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ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD EN EL FLUJO DE FLUIDOS
TOPICOS RELACIONADOS
Análisis dimensional, teorema de Pi Buckingahm, números adimensionales, propiedades de los números adimensionales, similitud geométrica, similitud cinemática, similitud dinámica, similitud total.
1. OBJETIVOS 1.1. Analizar y agrupar (grupos adimensionales) las variables que intervienen en el flujo de un fluido a través de una tubería circular. 1.2. Establecer una relación matemática de los números adimensionales obtenidos, mediante el análisis de regresión de datos experimentales del flujo de agua en una tubería circular. 1.3. Determinar la caída de presión por unidad de longitud que experimenta un fluido (aire) al fluir por una tubería circular (experimentalmente y aplicando el principio de similitud). 2. EQUIPOS Y MATERIALES - Una (1) tubería de fe galvanizado de 1 pulg. de diámetro (nominal) y 6m de longitud. - Una (1) bomba de agua de ½ HP de potencia. - Un (1) recipiente de agua (30L – 50L aproximadamente) provisto de accesorios para descarga. - Tres ( 2 ) piezometros - Un (1) cronometro - Una (1) probeta de 1000mL. - Mangueras para conexión - Fluido (agua) 3. FUNDAMENTO TEORICO 3.1. ANALISIS DIMENSIONAL .- Es una técnica poderosa que permite realizar la combinación de variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales en parámetros sin dimensiones. Se entiende por parámetro al conjunto combinado de variables y constantes dimensionales así como adimensionales. 3.2. EL METODO DE REPETICION DE VARIABLES Y EL TEOREMA PI DE BUCKINGHAM .- El método de repetición de variables es el más conocido y popularizado por Edgar Buckingham para agrupar variables en números adimensionales. El teorema Pi establece que en un problema físico en que se tengan “ n ” cantidades o variables que incluyan “ j ” dimensiones, las variables se pueden agrupar en ( n-j ) parámetros adimensionales. El método de repetición de variables no puede predecir la forma matemática exacta de la ecuación que relaciona los parámetros adimensionales de un problema o fenómeno físico. 3.3. NUMEROS ADIMENSIONALES.- Algunos de los parámetros adimensionales ( ) comunes que se establecen en la mecánica de fluidos y la transferencia de calor son los que a continuación se mencionan:
NOMBRE DEFINICION
Numero de Arquimedes
3
= s^ s −
gL
Ar
Razón de dimensiones de cuerpo (^) AR=
W
L
o
D
L
Numero de biot Bi=
k
hL
Numero de Bond s
g f v L
B
^2
0
Numero de cavitación
V^2
P P
Ca v
Factor de fricción de Darcy 2
V
f w
Numero de Eckeret C T V E p c 2 = Nuero de Euler
V^2
P
Eu
Factor de fricción de Fanning 2
V
C f w
Numero de Fourier
L^2
t
Fo =
Numero de froude
gL
V
Fr =
Numero de Grashof 2 3 2
g t L
Gr
Numero de Jakob fg p sat a
h
C T T
J
Fuente: [8.1]. Para ver la interpretación de cada uno de los números adimensionales, se sugiere remitirse a esta fuente. 3.4. LINEAMIENTOS PARA EL USO DE NUMEROS ADIMENSIONALES.- una vez agrupado las variables, se pueden hacer algunas operaciones de acuerdo a los lineamientos que se da en la fuente [8.1]. 3.5. PARÁMETROS ADIMENSIONALES EN EL FLUJO DE FLUIDOS TOTALMENTE DESARROLLADOS El esfuerzo de corte a lo largo de un tubo en la región totalmente desarrollada es constante y es función de la velocidad promedio, rugosidad promedio de la superficie interior del tubo, densidad del fluido, viscosidad del fluido y del diámetro interior del tubo.
w = f ( V ,,, , D ) (1)
Agrupándolos se tienen tres grupos adimensionales, el factor de fricción de Darcy (f), el número de Reynolds (Re) y la rugosidad relativa (
D
). El primero, en función de las dos últimas:
(Re, )
f V 2 D
w^
La relación matemática de estos tres números adimensionales, se obtiene mediante el análisis de los datos experimentales del flujo de fluido en tuberías. Existen varias relaciones empíricas que muestran tal relación (ver fuente [8.1]) De otro lado, también en el flujo de fluidos en tuberías, se observa la influencia de la velocidad promedio del fluido, densidad del fluido, viscosidad del fluido, rugosidad del tubo y la longitud del tubo, en la caída de presión en esa longitud.
P = f ( V ,,, , D , L )^ (3)
Agrupándolos se tiene:
2 (Re, , )
D D
L
V
P
Estos números adimensionales se relacionan mediante la ecuación de Darcy Weisbarch (ecuación 6) del siguiente modo:
2 (Re, )
D D
L
V
P
g
V
D
L
h f
P P
g
P
L
2
3.6. SIMILITUD GEOMETRICA. Se da cuando el prototipo tiene la misma forma que el modelo y escalado por algún factor constante. 3.7. SIMILITUD CINEMATICA. Cuando la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo es proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo.
3.8. SIMILITUD DINAMICA. Cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por algún factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo. En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra cuando se dan los tres tipos de similitud antes mencionados.
4. PROCEDIMIENTO - Empleando el método de repetición de variables y aplicando el teorema pi de Buckingham, verifique la agrupación de las variables de las ecuaciones 2 y 4. - Instalar la bomba de servicio con su respectivo tanque, y la tubería donde se realizara la prueba; con puntos para medir la presión, de acuerdo a la figura 1. - Registrar las dimensiones del diámetro (D) y longitud (L) entre los puntos para medir la presión. - Llenar con agua el tanque y poner en funcionamiento la bomba de agua, teniendo la válvula de control de caudal regulada para un caudal bajo. Esperar a que se estabilice el flujo de agua. - Registrar la caída de presión, la temperatura del líquido y el caudal. - Regular la válvula de control de caudal a distintos caudales en orden ascendente, y para cada uno de ellos registrar la caída de presión, la temperatura del líquido y el caudal del líquido. - Con los datos para cada caudal obtenidos del experimento, calcular: la densidad y viscosidad (de tabla de propiedades, con la temperatura del liquido), la velocidad del fluido (con el caudal y el diámetro), el factor de fricción (con la caída de presión y la ecuación 6) y el numero de Reynolds. FIGURA 1
9. ANEXOS
CUADRO 1: FLUIDO AGUA
Diam (D, mm) Long (L, cm) Temp. (°C) Densid. (kg/m^3 ) Viscos. (kg/s.m) Caudal (L/min) Caida de presion mmH 2 O Veloc. (V, m/s) Factor De Friccion (f) Re Expresión matemática: ……………………………………………………………………………………………………
D
CUADRO 1: FLUIDO AIRE
Diam (D, mm) Long (L, cm) Temp. (°C) Densid. (kg/m^3 ) Viscos. (kg/s.m) Caudal (L/min) Veloc. (V, m/s) Re Factor De Friccion (f) Caida de presión (Pa) Calcula. Experim.
