Curso 2007-2008 19
Pr´actica 5
Espacios de Hilbert. Segunda parte
Ejemplo 5.1
Demostrar que en un espacio de Hilbert separable toda base ortonormal es numerable. (Observar que
si xeyson elementos de una base ortonormal, entonces x−y=√2.)
Soluci´on
Sea (ei)i∈Iuna base ortonormal de X. Observamos primero que para cada i, j ∈I(i=j) el teorema
de Pit´agoras permite calcular ei−ej=√2 y en consecuencia B(ei,√2
2)B(ej,√2
2)=∅.
Por hip´otesis existe un subconjunto Sque es numerable y denso en X. Para cada i∈Ipodemos
seleccionar un vector vi∈B(ei,√2
2)S. Entonces, la aplicaci´onΦ:I→Sdada por Φ(i)=vies
inyectiva, lo que prueba que Ies numerable.
Ejercicio 5.1
Sea {en:n∈N}una base ortonormal en el espacio de Hilbert X. Un operador T:X→Xse dice
que es diagonal respecto de esa base si existe una sucesi´on de escalares (αn)∞
n=1 tal que Te
n=αnen
para todo n∈N.
(a) Demostrar que Tes continuo si, y s´olo si, (αn)∞
n=1 ∈∞.
(b) ¿Bajo qu´e condiciones un operador diagonal es una proyecci´on?
Ejercicio 5.2
Sean XeYespacios de Hilbert separables y sean {en}∞
n=1 y{fn}∞
n=1 bases ortonormales de X
eY, respectivamente.
(a) Dado T∈L(X, Y )se definen ajk =(Te
k,f
j)con j, k ∈N. Demostrar que si x=
∞
k=1 αkek, entonces Tx =∞
j=1∞
k=1 ajkαkfj(con lo cual Tadmite una representaci´on
matricial similar a la de los operadores entre espacios de dimensi´on finita, representaci´on que depende
de las bases ortonormales elegidas). Demostrar que si {αk}∞
k=1 ∈2, entonces
∞
j=1
∞
k=1
ajkαk
2
≤T2∞
k=1 |αk|2.
(b) Demostrar que si (ajk)j,k∈Nes una matriz infinita verificando que existe C>0tal que
∞
j=1
∞
k=1
ajkαk
2
≤C∞
k=1 |αk|2
para toda sucesi´on {αk}∞
k=1 ∈2, entonces define un operador T∈L(X, Y )con T2≤C.
(c) Demostrar que si (ajk)j,k∈Nes una matriz infinita verificando ∞
j=1 ∞
k=1 |ajk|2<∞,
entonces define un operador T∈L(X, Y )con T2≤∞
j=1 ∞
k=1 |ajk|2.
Ejercicio 5.3
Sea S={eα}α∈Iun conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert X. Probar que para cada x∈X,
existe a lo sumo una cantidad numerable de ´ındices α∈Ipara los cuales (x, vα)=0. (Considerar
el conjunto de ´ındices {α:|(x, vα)|≥1
n}para cada n∈N.)
An´alisis Funcional
