Aplicaciones Informáticas: Geogebra y Hoja de Cálculo para la Enseñanza de las Matemáticas, Ejercicios de Cálculo

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Autora: María Molero

Ilustraciones de la autora

APLICACIONES

INFORMÁTICAS:

Geogebra y hoja de cálculo

Aplicaciones informáticas: GEOGEBRA Autora: María Molero

Índice

1. PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA 1.1. LA VENTANA DE GEOGEBRA 1.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 1.3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1.4. ÁNGULOS 2. GEOGEBRA PARA 1º Y 2º DE ESO 2.1. POLÍGONOS 2.2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO‐ 2.3. SEMEJANZA 2.4. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 3. GEOGEBRA PARA 3º Y 4º DE ESO 3.1. MOVIMIENTOS EN EL PLANO 3.2. GRÁFICAS DE FUNCIONES CON GEOGEBRA 3.3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS 3.4. LA PROPORCIÓN ÁUREA 3.5. APLICACIÓN INFORMÁTICA PARA COMPRENDER LA SEMEJANZA 4. GEOGEBRA PARA BACHILLERATO 4.1. LAS CÓNICAS 4.2. OTROS LUGARES GEOMÉTRICOS. CICLOIDES, EPICICLOIDES E HIPOCICLOIDES 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5. PRIMEROS PASOS CON LA HOJA DE CÁLCULO 5.1. LA VENTANA DE UNA HOJA DE CÁLCULO 5.2. OPERACIONES GENERALES 5.3. CÁLCULO DE LA LETRA DEL NIF 6. HOJA DE CÁLCULO PARA 1º Y 2º DE ESO 6.1. NÚMERO PERFECTO 6.2. NÚMEROS AMIGOS 6.3. CONSTRUCCIÓN DE NÚMEROS PERFECTOS. NÚMEROS PRIMOS 6.4. EL ORDENADOR Y LA ESTADÍSTICA EN 1º DE ESO 6.5. EL ORDENADOR Y LA ESTADÍSTICA EN 2º ESO 7. HOJA DE CÁLCULO PARA 3º Y 4º DE ESO 7.1. ALGORITMO DE EUCLIDES 7.2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES. LÍMITE DE SUCESIONES 7.3. INTERÉS COMPUESTO 7.4. SISTEMAS LINEALES 7.5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 7.6. ESTADÍSTICA. PARÁMETROS 8. HOJA DE CÁLCULO PARA BACHILLERATO 8.1. EL NÚMERO e COMO LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 8.2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES. MÉTODO DE MONTECARLO 8.3. LA CATENARIA

Aplicaciones informáticas: GEOGEBRA Autora: María Molero

1. PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA

Esta actividad está orientada al aprendizaje de las reglas básicas para manejar el programa Geogebra. Se describen los elementos básicos del programa que se utilizan para realizar construcciones sencillas y estudiar relaciones entre ángulos.

1.1. La ventana de Geogebra

Al ejecutar el programa Geogebra la ventana que aparece tiene muchos componentes comunes con cualquier ventana de Windows.

El elemento más característico de este programa es la barra de herramientas en la que aparecen iconos. Cada uno de ellos se activa al hacer clic con el ratón sobre él y se desactiva cuando se selecciona otro. Estos primeros iconos que aparecen se corresponden con la primera opción que encontramos en el menú desplegable que se obtiene al mantener pulsado el ratón sobre cada uno de ellos.

Otra particularidad es que el área de trabajo está dividida en dos partes la ventana geométrica , donde se realizan las construcciones geométricas, y la ventana algebraica en la que aparecen características de los elementos que se construyen en la ventana geométrica como son las coordenadas de los puntos, las longitudes de los segmentos, el área de los polígonos, las ecuaciones de rectas, circunferencias, ….

También se pueden realizar operaciones introduciendo los números o el nombre de los elementos en el Campo de Entrada que se encuentra en la parte inferior de la ventana, los resultados aparecen en la ventana algebraica. Con las opciones de Visualiza de la barra de menús se puede ocultar o mostrar, la

ventana algebraica, el campo de entrada así como los ejes y la cuadrícula de la ventana geométrica.

Los iconos Deshace y Rehace que se encuentran en la parte superior derecha de la ventana geométrica y como opciones del menú Edita permiten eliminar o volver a mostrar una acción realizada.

El menú contextual , el que se obtiene al hacer clic con el botón derecho del ratón sobre el objeto de la ventana geométrica o de la algebraica, tiene múltiples posibilidades, permite entre otras funciones borrar, ocultar, cambiar el nombre y modificar la apariencia de los objetos construidos.

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1.2. Elementos geométricos

Actividades resueltas

Antes de comenzar comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y desactiva ejes y cuadrícula.

 Con la herramienta Nuevo punto dibuja un punto en la ventana geométrica, el sistema lo denomina A y sus coordenadas aparecen en la ventana algebraica, en la carpeta de los objetos libres.

 Dibuja otro punto B y con la herramienta Segmento entre dos puntos traza el segmento, a , que pasa por los puntos A y B. En la ventana algebraica aparece la longitud del segmento en la carpeta de objetos dependientes.

 Con la herramienta Desplaza , la primera de la barra de herramientas, agarra el punto B y cambia su posición, observa de qué forma cambian sus coordenadas y la longitud del segmento.  Dibuja otro punto C, que no pertenezca al segmento, y con la herramienta Recta que pasa por 2 puntos traza la recta, b , que pasa por A y C.

 Activa la herramienta Ángulo y señala con el ratón los puntos B , A y C , obtienes la medida del ángulo que has señalado. El orden para señalar los puntos B y C debe ser el contrario al de las agujas del reloj.

1.3. Rectas paralelas y perpendiculares

Actividades resueltas

Con la herramienta Recta paralela traza una recta, c , que pasa por el punto B y es paralela a la recta b que pasa por los puntos A y C.

 Utiliza la herramienta Recta perpendicular para trazar una recta, d , que pasa por el punto B y es perpendicular a la recta b.

 Calcula la medida del ángulo que forman las rectas b y d.

 Con la herramienta Desplaza , mueve los puntos A, B y C y observa que cambian de posición pero se mantienen las propiedades geométricas de la construcción, por ejemplo, las rectas b y c permanecen paralelas entre sí y perpendiculares a la recta d.

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2. GEOGEBRA PARA 1º Y 2º DE ESO

2.1. Polígonos

En esta actividad se construyen cuadriláteros y triángulos, fijado el valor de su área, con el programa Geogebra. Para realizar estas construcciones es necesario conocer las clasificaciones de estos polígonos y las fórmulas para calcular sus áreas.

Paralelogramos

Actividades resueltas

Construye un cuadrado de área 4 u 2.

Antes de comenzar comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos.

Se trata de construir paralelogramos de área dada, por ejemplo 4 u^2. Empieza dibujando un cuadrado de lado 2 u.

 Con la herramienta Nuevo punto determina dos puntos en la ventana geométrica en puntos de la cuadrícula que sean vértices consecutivos del cuadrado de lado 2 u.

 Utiliza Polígono regular , señalando los puntos anteriores, para dibujar un cuadrado. Comprueba en la ventana algebraica que el polígono dibujado tiene de área 4 u^2.

Construye un romboide de área 4 u 2.

 Determina cuatro puntos para dibujar con Polígono un paralelogramo de base 2 u y altura 2 u. Comprueba que el valor del área del polígono es 4 u 2 y comprueba que el paralelogramo que has dibujado no es un rombo sino un romboide, midiendo el ángulo que forman sus diagonales:

 Traza las diagonales con Segmento entre dos puntos.  Determina su punto de intersección  Calcula el ángulo que forman. Construye un rectángulo de área 4 u 2.

 Utiliza la herramienta polígono para construir un rectángulo de área 4 u 2.

Construye un rombo de área 4 u 2.

 Para construir un rombo de área 4 u^2 , dibuja primero sus diagonales perpendiculares con la condición de que el producto de sus medidas sea 8 u, por ejemplo, una puede medir 2 u y otra 4 u.

 Dibuja con polígono el rombo y comprueba en la ventana algebraica el valor de su área.

Actividades propuestas

6. Construye un cuadrado, un rectángulo, un romboide y un rombo de área 9 u^2.

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Trapecios

Actividades resueltas

Construye tres trapecios, uno rectángulo, otro isósceles y otro escaleno de área 6 u 2.

Abre una nueva ventana de Geogebra y comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos.

 Las bases de todos los trapecios las vamos a tomar de 2 u y de 4 u, y la altura de 2 u. Por tanto todas las áreas miden 6 u 2.

 Observa la figura.

 Para dibujar el trapecio escaleno utiliza la herramienta Segmento dados su longitud y punto extremo inicial

 Comprueba en la ventana algebraica que el valor del área de los tres trapecios que has dibujado es 6 u 2.

Triángulos

Abre una nueva ventana de Geogebra y comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos.

Actividades resueltas

Dibuja tres triángulos, uno rectángulo, otro acutángulo y el tercero obtusángulo, de área 3 u 2.

Elige, por ejemplo, 2 u para la base y 3 u para la altura.

 Determina primero los vértices con la herramienta Nuevo punto y después dibuja los triángulos con la herramienta Polígono.

 Utiliza la herramienta Ángulo para medir los ángulos necesarios para comprobar que el primero es rectángulo, el segundo acutángulo y el tercero obtusángulo.

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2.2. La circunferencia y el círculo‐

En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para estudiar la relación entre los ángulos centrales e inscritos en una circunferencia con el mismo arco. Se profundiza en el concepto de longitud de la circunferencia y área del círculo calculando la razón entre la medida de la longitud de la circunferencia y la del radio así como la razón entre la medida del área del círculo y la del cuadrado del radio. También se trazan polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

Ángulos centrales y ángulos inscritos

Actividades resueltas

Comprueba la relación entre un ángulo inscrito en la circunferencia y el central que abarca el mismo arco.

 En el menú Visualiza desactiva los ejes y la cuadrícula y para que sólo aparezcan los nombres de los puntos, en la opción Rotulado del menú Opciones activa Nuevos puntos exclusivamente.

 Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O. Traza, con Circunferencia por centro y punto que cruza, la que tiene centro en O y pasa por A.

 Determina dos nuevos puntos B y C de dicha circunferencia y traza los segmentos AB , BC , AO y OC.

 Utiliza Ángulo para calcular las medidas los ángulos ABC y AOC. Estos ángulos aparecen en la ventana algebraica como α y β.

 Calcula en la línea de Entrada el cociente β / α, que aparece en la ventana algebraica como f = 2.

 Desplaza el punto B por la circunferencia. Observa que no cambia la medida de los ángulos.

 Desplaza el punto A. Observa que pueden cambiar las medidas de los ángulos pero la razón entre ellas se mantiene constante.

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Longitud de la circunferencia y área del círculo.

Actividades resueltas

Comprueba la relación entre la longitud de la circunferencia y su radio.

Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula

 Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O y dibuja la circunferencia , c, con centro en O que pasa por A y el segmento OA.

 Utiliza la herramienta Distancia para medir la longitud de la circunferencia, PeriCónica ; y el segmento OA , que es su radio y se denomina a.

 Calcula en la línea de Entrada el cociente PeriCónica[c]/a , que aparece en la ventana algebraica como b = 6,28.

 Elige en el menú Opciones , 5 Posiciones decimales. El cociente b aparece como b = 6,28319, una aproximación del número 2π.

 Desplaza el punto A. y observa que aunque cambian las medidas de la longitud de la circunferencia y del radio el cociente b permanece constante. Comprueba la relación entre el área del círculo y su radio.

 Activa la herramienta Área para calcular la medida de la superficie del círculo.

 Calcula en la línea de Entrada el cociente Area[c]/a^2 , que aparece en la ventana algebraica como d = 3,14159, una aproximación del número π.

 Desplaza el punto A. y observa que aunque cambian las medidas del área del círculo y del radio el cociente d permanece constante.

Cuadrado inscrito en una circunferencia

Actividades resueltas

Dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia.

Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula y para que sólo aparezcan los nombres de los puntos, en la opción Rotulado del menú Opciones activa Nuevos puntos exclusivamente.

 Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O y dibuja la circunferencia , con centro en O que pasa por A y el segmento OA.

 Traza la recta perpendicular al segmento OA que pasa por el punto O y define como B un punto de intersección de esta recta con la circunferencia.

 Activa polígono regular para dibujar el cuadrado que pasa por los

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2.3. Semejanza

Polígonos semejantes

En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para dibujar polígonos semejantes, estudiar las propiedades que los caracterizan y calcular la razón entre sus áreas en función de la razón de semejanza.

Cuadriláteros:

Actividades resueltas

Comprueba que todos los cuadrados son semejantes.

 Abre el programa Geogebra y en Visualiza activa Ejes y la Cuadrícula para que sea más fácil definir puntos.

 Con la herramienta Nuevo Punto define los puntos A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) y D (1, 2).

 Utiliza Polígono para dibujar el cuadrado ABCD.

 Define un Nuevo Punto de coordenadas (2, 1), el programa lo llama E, con el botón derecho del ratón y la opción Renombra , llámalo O.

 Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor , para dilatar el polígono ABCD desde el punto O, con factor 2. Se obtiene el cuadrado A’B’C’D’ , de lado 2 unidades.

Dos cuadrados son siempre semejantes, observa en la Ventana algebraica las longitudes de sus lados y los valores de sus áreas. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Cuál es la razón entre las áreas?

 Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor , para dilatar el polígono ABCD desde el punto O, con factor 3. Se obtiene el cuadrado A 1 ’B 1 ’C 1 ’D 1 ’ , de lado 3 unidades.

14. Compara en la Ventana algebraica la longitud del lado del cuadrado ABCD con la del cuadrado A 1 ’B 1 ’C 1 ’D 1 ’ , ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Cuál es la razón entre las áreas? 15. Calcula también la razón de semejanza entre el cuadrado A’B’C’D’ y A 1 ’B 1 ’C 1 ’D 1 ’ , y la razón entre sus áreas.

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Analiza la semejanza en otros cuadriláteros.

 Desplaza con el puntero el punto C , de modo que el cuadrado ABCD tome distintas formas de cuadrilátero.

16. Justifica que los cuadriláteros A’B’C’D ’ y A 1 ’B 1 ’C 1 ’D 1 ’ , son semejantes a ABCD. 17. Calcula la razón de semejanza entre dos de ellos y la razón entre sus áreas. 18. Busca una relación entre la razón de semejanza y la razón entre las áreas de dos cuadriláteros semejantes.

Actividades resueltas

Triángulos:

Analiza la semejanza entre triángulos.

 Abre una nueva ventana de Geogebra , comprueba que aparecen los Ejes y la Cuadrícula.

 Con la herramienta Nuevo Punto define los puntos A (1, 2), B (2, 1) y C (4, 2).

 Utiliza Polígono para dibujar el triángulo ABC.

 Define un Nuevo Punto de coordenadas (1, 1), el programa lo llama D. Con el botón derecho del ratón y la opción Renombra , llámalo O.

 Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor , para dilatar el polígono ABC desde el punto O, con factor 2. Se obtiene el triángulo A’B’C’.

 Con la herramienta Refleja objeto en recta , dibuja el simétrico del triángulo A’B’C’ con respecto al segmento a del triángulo ABC. Se obtiene el triángulo A’’B’’C’ ’.

 Selecciona el polígono A’B’C’ en la Ventana algebraica o en el área de trabajo, y con el botón derecho del ratón desactiva la opción Expone objeto , el triángulo A’B’C’ queda oculto. Observa que puedes volver a visualizar activando esta opción. Oculta de la misma forma los puntos A’, B’ y C’.

 Para que las medidas aparezcan con 5 decimales, activa Posiciones decimales en el menú Opciones y elige 5.

19. ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y A’’B’’C’ ’? Observa en la Ventana algebraica las longitudes de sus lados y los valores de sus áreas. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Cuál es la razón entre las áreas?

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2.4. Puntos y rectas notables en un triángulo

Puntos de un triángulo

En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para determinar el circuncentro , el incentro y el baricentro de un triángulo, estudiar sus propiedades y dibujar la recta de Euler.

Una vez abierto el programa en la opción del menú Visualiza , oculta Ejes y activa Cuadrícula.

Actividades resueltas

Circuncentro:

Dibuja las tres mediatrices de un triángulo y determina su circuncentro.

 Define tres puntos A , D y E , observa que el programa los define como A, B y C , utiliza el botón derecho del ratón y la opción Renombra para cambiar el nombre.

 Con la herramienta Polígono activada dibuja el triángulo que tiene por vértices estos puntos. Observa que cada lado tiene la misma letra que el ángulo opuesto con minúscula.

 Con la herramienta Mediatriz dibuja las mediatrices de dos lados, los segmentos a y d.

 Determina con Intersección de dos objetos el punto común de estas rectas y con Renombra llámalo C. Dicho punto es el circuncentro del triángulo.

 Dibuja la Mediatriz del segmento e y observa que pasa por el punto C.

 Activa circunferencia por centro y punto que cruza para dibujar la circunferencia circunscrita al triángulo.

 Utiliza el Puntero para desplazar los vértices A , D o E y comprobar que la circunferencia permanece circunscrita al triángulo.

Ortocentro:

Dibuja las tres alturas de un triángulo y determina su ortocentro.

 En el mismo triángulo cambia el color de las mediatrices y la circunferencia situándote con el ratón sobre el trazo o sobre su ecuación y con el botón derecho elige en Propiedades, Color un azul muy próximo al blanco.

 Dibuja dos alturas con la herramienta Recta Perpendicular. Observa que el programa te pide que el punto por el que vas a trazarla y la recta o el segmento respecto al que es perpendicular.

 Determina con Intersección de dos objetos el ortocentro como el punto de corte de las dos alturas y con Renombra

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denomínalo O.

 Dibuja la tercera altura y comprueba que pasa por el ortocentro , desplazando con el Puntero los vértices del triángulo.

Incentro:

Dibuja las tres bisectrices de un triángulo y determina su incentro.

 Cambia el color de las alturas como en la construcción anterior, ahora con color rosa pálido.

 Con la herramienta Bisectriz dibuja dos bisectrices. Observa que para determinar la bisectriz de un ángulo es suficiente señalar tres puntos que pueden ser los vértices del triángulo en el orden adecuado.

 Determina el incentro con Intersección de dos objetos como el punto de corte de las dos bisectrices y con Renombra denomínalo I.

 Dibuja la tercera bisectriz y comprueba que pasa por el incentro , desplazando con el Puntero los vértices del triángulo.  Traza desde el punto I una Recta perpendicular a uno de los lados y con Intersección de dos objetos calcula el punto de corte entre esta recta y el lado del triángulo y con Renombra llámalo M.  Activa Circunferencia por centro y punto que cruza para dibujar con centro en I y radio el segmento IM la circunferencia inscrita al triángulo.

 Desplaza con el puntero los vértices del triángulo para comprobar que la circunferencia permanece inscrita al triángulo.

Baricentro:

Dibuja las tres medianas de un triángulo y determina su baricentro.

 Cambia el color de las bisectrices, del punto M y de la circunferencia inscrita, con gris muy pálido, como en las construcciones anteriores.  Con la herramienta Punto medio o centro calcula los puntos medios de dos lados. Si el programa nombra alguno con la letra B , utiliza Renombra para llamarlo H.  Con la herramienta Segmento entre dos puntos dibuja dos medianas y con Intersección de dos objetos , su punto de corte, el baricentro , que llamarás B.

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3. GEOGEBRA PARA 3º Y 4º DE ESO

3.1. Movimientos en el plano

En esta actividad se va a utilizar el programa Geogebra para estudiar los movimientos en el plano, también llamados isometrías, como son las traslaciones, los giros o las simetrías, que son transformaciones en el plano que mantienen las distancias y los ángulos y por lo tanto las áreas de las figuras

Actividades resueltas

Traslación

Utiliza Geogebra para estudiar vectores y traslaciones.

 En un archivo de Geogebra Visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica.

 Con la herramienta Nuevo Punto define el origen de coordenadas como A y el punto de coordenadas (6, 2) como B. y con la herramienta Vector entre dos puntos determina el vector u de origen A y extremo B que tendrá coordenadas (6, 2).

 Define con Nuevo Punto C (4, 1), D (1, 2) y E (3, 3) y con Polígono dibuja el triángulo que tiene por vértices estos puntos.  Observa que los puntos que has dibujado aparecen en la ventana algebraica como objetos libres y el triángulo como objeto dependiente.

 Utiliza la herramienta Trasladar objeto acorde a vector para trasladar el triángulo CDE según el vector u , se obtiene el triángulo C’D’E’.

28. ¿Qué tipo de cuadriláteros son los polígonos ACC’B, ADD’B y AEE’B? 29. Comprueba en la ventana algebraica que:

a) Las coordenadas de los puntos C’, D’ y E’ se obtienen respectivamente al sumar a las coordenadas de los puntos C, D, y E las coordenadas del vector u. b) La longitud de cada lado del triángulo es la misma que la de su trasladado y las áreas de los triángulo CDE y C’D’E’ coinciden

 Dibuja con Recta que pasa por 2 puntos , la recta a que pasa por los puntos por C y D y comprueba, con la ecuación de la recta, que C’ y D’ están en la misma recta.

 Traslada ahora la recta a según el vector u , aparece, denominada b , la misma recta. ¿Qué propiedad tiene la recta a para que permanezca invariante mediante la traslación? Una conjetura es que la recta a es paralela al vector u.

 Para comprobar la conjetura define un Nuevo Punto F (‐1, 1) y con Recta paralela dibuja una recta f

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que pase por F y paralela al vector u.

 Traslada la recta f según el vector u y verás que aparece la recta g que coincide con ella. Dibuja otras rectas paralelas al vector u y comprueba que la traslación las deja invariantes.

 Mueve con el puntero el punto B , para que el vector u tenga distinta dirección y observa como la recta a ya no tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada, la recta b , es distinta y paralela a ella, sin embargo la recta f tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada g coincide con ella.

30. Investiga si algún punto del plano permanece invariante mediante traslaciones según diferentes vectores.

Simetría axial

Utiliza Geogebra para estudiar las propiedades de la simetría axial.

 Abre una nueva ventana de Geogebra y visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica.

 Con la herramienta Nuevo Punto define A (‐2, 0) y B (0, 1) y con Recta que pasa por 2 puntos , dibuja la recta a que pasa por A y B , que será el eje de simetría.

 Determina el punto C (1, 4) y con la herramienta Refleja objeto en recta , su simétrico con respecto a la recta a , que es el punto D (3, 0).

 Con la herramienta Distancia comprueba que la distancia del punto C a la recta a coincide con la del punto D a dicha recta.

 Dibuja con Segmento entre dos puntos el que une los puntos C y D.

 Con la herramienta Angulo calcula la medida del ángulo que forman el segmento CD y la recta a para verificar que son perpendiculares.

Las siguientes propiedades, que acabas de comprobar, caracterizan la simetría axial:

1ª: Las distancias de un punto y de su simétrico al eje de simetría coinciden.

2ª: El segmento que une un punto y su simétrico es perpendicular al eje de simetría.

 Con la herramienta Refleja objeto en recta halla el simétrico de los puntos A y B con respecto al eje a y comprueba que A y su simétrico de E coinciden lo mismo que B y F. Prueba con otros puntos de la recta a para verificar que todos los puntos del eje resultan invariantes mediante una simetría axial con respecto a este eje. Verifica, también, que el eje, la recta a , y su simétrica la recta b coinciden.

 Utiliza Recta perpendicular para trazar la recta c , perpendicular al eje a que pasa por el punto B.