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Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas Curso de Nivelación Septiembre 2024 Materia: Matemáticas Fecha: 06/12/ Áreas: Ingeniería y Educación Comercial Franja: 2 Versión: 0 Horario: 11:10 a 11: Capítulo(s): 7. Geometría plana 8. Geometría del Espacio SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE SALIDA 5
TEMAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
- (2 puntos) En el gráfico adjunto se conoce que BC = 2 u. Entonces, la longitud del segmento AD
es igual a:
a)
2 u
b) 3
2 u
c)
3 u
d) 2
3 u
e)
6 u
Solución: Por ángulos suplementarios, m(∠ACB) = 120 ◦ , por lo tanto, m(∠BAC) = 30 ◦ . Puesto que el triángulo BAC es isósceles, entonces AC = 2. Se aplica la Ley del Seno en el triángulo ACD:
AD
sen(60◦)
AC
sen(45◦)
AD =
AD =
6 u
La respuesta correcta literal e)
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- (2 puntos) Se tiene una pirámide recta regular cuya base hexagonal está inscrita en una circun-
ferencia de radio 5 centímetros. Si la altura de la pirámide es igual al doble de la arista de la base,
entonces el volumen de la pirámide en centímetros cúbicos, es igual a:
a) 125
b) 375
c) 50
d) 25
e) 75
Solución: Puesto que la base de la pirámide es un hexágono regular, el radio es igual al lado del hexágono, es decir, la arista de la base es igual a 5 centímetros, y la altura de la pirámide es igual a 10 centímetros.
Se calcula el área de la base de la pirámide: Abase = 6
3 L
2
2
cm 2
Finalmente, se obtiene lo solicitado: Vpiramide´ = (1/3)·Abase ·h = (1/3)·
3 cm 3
Respuesta correcta literal a)
- (3 puntos) El volumen de un cono de revolución es V donde su altura se divide en dos partes
congruentes y por el punto de división se traza un plano paralelo a la base. Calcule volumen del cono
truncando comprendido entre el plano trazado y la base del cono.
Solución: Tal como se observa en la figura, se tienen 2 triángulos semejantes con constante de proporcionalidad 2.
Volumen del cono: Vcono =(1/3)π(2r) 2 (2h) = (8/3)πr 2 h = V
Volumen del cono truncado: Vconotruncado =(1/3)πh[(2r) 2
- (2r)r + r 2 ] = (7/3)πr 2 h = (7/8) · V
BONO
- (2 puntos) Considerando las restricciones del caso, simplifique la siguiente expresión algebraica:
x − 1
x + 1
x + 1
x − 1 x^2 − 1
x^2 + 1
x^2 + 1
x^2 − 1
÷
x +
x
Solución: (^)
(x − 1) 2 − (x + 1) 2
x^2 − 1 (x 2 − 1) 2 − (x 2
2
(x^2 − 1)(x^2 + 1)
÷
x 2
x
[(x − 1) − (x + 1)] · [(x − 1) + (x + 1)]
1 [(x^2 − 1) − (x^2 + 1)][(x^2 − 1) + (x^2 + 1)]
(x^2 + 1)
x
x^2 + 1
(−2)(2x)
1 (−2)(2x^2 )
(x^2 + 1)
x
x^2 + 1
(−2)(2x)
1
x^2 + 1
(−2)(2x^2 )
x
x^2 + 1
