 en segundos.
a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝑡=1
2 ? 2 pts.
b) ¿En qué instante la pelota golpea el suelo? 1 pto.
c) ¿Cuál es la velocidad de impacto? 1 pto.
Resolución:
a) Velocidad instantánea: 𝑠′(𝑡)= −9,8 𝑡
Cuando 𝑡=1
2 la velocidad instantánea es: 𝑠′(1
2 ) =−4,9 𝑚/𝑠
b) Instante la pelota golpea el suelo: 𝑠(𝑡0)= 0 → 𝑡02=122,5
4,9 → 𝑡0=√122,5
4,9
𝑡0= 5 𝑠
c) Velocidad de impacto: velocidad con que la pelota choca en el suelo:
𝑠′(5)= −9,8𝑥 5=−49 𝑚/𝑠
