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PRÁCTICA 1
Muestreo Aleatorio Simple en poblaciones infinitas
(o con reemplazamiento)
- Con objeto de estimar la media poblacional de dos poblaciones infinitas, realizamos un muestreo aleatorio simple sobre ambas poblaciones, recogiendo en la primera una muestra de tamaño 36 y en la segunda una muestra de tamaño 45
MUESTRA 1 MUESTRA 2 26, 28, 31, 25, 24, 32, 35, 29 27,
Obtenga en ambos casos: a. La media muestral. b. La cuasivarianza muestral. c. Límite para el error de estimación (95% de confianza) d. Intervalo de confianza para la media poblacional (nivel de confianza del 95%) Solución: MUESTRA 1 MUESTRA 2 a) Media muestral (^) y = 29,35 l p (^) =51,11%
b) Cuasivarianza muestral (^) Sn^2 − 1 = 13,38 Sn^2 − 1 =0, 2556
c) Límite para el error de estimación 1,22 0, d) Intervalo de confianza (28,13 , 30,57) (36,04% , 66,18%)
- Un hipermercado desea estimar la proporción de compras que los clientes pagan con su “Tarjeta de Compras”. Durante una semana observaron al azar 300 compras de las cuales 35 fueron pagadas con la tarjeta.
a) Estime con un intervalo de confianza la proporción de compras pagadas con dicha tarjeta.
b) Cuantas compras deberían observarse para estimar, con un error inferior al 2%, la proporción de compras pagadas con la tarjeta. (Consideren los datos anteriores como una muestra previa)
c) Si no se tuviera ninguna información acerca de los clientes que utilizan la tarjeta, cuántas compras deberíamos observar para asegurar que la anterior estimación se realiza con un error inferior al 2%.
Solución: a) (7,95%, 15,38%), b) n=1.030,6≈1.031, c) n=2.500.
- Este mismo hipermercado desea estimar también el valor medio de las compras
realizadas con su “Tarjeta de Compras”. Basándose en los anteriores datos observa que el valor total de las compras hechas con la tarjeta fue de 4.500€ (siendo la cuasivarianza de los datos 615,15). Estímese el valor medio de las compras pagadas con la tarjeta y el error de estimación asociado.
Solución: l μ =^ 128,57 B =8,
PRÁCTICA 2
Muestreo Aleatorio Simple en poblaciones finitas.
- Una muestra aleatoria simple de 6 deudas de clientes de una farmacia es seleccionada
para estimar la cantidad total de deuda de las 100 cuentas abiertas. Los valores de la muestra para estas seis cuentas son los siguientes:
Dinero adeudado (€) 35, 32, 43, 41, 44, 42, a) Estime el total del dinero adeudado y establezca un límite para el error de estimación.
b) ¿Cuántas cuentas deberían observarse para estimar el total de deuda con un error inferior a 200€? (considere los anteriores datos como una muestra previa)
Solución: a) τ = 3966,
l
2 V ( ) τ =381, 02 b) n = 18,96 ≈ 19
- Una muestra aleatoria simple de 50 contadores de agua es controlada dentro de una
comunidad de regantes para estimar el promedio de consumo de agua diario (en m^3 )
durante un periodo estacional seco. La media y varianzas muestrales fueron y =10,31 m^3
y s^2^ = 2, 25 m^6. Hay en total 750 regantes en la comunidad.
a) Estime el consumo medio diario de toda la comunidad y establezca un límite para el error de estimación.
PRÁCTICA 3
Muestreo Aleatorio Estratificado.
- Se está interesado en determinar la audiencia de la publicidad televisiva en una cadena
local de un municipio, se decide realizar una encuesta por muestreo para estimar el número de horas por semana que se ve la televisión en las viviendas del municipio. Éste está formado por tres barrios con diferentes perfiles socio-culturales que afectan a la audiencia televisiva. Hay 210 hogares en el barrio A, 84 en el barrio B y 126 en el barrio C. La empresa publicitaria tiene tiempo y dinero suficientes como para entrevistar 30 hogares y decide seleccionar muestras aleatorias de tamaños: 15 del barrio A, 6 del barrio B, y 9 del barrio C. Se seleccionan las muestras aleatorias simples y se realizan las entrevistas. Los resultados, con mediciones del tiempo que se ve la televisión en horas por semana, se muestran en la siguiente tabla:
BARRIO A BARRIO B BARRIO C 36 39 38 28 29
Estime el tiempo medio que se ve la televisión, en horas por semana, para: a) Los hogares del barrio A. b) Los hogares del barrio B. c) Los hogares del barrio C. d) Todos los hogares Para todos los casos fije un límite para el error de estimación. e) ¿Qué tipo de asignación se ha utilizado?
NOTA: Obsérvese que debido al tipo de asignación utilizado, y (^) st = y.
y (^) st aparece en la celda I10=28,23. y lo podemos calcular, por ejemplo en la celda B28,
escribiendo la función =PROMEDIO(C28:G100) que calcula la media aritmética de todos los datos incluidos en las tres muestras (columnas C, E y G), obteniéndose B28=28,23. Debido a los traslados necesarios no cuesta lo mismo obtener una observación en un barrio que en otro. Se estima que el coste de una observación del barrio A es de 1€, 9€ para el barrio B y 4€ para el barrio C.
f) Cuántos hogares deberían entrevistarse para estimar el número medio de horas a la semana que se ve la televisión en los hogares del municipio con un error inferior a 1 hora. (Tómese los anteriores datos como una muestra previa para estimar los parámetros necesarios). NOTA: Para comprobar que la asignación óptima y de Neyman coinciden cuando los costes son iguales, escriba en las celdas C21, E21 y G21 el mismo valor para los tres costes y observará que las filas 22 y 23 de la tabla (asignación óptima y de Neyman) coinciden. g) Supóngase que se tiene sólo 600€ para gastar en el estudio, determine el tamaño de la muestra y la asignación que minimizan el error de estimación. (Como en el apartado anterior, tómese los datos de la tabla como una muestra previa para estimar las varianzas de los estratos).
Solución: a) y (^) A = 34, 67 B = 2, 40 b) y (^) B = 28,17 B =8,
c) yC = 17,56 B = 2,82 d) yst = 28, 23 B = 2, 22 e) proporcional
f) n=124,88 n =79,71 1 ≈ 80 n =23,39 2 ≈ 24 n =21,78 3 ≈ 22 n=80+24+22=126. En
el caso de no querer sobrepasar un máximo error de estimación siempre redondearemos por exceso. g) n=198,56 n =126,74 1 ≈ 126 n =37,19 2 ≈ 37 n =34,63 3 ≈ 34 n=126+37+34=197.
Cuando no queramos superar un determinado presupuesto redondearemos por defecto, haciéndolo así : coste total = (1 126)× + (9 × 37) + (4 × 34) =595€
sin embargo: coste total = (1 127)× + (9 × 38) + (4 × 35) =609€
- En el caso anterior, también se desea saber qué proporción de hogares ven un
determinado programa, para decidir la conveniencia de insertar un anuncio en los intermedios del mismo. La respuesta a la pregunta de si ven dicho programa por los hogares de la muestra anterior se recoge a continuación:
BARRIO A BARRIO B BARRIO C SI SI NO NO SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI
SI
NO
NO
NO
SI
NO
SI
SI
SI
SI NO
SI
SI
NO
SI
SI
SI
SI
NO
a) Estime con un intervalo de confianza la proporción de hogares del municipio donde se ve el programa. b) Cuántos hogares deberían entrevistarse si se quisiera hacer dicha estimación con un error inferior al 5%. (Supóngase que se realiza la entrevista por teléfono y el coste de
NOTA: Para resolver este problema tenemos que eliminar los coeficientes correctores
para poblaciones finitas i^ i i
N n N
en la correspondiente hoja de cálculo (tres estratos), lo
que equivale a hacerlos igual a 1. Tendríamos que (por ejemplo en el estrato 1) borrar en
las fórmulas de las celdas M12 y N12 las expresiones
i i i
N n M M N M
= (análogamente
repetiríamos para los estratos 2 y 3 en las celdas O12, P12, Q12 y R12). Lo anterior se
puede resolver más fácilmente dando a los valores Ni en las celdas M8, O8 y Q8 valores
muy grandes de forma que i^ i 1 i
N n N
≅. Por otra parte dado que los valores Ni no son
conocidos aunque sí i
N
N
(0,50, 0,30 y 0,20), debemos respetar dichas proporciones
(sugerencia M8=50.000.000, O8=30.000.000 y Q8=20.000.000).
Solución: l p^ (^) st = 10,82% B =4,56%
- El Ministerio de Medio Ambiente quiere estimar el número total de hectáreas plantadas
de árboles en las fincas de una comarca. Ya que el número de hectáreas de árboles varía considerablemente con respecto al tamaño de la finca, decide estratificar sobre la base del tamaño de las fincas. Las 240 fincas de la comarca son clasificadas en 4 categorías de acuerdo al tamaño. Una muestra aleatoria estratificada de 40 fincas, seleccionada mediante asignación proporcional, dio como resultado el número de hectáreas plantadas de árboles que se muestra en la siguiente tabla:
Estrato I Estrato II Estrato III Estrato IV 0-200 ha. 201-400 ha. 401-600 ha. +600 ha. N (^) 1 = 86 N (^) 2 = 72 N (^) 3 = 52 N 4 = 30 n 1 (^) = 14 n (^) 2 = 12 n 3 (^) = 9 n 4 = 5 97 67 125 155 142 256 167 655 42 125 67 96 310 440 220 540 25 92 256 47 495 510 780 105 86 310 236 320 396 27 43 220 352 196 45 59 142 190 53 21 a) Estime el número total de hectáreas plantadas de árboles en las fincas de la comarca y fije el límite para el error de estimación. b) Este estudio se quiere hacer anualmente con un límite para el error de estimación de 5.000 hectáreas. Encuentre el tamaño muestral y su asignación para garantizar dicho límite de error si se usa la asignación de Neyman.
Solución: a) τˆ = 50505, 60 B =8663,
b) n=59,7 n =6,9 1 ≈ 7 n =16,7 2 ≈ 17 n =16,4 3 ≈ 17 n 4 = 19, 7 ≈ 20 n=7+17+17+20=
- Para la comarca del ejercicio anterior, el gobierno también desea conocer la proporción
de fincas que han sufrido algún incendio en los últimos diez años. Para ello, en la misma muestra se pregunta sobre el referido asunto, obteniéndose las siguientes respuestas
Estrato I Estrato II Estrato III Estrato IV 0-200 ha. 201-400 ha. 401-600 ha. +600 ha. N (^) 1 = 86 N (^) 2 = 72 N (^) 3 = 52 N 4 = 30 n 1 (^) = 14 n (^) 2 = 12 n 3 (^) = 9 n 4 = 5 NO NO SI NO NO NO NO NO SI SI NO SI SI NO SI NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO SI SI NO NO SI NO NO NO SI NO NO
Estímese con un intervalo de confianza la proporción de fincas de la comarca que han sufrido algún incendio en los últimos diez años. Solución: (11,9% , 38,21%)
- Una psicóloga que está trabajando con un grupo de adultos con retraso mental, desea
estimar su tiempo medio de reacción a un cierto estímulo. Ella considera que varones y mujeres probablemente presentarán una diferencia en tiempos de reacción, por lo que desea estratificar con base en los sexos. El grupo de 96 personas tiene 43 varones. En estudios previos de este tipo de investigaciones se ha encontrado que los tiempos presentan una amplitud de variación de 5 a 20 segundos para varones y de 3 a 14 segundos para mujeres. Los costes del muestreo son los mismos en ambos estratos. Usando la asignación óptima, encuentre el tamaño muestral necesario para estimar el tiempo medio de reacción para el grupo, con un límite de error de un segundo.
Solución: n = 28, 48 n 1 (^) = 14,96 ≈ 15 n 2 = 13,52 ≈ 14 n = 15 + 14 = 29
- Una verificación de control de calidad estándar para baterías de automóviles consiste
simplemente en registrar su peso. Un embarque particular de una fábrica consistió en las baterías producidas en dos meses diferentes, con el mismo número de baterías producidas en cada mes. El investigador decide estratificar con base en meses para el muestreo de inspección a fin de observar la variación mensual. Las muestras aleatorias simples de los pesos de las baterías para los dos meses dieron las siguientes mediciones (en libras): Mes A Mes B 61,5 64, 63,5 63,
Estime el valor intervenido medio, mediante un estimador de razón, un estimador de regresión y un estimador de diferencia. Obtenga el intervalo de confianza en cada caso.
Solución: Estimador de razón (72,79 , 76,03). Estimador de regresión (72,80 , 75,97). Estimador de diferencia (72,86 , 75,94)
- Una encuesta de consumo fue realizada para determinar la razón de dinero gastado en
alimentos sobre el ingreso por año, para las familias de una pequeña comunidad. Una muestra aleatoria de 8 familias fue seleccionada de entre 100. Los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla: Familia Ingreso Total Gasto en alimentos 1 25100 3800 2 32200 5100 3 29600 4200 4 35000 6200 5 34400 5800 6 26500 4100 7 28700 3900 8 28200 3600 Estime la razón poblacional, y establezca un límite para el error de estimación. Solución: r = 0,1531; B =0, 0118
NOTA: Como no se conoce la media poblacional de X, debemos estimarla por su media muestral, es decir, C9=PROMEDIO(C22:C100).
La nota anterior sólo es aplicable para estimar la razón r, pues si utilizamos x en lugar de
μ x cuando queremos estimar la media de la variable Y mediante un estimador de razón,
regresión o diferencia, obtendríamos que μl^ y = lμ^ yL = μl yD = y , es decir, estimaríamos la
media de la variable Y sólo mediante su media muestral y no estaríamos utilizando información auxiliar alguna. Si en el ejercicio 1 hacemos
B22=PROMEDIO(D22:D100)= y y en C9=PROMEDIO(C22:C100)= x se observa que
l l l
μ y = μ yL = μ yD = y (D12=F12=H12=B22)
PRÁCTICA 5
Muestreo Sistemático.
- La gerencia de una compañía privada está interesada en estimar la proporción de
empleados que favorecen una nueva política de inversión. Una muestra sistemática de 1 en 10 es obtenida de los empleados que salen del edificio al final de un día de trabajo en particular. Use los datos de la tabla siguiente para estimar la proporción a favor de la nueva política, y establezca un límite para el error de estimación. Suponga que hay un total de 2.000 empleados. Empleado muestreado
Respuesta
3 1 13 0 23 1
1993 1 ∑ = =
200 1
132 i
yi
Solución: l p^ (^) sy = 66% B =6,37%
2. Con los datos del ejercicio anterior, determine el tamaño de muestra requerido para
estimar p , con un límite para el error de estimación del 4,8%. ¿Qué tipo de muestra sistemática deberá obtenerse?
Solución: n = 326, 2 ≈ 327. Sería suficiente con tomar una muestra sistemática de 1-en-
donde 2000 333,3 333 334 6 n = = ≈ o.
PRÁCTICA 6
Muestreo por Conglomerados.
- En una pequeña ciudad se quiere estimar la proporción de hogares interesados en
contratar el sistema de televisión digital, para lo cual se considera la ciudad dividida en 200 manzanas de viviendas. Se extrae una muestra piloto de 5 manzanas y se interroga a cada familia acerca de si estaría interesada en contratar la televisión digital. Los datos de la encuesta se encuentran en la tabla:
Manzana Nº hogares en la manzana Nº hogares interesados 1 8 2 2 7 2 3 9 3
PRÁCTICA 7
Estimación del tamaño de la población.
- Se desea estimar la población de avutardas en determinada región. Para ello se capturan
30 avutardas que se devuelven marcadas a la población. En una segunda muestra de 20 avutardas se observaron 5 marcadas. Estímese el número de avutardas que viven en la región y la precisión del estimador usado.
Solución: N l^ = 120 B =92,
- Se desea estimar la población de ardillas en un parque. Para ello se capturan 50 ardillas
que se devuelven al parque marcadas. Se toma una segunda muestra hasta que se consigue encontrar 5 marcadas, para lo cual fue necesario capturar 70 de ellas. Estime, usando un intervalo con el 95% de confianza, el número de ardillas que viven en el parque. Solución: (149, 24 , 1.250, 76)
- La policía de Madrid está interesada en conocer el número de aficionados que se
reunieron en torno a la fuente de Neptuno para celebrar el triunfo de su equipo. Con este dato se puede conocer la cuantía de medios materiales y humanos (policía, protección civil, personal sanitario, etc.) necesaria para atender futuras concentraciones. Para estimar el número de aficionados se toma una fotografía aérea de la zona ocupada por éstos, tras lo cual se traza sobre ella una cuadrícula que divide el área total en 300 cuadros de 10 metros de lado cada uno. Posteriormente se numeran y se extrae una muestra aleatoria de 20 de estos cuadros; por último se cuenta el número de aficionados que hay en cada uno de los cuadros seleccionados, obteniéndose los resultados de la tabla:
Nº del cuadro Número de aficionados en el cuadro Nº del cuadro Número de aficionados en el cuadro 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a) Estime la densidad de aficionados por metro cuadrado y obtenga su intervalo de confianza.
b) Estime el número total de aficionados concentrados en la plaza de Neptuno y obtenga su intervalo de confianza.
Solución: a) λ =^ 2,16 aficionados m^2 (2,1 , 2, 23)
b) m M^ =64.860 aficionados (62.887, 29 , 66.832,71)
- Se desea estimar el número total de autobuses que, entre las 6 y las 24 horas del domingo, circulan por un determinado punto kilométrico de una carretera. La observación se realiza mediante 40 intervalos, de 10 minutos cada uno, repartidos a lo largo del periodo en estudio. En 18 ocasiones, de las cuarenta que se estableció el control, no circuló por el punto en cuestión ningún autobús. Estimar el número total de autobuses que circularon entre las 6 y las 24 horas. Dar un límite de error de estimación.
Solución: M ˆ^ = 86, 24 B =37,
PRÁCTICA 8
Indicadores estadísticos regionales
- (ejercicio 3, relación tema 8) En el año 2005 el PIB a precios de mercado en millones de
euros en las 4 regiones de un determinado país fue REGIONES PIB R R R R
Obtenga el índice de concentración de Theil e interprete su valor. Solución:
1
ln ln 0,
N i i i
T N x x
= + (^) ∑ = 0, T THEIL ln
T
I I
N
- (ejercicio 4, relación tema 8) En el año 2005 el PIB a precios de mercado en millones de
euros en las 4 regiones de un determinado país fue
REGIONES PIB R R R R
Obtenga la desigualdad colectiva e interprete su valor. Solución:
1 1 1
N N N i i i i i i i
D d f d d = = =
= (^) ∑ = (^) ∑ = (^) ∑ = =
Coeficientes de especialización regional REGION CEi R1 0 R2 0 R3 0
Coeficientes de diversificación de cada región REGION CDi^
CD i R1 0,6178 0, R2 0,6178 0, R3 0,6178 0,
- (ejercicio 3, relación tema 9) Se dispone de la siguiente información sobre número de
ocupados para algunas Comunidades Autónomas clasificados según ciertas actividades: Energía Alimentos Industrial textil Andalucía 10.000 65.000 20. Castilla La Mancha 3.000 18.000 14. Castilla León 19.000 30.000 8. Cataluña 15.000 60.000 90. a) Obtenga los coeficientes de localización de las distintas actividades. b) Calcule los coeficientes de especialización para cada comunidad. Solución: Coeficientes de localización sectorial SECTOR S1 S2 S CLj 0,2423 0,1219 0,
Coeficientes de especialización regional REGION CEi R1 0, R2 0, R3 0, R4 0,
PRÁCTICA 10
Contrastes no paramétricos para una muestra (SPSS)
Ejemplo 1 (Ejercicio 1, relación Tema 10)
El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de empleados que
asisten al consultorio médico de la planta se encuentra distribuido de forma equitativa
durante los cinco días de trabajo de la semana. En base a una muestra aleatoria de cuatro
semanas completas de trabajo, se observaron los siguientes números de empleados que
asistieron al consultorio:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes 49 35 32 39 45
¿Existe alguna razón para creer que el número de empleados que asisten al consultorio
médico, no se encuentra distribuido de forma equitativa durante los días de trabajo de la
semana?, ( α = 0. 05 ).
Ejemplo 2
Una compañía de gas afirma, basándose en experiencias anteriores, que al final del invierno
el 80% de las facturas ya han sido cobradas, un 10% se cobraran con pago aplazado a un
mes, un 6% se cobrará a dos meses y un 4% se cobrará a más de dos meses. Al final del
invierno actual, la compañía selecciona una muestra aleatoria de 400 facturas, resultando 287
de estas ya cobradas, 49 cobradas a un mes, 30 a cobrar en dos meses y 34 a cobrar en un
periodo superior a los dos meses. ¿Podemos concluir, a raíz de los resultados, que la
experiencia de años anteriores se ha vuelto a repetir este invierno?
Ejemplo 3 (Ejercicio 8, relación Tema 11)
Una muestra sobre el nº de personas que diariamente requieren información de un producto
financiero ofrece el siguiente resultado:
3, 0, 1, 3, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 4, 5, 1, 0, 4, 2, 3, 1
¿Se puede aceptar que el nº de personas que requieren la mencionada información se
distribuye según una ley de Poisson de parámetro λ = 2, 7? (utilice el contraste χ 2 )
Ejemplo 4
Igual que el ejemplo 3 pero sin especificar el valor de λ y utilizando el contraste de
Kolmogorov-Smirnov.
Ejemplo 5 (Ejercicio 7, relación Tema 11)
Con un nivel de significación del 5%, contraste la hipótesis de que los siguientes valores
muestrales 12, 15, 14, 14, 13, 18, 14, 17, 12, 15, proceden de una distribución normal de
media 14 y varianza 2,25 (desviación típica 1,5).
Ejemplo 6. (Ejercicio 14, relación Tema 11)
Se desea verificar la aleatoriedad de la siguiente serie de valores 18, 17, 18, 19, 20, 19, 19, 21,
