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Matem´aticas Superiores
Unidad I: Variable Compleja
Singularidades aisladas
Wilfredo ANGULO
1 Singularidades aisladas
Si una funci´on de variable compleja deja de ser anal´ıtica en un punto z 0 ∈ C, entonces se dice que este punto es una singularidad o punto singular de la funci´on.
Ejemplo 1 (Explicado en clase). Para la funci´on f (z) =
z (z − 1)(z + 1)
los complejos z 0 =
1 y z 1 = − 1 son sus ´unicas singularidades. Mientras que para la funci´on g(z) = Ln(z), sus puntos de singularidad son toda la parte no positiva del eje real.
Definici´on 1 (Singularidad aislada). Se dice que z 0 ∈ C es un punto singular aislado de una funci´on f (z), si z 0 es un punto singular de f (z) y, adem´as, existe una vecindad de z 0 en donde f (z) es anal´ıtica. La vecindad, si existe, es el disco perforado 0 < |z − z 0 | < r 0 con r 0 el radio.
Ejemplo 2 (Explicado en clase). Para la funci´on f (z) =
z (z − 1)(z + 1)
los complejos
z 0 = 1 y z 1 = − 1 son singularidades aisladas; pero para la funci´on g(z) = Ln(z) ninguna de sus singularidades es aislada.
La singularidades aisladas se pueden clasificar mediante la serie de Laurent que represente a una funci´on en torno a sus puntos singulares. Para esto se requiere la siguiente definici´on.
Definici´on 2 (Parte principal de f (z) en un punto singular aislado). Se denomina parte parte principal de f (z) en un punto singular aislado z 0 , a la parte del desarrollo de Laurent que posee las potencias negativas de (z − z 0 ) en el anillo (disco perforado) 0 < |z − z 0 | < r 0.
Ejemplo 3 (Explicado en clase). Determine la parte principal de f (z) =
z(z − 1)
en
cada uno de sus puntos singulares.
Demostraci´on. Como se puede observar, los puntos singulares de f (z) son z 1 = 0 y z 2 = 1. Como, por descomposici´on en fracciones simples, f (z) se expresa de la manera siguiente
f (z) =
z(z − 1)
z
(z − 1)
entonces construimos sus respectivas series de Laurent centrados en z 1 y z 2 teniendo en cuenta cada sumando.
2 Wilfredo ANGULO
a) Parte principal de f (z) en z 1 = 0: en este caso un desarrollo de Lauretn ser´a valido para el anillo 0 < |z − z 1 | < r 0 con z 1 = 0 y r 0 = 1; es decir el disco abierto y perforado
0 < |z| < 1.
En efecto el desarrollo de Laurent viene dado por:
f (z) =
z(z − 1)
z
z − 1
(1 − z)
z
∑^ ∞
n=
(−1)zn^ + (−1)z−^1 , 0 < |z| < 1.
Por lo tanto, la parte principal de f (z) en el punto singular z 1 = 0 es:
(−1)z−^1.
b) Parte principal de f (z) en z 2 = 1: en este caso un desarrollo de Lauretn ser´a valido para el anillo 0 < |z − z 2 | < r 0 con z 2 = 1 y r 0 = 1; es decir el disco abierto y perforado
0 < |z − 1 | < 1.
En efecto el desarrollo de Laurent viene dado por:
f (z) =
z(z − 1)
z
(z − 1)
= −
z + 1 − 1
= −
1 + (z − 1)
∑^ ∞
n=
(−1)n+1(z − 1)n | {z } |z− 1 |< 1
- ( |z −{z 1) −^1 } |z− 1 |> 0
As´ı, el desarrollo de Laurent de f (z) centrado en z 2 = 1 v´alido en 0 < |z − 1 | < 1, est´a dado por:
f (z) =
∑^ ∞
n=
(−1)n+1(z − 1)n^ + (z − 1)−^1 , 0 < |z − 1 | < 1.
Por lo tanto, la parte principal de f (z) en el punto singular z 2 = 1 es:
(z − 1)−^1.
4 Wilfredo ANGULO
1.1.2 Polos de una funci´on f (z) =
p(z) q(z)
Dada una funci´on f (z) que se pueda expresar de la forma
p(z) q(z)
, el siguiente resultado permite
identificar si un punto es un polo para dicha funci´on y adem´as su orden.
Teorema 5. Sea z 0 ∈ C. Sea f (z) una funci´on tal que se pueda escribir como
f (z) =
p(z) q(z)
donde p(z) y q(z) son anal´ıticas en z 0 y p(z 0 ) ̸= 0. Entonces, z 0 es un polo de orden m de f (z) si, y s´olo si q(z 0 ) = q′(z 0 ) = · · · = q(m−1)(z 0 ) = 0
y q(m)(z 0 ) ̸= 0.
Ejemplo 5 (Explicado en clase). Verificar que todos los puntos singulares aislados de la funci´on
f (z) =
ez sen(z)
son polos simples.
Definici´on 6 (Punto singular esencial). Sea z 0 un punto singular aislado de f (z). Se dice que z 0 es un punto singular esencial de f (z), si la parte principal de f (z) en z 0 tiene un n´umero INFINITO de t´erminos diferentes de cero.
De esta definici´on, se deduce que z 0 es un punto singular esencial de f (z) si, y s´olo si
zl´→ımz 0
f (z)
NO EXISTE NI FINITO NI INFINITO.
Ejemplo 6 (Explicado en clase). Verificar que z 0 = 0 es un punto singular esencial de la funci´on f (z) = e^1 /z^.
Definici´on 7 (Punto singular removible). Sea z 0 un punto singular aislado de f (z). Se dice que z 0 es un punto singular removible de f (z), si todos los coeficientes de la parte principal de f (z) en z 0 son cero.
Matem´aticas Superiores 5
De esta definici´on, se deduce que z 0 es un punto singular removible de f (z) si, y s´olo si
l´ım z→z 0
f (z) = a 0 ,
donde a 0 es el t´ermino independiente en el desarrollo de Laurent de f (z)
f (z) =
∑^ ∞
n=
an(z − z 0 )n
centrado en z 0 y v´alido en el anillo 0 < |z − z 0 | < r 0.
Ejemplo 7 (Explicado en clase). Verificar que z 0 = 0 es un punto singular removible de la funci´on
f (z) =
sen(z) z
