Practica Lagrange num1, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Practica Lagrange num1 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Lagrange

Pràctica 2 – Exercicis proposats 1-

Optimització amb restriccions

d’igualtat

Exercicis proposats

Exercici 1.-

Resoldre el següent problema d’optimització restringit:

 (^) Dibuixar gràficament la restricció i algunes corbes de nivell de la funció objectiu.

Localitzar aproximadament a on tindríem l’òptim.

 (^) Calcular els punts crítics de la funció de Lagrange.

 (^) Determinar quins punts són mínims i màxims.

3 3

.. 3 0

Max x y

s a x y xy



  

 (^) La funció de Lagrange és

 (^) Les condicions necessàries d’òptim de Lagrange són:

3 3 L x y ( , , )  x  y  ( x  y  3 xy )

2

2

3 3

( , , ) 1 ( 3 3 ) 0

( , , ) 1 ( 3 3 ) 0

( , , ) 3 0

L x y x y

x

L x y y x

y

L x y x y xy

 

 





     



     



    



3 3

.. 3 0

Max x y

s a x y xy



  

2

2

2 2

2 2

1 ( 3 3 ) 0

1 ( 3 3 ) 0

3 3 3 3

x y

y x

x y y x

x y y x





   

   

  

  

 

( )( )

( ) 1 0

x y x y y x

x y x y

   

   

Resolució del sistema

3 3

( ) 0

( 1 0 1

. ( )

3 0 1 0

x y x y

x y x y

Sol incongruent restricció

x y xy

    

      

     

3 3

.. 3 0

Max x y

s a x y xy



  

3. Per verificar que es tracta d’un

màxim, calculem la matriu

hessiana

2

2

2

2

2

( , , ) 6

( , , ) 6

( , , ) 3

L

x y x

x

L

x y y

y

L x y

xy

 

 

 













 



( , )

x y

x

HL x y

y

 



 

2

2

3 3

( , , ) 1 ( 3 3 ) 0

( , , ) 1 ( 3 3 ) 0

( , , ) 3 0

L x y x y x

L x y y x y

L x y x y xy

 

 

 

      

      

     

( , )

x y

HL

En el punt crític trobem que

que HL és definida negativa.

El problema té un màxim a (3/2, 3/2 ; 4/9)

( , )

6 3

( , , )

3 6

x y

x

HL x y

y

 



 

  

     

Exercici 2

Solució: El plantejament del problema és el següent:

on x , y , z són les dimensions de la capsa.

.. 2 2 2 .. 8

f o Min xy xz yz

s a x y z

 

  

Exercici 2

 (^) La funció de Lagrange és

Min xy xz yz

s a x y z

L x y z ( , , , )  2 xy  2 xz  2 yz  ( xyz  8)

Exercici 2

3

2 2 2

2

2

2 2

2 2 2 2

8 8

y z x z

zx zy

yz xz

x y

x y

x z

y z

yx yz

x y z x x

 

   

 

 

     







Aïllant  en cada equació i igualant dos a dos.

2 y  2 z   yz   0   2

Exercici 2

 que té per solució

 És a dir, la capsa de mínima superfície és un

cub.

 (^) Per a veure que el punt crític és efectivament

un mínim cal estudiar el signe de la hessiana

restringida als vectors que verifiquen la

condició de desplaçament factible.

( x 2, y 2, z 2,  2)

( , , )

0 2 2

( , , , ) 2 0 2

2 2 0

x y z

z y

HL x y z z x

y x

 

  

 

 ^  

      

     

( , , )

x y z

HL

 ^  

Exercici 2

Les direccions factibles són

aquelles que:

 

---

( , , ) 0

x

g x y z y

z

x

yz xz xy y

z

x

y x y z

z

z x y

Restricció

x·y·z=

Punts crítics:

x=y=z=