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PRÁCTICA No. 2 “PROPIEDADES Y OPERACIONES CON FUNCIONES” COMPETENCIA Realiza operaciones con funciones y determina sus propiedades a partir de análisis matemático y gráfico empleando GeoGebra. MARCO TEÓRICO FUNCIÓN. Sean y dos conjuntos, y una regla de correspondencia que asigna a cada un único elemento del conjunto , se dice que es una función que va del conjunto al , y se representa de la forma: , donde al conjunto se le llama dominio y al conjunto contradominio o codominio. En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles para mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para. El rango es el conjunto de valores del contradominio para los cuales , siendo la imagen de , ver figura 1. Figura 1. Una representación gráfica del dominio y contradominio de una función. FUNCIÓN PAR****. Una función es par si para todo. La gráfica de una función par presenta siempre como eje de simetría al eje. Geométricamente una gráfica es simétrica respecto al eje , si la porción de la curva situada a la izquierda del eje es la imagen especular de la curva situada a la derecha de dicho eje. Un ejemplo de esta simetría se ilustra en la figura 2, en donde se observa que el punto es un punto en la gráfica a la derecha del eje y entonces necesariamente también está en la gráfica, pero a la izquierda del eje de las ordenadas.
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Figura 2. Representación gráfica de una función par. A manera de resumen podemos escribir, que el criterio para que una función sea par es EJEMPLO Determinar si la función es una función par o no lo es. Solución. Si aplicamos la definición de forma numérica, evaluando la función en y se tiene que Observar la simetría de los puntos con el eje y. Si ahora realizamos la comprobación algebraica, para hacer la validación en todos los puntos se tiene Por lo tanto, se verifica la igualdad , con lo cual podemos concluir que la función es par. En la figura 3 se muestra la gráfica de la función , en la cual es posible ver cómo una parte de ésta se encuentra en la región derecha del eje y la región a la izquierda del eje pareciera simplemente estar “reflejada”. es PAR
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EJEMPLO.
Determina si la función es una función impar o no lo es. Solución. Si aplicamos la definición de forma numérica, evaluando la función en y se tiene que Observar la doble simetría de los puntos con respecto al origen. Si ahora realizamos la comprobación algebraica, para hacer la validación en todos los puntos se tiene Por lo tanto, se verifica la igualdad , con lo cual podemos concluir que la función es impar. En la figura 5 se muestra la gráfica de la función , en la cual es posible ver cómo una parte de ésta se encuentra en la región derecha del eje y la región a la izquierda del eje pareciera simplemente estar “doblemente reflejada”, primero sobre el eje y, luego sobre el eje x. Figura 5. Gráfica de la función impar. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PARES E IMPARES.
- La única función que es tanto par e impar es la función cero para todo.
- La suma de una función par y una función impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las funciones sea el cero.
- La suma de dos funciones pares es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par.
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- La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar. ANALISIS DE PARIDAD DE FUNCIONES. ● El producto o cociente de dos funciones pares, resulta en otra función par. y si se tiene que: ● El producto o cociente de dos funciones impares, resulta en una función par. y si se tiene que: ● El producto o cociente entre una función par y una impar, da una función impar. y si se tiene que: CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y MONOTONÍA. FUNCIÓN CRECIENTE. Una función se dice que es creciente si a medida que los valores de aumentan, los valores de también aumentan. En otras palabras, una función es creciente en un intervalo , si para cualquier par de valores , , donde se tiene que , tal como se muestra en la figura 6.
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RESTA
Sean y dos funciones donde y denotan los dominios de y respectivamente, la función está definida por:. El dominio de es. MULTIPLICACIÓN Sean y dos funciones donde y denotan los dominios de y respectivamente, la función está definida por:. El dominio de es. DIVISIÓN Sean y dos funciones donde y denotan los dominios de y respectivamente, la función está definida por:. El dominio de es , excluyendo los valores de para los cuales COMPOSICIÓN Si es una función de en y es una función de a , entonces la función compuesta es la función de a dada por para cada en , el dominio de es tal como se muestra en la figura 8. Figura 8. Diagrama de flujo de la función compuesta.
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REPORTE NOMBRE DE LA PRÁCTICA: PRÁCTICA No. 2 Propiedades y operaciones con funciones DATOS GENERALES: NOMBRE: GRUPO/ESPECIALIDAD: INGENIERIA BIOQUIMICA FECHA DE ENTREGA: 4 de octubre de 2023 PERIODO: CALIFICACIÓN: LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA NOTA: Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes características: Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso de que los ejercicios resulten fotocopiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros serán anulados). Cumple No Cumple ASPECTOS POR EVALUAR PUNTUACIÓN MÁXIMA PUNTUACIÓN OBTENIDA
OBSERVACIONES
Entrega el reporte en tiempo y forma. (^) 10 Cumple con las indicaciones respecto al orden, limpieza (sin manchas o tachaduras) y letra legible para el reporte. 10 Identifica y aplica los conceptos revisados en clase para dar respuesta a los ejercicios propuestos, utilizando la simbología matemática correcta y el uso apropiado del software. Cada gráfico está etiquetado con el nombre del alumno. 40 Resuelve los problemas planteados de forma correcta y contesta las preguntas de estos según su contexto. 40 TOTAL^100
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c) Con el programa GeoGebra grafica la función , gráfica el dominio de la función , (el que obtuviste en el inciso a y b). Pegar los gráficos en la parte de abajo. d) Ahora realiza la operación y encuentra su dominio.
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e) A la función compuesta aplícale el criterio de simetría y determina si la función compuesta es par, impar o ninguna de las dos. f) Con el programa GeoGebra grafica la función compuesta y determina el intervalo donde la función crece y decrece. Pega la gráfica de la función en la parte de abajo.
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Si y : a) Determina el y el evidenciando solución analítica y escribir por notación de extensión b) Realiza la operación , y determina su dominio evidenciando solución analítica y escribir por notación de extensión c) Aplica el criterio de simetría y determina si la función es una función par, impar o ninguna de las dos. d) Ahora realiza la operación y encuentra su dominio evidenciando solución analítica y
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escribir por notación de extensión e) A la función aplícale el criterio de simetría y determina si la función compuesta es par, impar o ninguna de las dos. f) Con el programa GeoGebra grafica la función con el respectivo dominio de cada una de las funciones e identifica cada una de las funciones poniéndoles colores diferentes haciendo una captura para cada una. Pegar los gráficos en la parte de abajo.
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a) Exprese la distancia entre el aeroplano y la estación de radar como una función de. (Hacer uso del teorema de Pitágoras) a) Aplique el criterio de simetría a la función obtenida en el inciso a, y determine si la función es par, impar o ninguna de las dos. b) Exprese la distancia horizontal (en millas) que ha volado el aeroplano como una función de t (en horas). Usar la formula de velocidad=distancia/tiempo c) Utilice la composición de funciones para expresar en función de.
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d) ¿Qué significado tiene la función compuesta según el contexto del problema? LA DISTANCIA QUE RECORRE EL AVION EN FUNCION CON EL TIEMPO TRASCURRIDO e) ¿Cuál será la distancia que ha volado el aeroplano como t es igual a 10 h? Obtén tu resultado analíticamente y con el programa GeoGebra verifícalo gráficamente, pega la gráfica obtenida en la parte de abajo.
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c) Analiza la gráfica de la función obtenida y contesta lo siguiente: i. Variable independiente: _________t__________________ ii. Variable dependiente: __C(p)=0.4+1 P(t)=8+0.2t² iii. Dominio de la función: ___________R__________________ iv. Rango de la función: _______
t −3.
________________________
v. Intervalo donde la función crece: _______[ 0 , ∞ )_____________ vi. Intervalo donde la función decrece: __________(− ∞,^^0 ]________ vii. Tipo de simetría que presenta la función: _____Simetrica en el eje ‘’y’’_par______________ d) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años? Obtén tu resultado analíticamente y con el programa GeoGebra verifícalo gráficamente, pega la gráfica obtenida en la parte de abajo.
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e) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono los 6.2 ppm?. Obtén tu resultado analíticamente y con el programa GeoGebra verifícalo gráficamente. Pega la gráfica obtenida en la parte de abajo.
