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1. INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE HILBERT:
1.1. Espacios Vectoriales. Base y dimensión:
Se dice que el grupo conmutativo (V, +) es un espacio vectorial sobre el cuerpo (K, +, .), y se puede representar por (V; K), si se verifica que existe una ley de composición externa,. , definida desde
KxV → V esto es, tal que ∀ α ∈K , ∀x∈V→ α .x∈ V
cumpliendo las condiciones:
a) Distributividad mixta del producto de elementos de K por suma de elementos de V:
∀ α ∈K , ∀x,y∈VxV, α .(x+y)= α .x+ α. y
b) Distributividad mixta del producto de elementos de V por suma de elementos de K:
∀ α , β ∈KxK ,∀x∈V, ( α .+ β ).x= α .x+ β. x
c) Asociatividad mixta de elementos de K por elemento de V:
∀ α , β ∈KxK, ∀x∈V, ( α. β ).x= α .( β .x )
d) Existencia de elemento uno del cuerpo K:
∃ 1 ∈K /∀x∈V, 1 .x= x
Se llaman escalares a los elementos del cuerpo, y vectores a los elementos del grupo conmutativo.
Se definen los conjuntos de vectores es linealmente independientes:
x 1 , x 2 ,...xn ∈ Vn,linealmente_independientes⇔ α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α nxn = 0 ⇒ α 1 =... α n= 0
Se definen los conjuntos de vectores que generan a todo el espacio vectorial:
x 1 , x 2 ,...xn ∈ Vngeneradores⇔∀x∈V,∃ α 1 , α (^2) ,... α n∈K/a 1 .x 1 +a 2 .x 2 +...+an.xn= x
Una base es un conjunto de vectores que es linealmente independiente y, también, sistema de generadores del espacio vectorial.
Se prueba que en un espacio vectorial dado todas sus bases tienen el mismo número de vectores, que definen la dimensión del espacio. Cuando el número de vectores de las bases es finito, se dirá que el espacio es de dimensión finita, en caso contrario, se dice que es un espacio de dimensión infinita.
En un espacio de dimensión finita, n, se cumple que el número máximo de vectores linealmente independientes coincide con la dimensión del espacio.
1.2. Métrica. Métrica euclidiana. Métrica euclidiana ordinaria.
Una métrica en un espacio vectorial (V;K) es una distancia o medida, esto es, una correspondencia tal que a cada par de vectores le corresponde una medida****. La definición de una medida o distancia puede hacerse desde la definición de una operación de VxV en K, esto es, una composición o
producto interior de elementos del espacio que da como resultado un elemento del cuerpo de definición del espacio:
x y VxVx y K
VxV K ∀ ∈ • ∈
donde se ha llamado • a la operación que define el producto interior y, por tanto, la métrica.
Una métrica se dice euclidiana , si el producto interior cumple las siguientes condiciones:
1) Conmutatividad: ∀x , y∈V^2 ,x•y=y• x
2) Distributividad con respecto a la suma vectorial:
∀x , y,z∈V^3 ,x•(y+z)=x•y+x• z
3) Asociatividad mixta:
∀x, y∈V^2 , α ∈K, α .(x•y)=( α .x)•y=x•( α .y )
4) Definición positiva:
∀ x∈V, x•x≥ 0
5) No degeneración:
x• x= 0 ⇒x= 0
Se llama métrica euclidiana ordinaria a aquella métrica definida por la condición de ortonormalidad de la base:
Si son los vectores x = ∑ xi .ei y y = ∑yj .e j , se tiene:
∀ x , y∈V^2 ,x•y=^ (^ ∑ xi ei)^ • (^ ∑yjej)^ =∑xiyjei•ej =x 1 .y 1 +x 2 .y 2 +...+xn.yn+...≡∑xi.yi
(trivialmente puede comprobarse que verifica las cinco condiciones anteriores para las métricas euclidianas)
En los párrafos que siguen representaremos el producto interior euclidiano por un paréntesis en el que figuran los dos vectores separados por una coma, es decir, el producto interior de los vectores a y b se representará : a • b≡( a,b )
En general, para una métrica euclidiana cualquiera, en cualquier base {en}:
∀x , y∈V^2 /x=∑ xi .eiΛy=∑yj.ej,^ (^ x,y)^ =∑xi.yj(ei,.ej)=∑gijxiyj
∀ x , y∈V^2 ,^ (^ x,y)^ =∑gij^ xiyj
siendo gij^ =ei.ej, la métrica definida en el espacio, y G = (gij) la matriz métrica. En el caso de la métrica euclidiana ordinaria, la matriz métrica es la matriz identidad.
x es de Cauchy
d x x d x l d l x d x x
d x x d x l dl x
dl x x convergente d l x
m
p q p q p q
p q p q
m m m
lim ( , ) lim ( ,) lim (, ) 0 0 0 lim ( , ) 0
lim (, ) 0 { } lim (, ) 0
Sin embargo, el teorema recíproco no siempre es cierto. Cuando lo es, es decir, cuando toda sucesión de Cauchy de vectores del espacio es, también, una sucesión convergente de vectores del espacio, se dirá que tal espacio es completo.
Los espacios prehilbertianos euclidianos, es decir, los espacios con métrica euclidiana finitodimensionales, son, efectivamente, espacios métricos completos, pues en ellos toda sucesión convergente es de Cauchy y toda sucesión de Cauchy es convergente.
Veámoslo en el siguiente teorema, para una métrica euclidiana ordinaria, usando el criterio general de convergencia de Cauchy para sucesiones de escalares.
Teorema 2:
Todo espacio métrico euclidiano ordinario es completo.
En efecto:
Sean dos vectores = ∑ i
i
x p xp.e y = ∑ i
i
x q xq.e. Se tiene: − =∑ − i⇒
i q
i x (^) p xq (xp x ).e
⇒ = [ − − ] =∑ − 2 2 d ( xp ,xq) (xp xq),(xp xq) xip xqi
por tanto,
x xe ae a
d x x x x x x a K x a
i
i i
i n n
i i n
i i q
i p
i q
i p q p
⇒ = = =
lim lim
( , ) /lim
2 ε ε ε
por tanto, la sucesión {xn} de Cauchy, converge hacia a.
Pero no todos los espacios prehilbertianos infinitodimensionales son completos.
Llamaremos Espacio de Hilbert a un espacio prehilbertiano completo.
Los espacios de Hilbert engloban, pues, a los espacios euclidianos como caso particular.
1.4. Bases en un espacio de Hilbert. Teorema Fundamental. Identidades de Bessel- Parseval:
Aunque en los espacios euclidianos se cumple que el número máximo de vectores linealmente independientes es, precisamente, el número de dimensiones del espacio, y una base cualquiera tiene un número de componentes igual a tal número de dimensiones, no ocurre lo mismo en los espacios de Hilbert en general, lo cual exige una precisión del concepto de base y de coordenadas en estos espacios, de modo que al particularizar a los espacios euclidianos, finitodimensionales, coincida con el concepto de base y coordenadas en estos espacios.
En un espacio H de Hilbert, se tiene que una sucesión cualquiera de vectores ortonormalizados no es necesariamente una base de H, es decir, si para ∀∀ x ∈∈ H construimos los escalares xi^ = (x, ei), no se puede asegurar que la suma siguiente
∞
= 1
i
i xi^ e
sea convergente y que su suma sea x. Esto es, no se puede asegurar que ∑
∞
=
1
i
i
i x H x x e
Es preciso estudiar, entonces, qué condiciones habrían de cumplir los vectores {ei} para que constituyan una base del espacio H.
Se llama Sistema Total en H a un sistema {ei} de vectores linealmente independientes de H tales que verifican:
∀x ∈H, x.ei= 0 ⇒x= 0
O bien, con la notación del paréntesis:
∀ x ∈H, (x,ei)= 0 ⇒x= 0
Veamos un a continuación un teorema previo al teorema fundamental:
Teorema 3:
Sea la sucesión, {bn}, de números reales no negativos de la forma:
=
n
i
i bn x 1
2
Sea también, la sucesión de vectores {an} engendrados por el sistema {ei}, que podemos suponer ortonormal:
∞
=
1
i
i
i an x e
Se verifican entonces, tres desigualdades, que usando la notación del paréntesis para el producto interior, son :
a) ( x, an ) = ( an,x) =( an,an) =bn ≥ 0
b) d^2 (x,an )= (x−an,x−an)=(x,x)−bn ≥ 0
c) ( , ) 0 ( ) 2 d ap aq =bp−bq ≥ q
b) ( ) ∑
∞
=
= 1
i
i i x y x y
En efecto:
a) Tomando límites en el teorema 3, se tiene:
( ) [( ) ] ( ) ( )
∞
=
1
2 , , lim 0 , 0 , lim , lim
lim , lim , lim , lim , lim
i
i n n n
n n n n n n
x x x x x x b xx b xx b x
x a x a xx b x a x a x x b
b) Al tomar límites en la identidad ( ) ( ) ( ) ∑
=
n
i
i i x y x an y cn an cn x y 1
, , , , se tiene:
∑ (^ )^ ∑
∞
=
∞
=
1 1
lim( , ) (lim( ),lim( )) , ( 0 , 0 ) i
i i i
i i xy x an y cn x y xy xy
1.5. Unicidad de las bases
El Teorema Fundamental en la construcción de los espacios de Hilbert, teorema que permite construir las bases de estos espacios, tiene varios recíprocos dependiendo de las condiciones que a priori se establezcan. El siguiente teorema establece una condición de unicidad.
Teorema 5:
Si {ei} es un sistema total de H, y {xi} es un conjunto de números complejos (i =1, 2, ...) tales que la
suma ∑
=
n
i
xi bn 1
2
tiene límite, también la serie ∑
=
n
i
i
i x e 1
. es convergente y su suma, x, es el único
vector de H que cumple la condición (^ x e )^ x j j , j = ,∀
En efecto:
q p
q
i p
i q p
q
i p
i
i q p
n
i
i
i
a n = ∑ x e ⇒a −a =∑x e ⇒ a −a =∑x =b −b
= = =
2 2
1
y, siendo la sucesión {b n } convergente, se tiene:
∃ N ∈Z/∀p,q∈ZΛp ,q>N⇒bq −bp< ε^2 ⇒ aq−ap < ε
Así, pues, {a n } es sucesión de Cauchy, y, por tanto, convergente. Sea lim an =x :
∀j
La búsqueda de un sistema {e (^) j} total se puede realizar prácticamente tomando un vector x
cualquiera del espacio y calculando los números
x j^ =^ (^ x,ej)
y, con ellos, la sucesión de vectores {^ }^
=
n
j
j
j an x e 1
.. Esta sucesión ha de ser convergente y su
suma ha de ser x. Comprobando este extremo puede decidirse si {e (^) j} es un sistema total o no.
Existen en la práctica ejemplos concretos de espacios de Hilbert (realizaciones de espacios de Hilbert), como es, por ejemplo, el espacio L^2 (a,b) de las funciones de cuadrado integrable en un intervalo cerrado [a,b].
2) De ser:
2 2 2 α. f = α .f
se cumple que... ( , )
(^222) f dx f dx k f L a b
b
a
b
a
∫ α =^ α ∫ ⇒^ ∈
2.2. Las funciones de cuadrado sumable en un intervalo cerrado como espacio prehilbertiano:
Para dotar a este espacio de una métrica, bastará definir el producto interior de la forma
∀ ∈^ (^ )^ =∫
b
a
f , g L(a,b), f,g f.g. dx 2
Hemos de ver que, efectivamente, tal producto interior pertenece al conjunto de las funciones de cuadrado integrable, lo cual se muestra con el siguiente teorema.
Teorema 7:
a
b
f , g L(a,b), (f,g) f.g*. dx 2 existe y es finito
En efecto:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
f gdx f gdx f gdx f dx g. dx 2
2 2
Es inmediato que el producto interior así definido cumple las condiciones de definición de la métrica euclidiana, por lo que el espacio L^2 (a, b) queda caracterizado como espacio prehilbertiano.
En el espacio prehilbertiano L^2 (a, b) se define el concepto de norma de f como el número real no negativo (f,f), y el módulo de f como la raíz cuadrada positiva de la norma.
ulo f f ( f f)
norma f f f
mod ( ) ,
Son de demostración elemental los teoremas
( f , g) ≤ f .g (de Schwartz)
f + g ≤ f + g (de Minkowski)
mf =m. f
Dos funciones, f , g∈ L^2 (a,b) se dice que pertenecen a la misma clase , o simplemente, que son
iguales , si ambas funciones son iguales ∀x ∈∈[ a,b] , salvo para aquellos valor de x pertenecientes
a un conjunto de medida nula. Cada clase de funciones se dice que es una función generalizada.
En general, la integración que figura en la definición del espacio L^2 (a, b) es la integración de Lebesgue-Stieltjes. Este concepto tan general de integral, y el de función generalizada, permite desarrollar la teoría de estas funciones de cuadrado integrable hasta probar que se trata de un espacio prehilbertiano completo, es decir, de un espacio de Hilbert.
2.3. Teorema de completitud de Fischer-Riesz.
Antes de exponer el teorema de completitud, veamos previamente la siguiente proposición:
Teorema 7: Dada la función g ( x)∈ L^2 (a,b) y los números reales positivos ε y k , se tiene que
g x dx g x k
b
a
∫ (^ ). < ⇒ ( )^ <
2 ε
para todo valor de x, salvo para los pertenecientes a un conjunto E de medida inferior a (^) 2
2 k
ε (^).
En efecto:
Dividamos el intervalo [a, b] en dos conjuntos:
P = conjunto de valores de x en los que g (x)
- BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN :
ABELLANAS, L, GALINDO, A. Espacios de Hilbert (Geometría, operadores, espectros)****. Eudema BERBERIAN, S.K. Introducción al espacio de Hilbert. Ed. Teide, 1970 FRIEDRICHS, K.O. Spectral Theory of Operators in Hilbert Space ', Applied Mathematical Sc.Vol. 9 HALMOS, P.R., Introduction to Hilbert Spaces. Chelsea Pub. Co. 1957 KOLMOGOROV/FOMIN, Elementos de la Teoría de Funciones y el Análisis Funcional, Mir, Moscu, 1972 LASZLO M. HILGER, ADAM, Hilbert Space Methods in Science and Egineering, 1989 RUDIN, W., Análisis Funcional , Reverté 1979
