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PRÁCTICA 1
Sistemas eléctricos de primer y segundo orden
Objetivo: Determinar la resistencia interna de un generador. Realizar mediciones de la constante de tiempo de circuitos de primer orden pasa-bajas y de los parámetros de diseño de un circuito de segundo orden, mediante la respuesta al escalón. Determinar el valor de los elementos que constituyen el circuito eléctrico, a partir de las mediciones anteriores.
Teoría básica
Sistema de primer orden.
La función de transferencia de un sistema de primer orden pasa-bajas es de la siguiente forma
s 1
M
H(s) τ +
Respuesta al escalón.
Si a un sistema de primer orden, con una condición inicial igual a cero, se le aplica una entrada escalón de amplitud k, la transformada de Laplace de su respuesta de estado cero es
s
k s 1
M
Yzs (s) τ +
antitransformando la ecuación anterior, se tiene
y (t) Mk(1 e )u 1 (t)
Las gráficas de la entrada escalón y la respuesta de estado cero correspondiente se muestran en la Fig. 1.
Constante de tiempo.
Se define como constante de tiempo de un sistema de primer orden, al tiempo que debe transcurrir para que la respuesta al escalón del sistema alcance el 63.2% de su valor final. En la Fig. 1(b), se observa que la respuesta de estado cero alcanza dicho valor cuando t = τ.
De la Ec. (3) puede notarse que
yzs (τ)=0.632Mk
esto es, transcurren τ segundos, a partir de la aplicación de la entrada para que la salida alcance el 63.2% de su valor final.
(a) (b)
Figura 1. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. (a) Entrada. (b) Salida.
Sistema de segundo orden.
La función de transferencia de un sistema de segundo orden es de la forma
2 n n
2
2 n s 2 s
H(s)
ω = (4)
Respuesta al escalón.
La transformada de Laplace de la respuesta al escalón, cuando las condiciones iniciales son nulas, es
s(s 2 s )
k Y (s) 2 n n
2
2 n zs
ω = (5)
donde k representa la magnitud del escalón.
Dependiendo del valor de ζ en la Ec. (5), se pueden presentar las siguientes tres formas para la respuesta al escalón
I) 0 ≤ς< 1
u (t)
sen 1 t tag 1
e y (t) k (^11)
2 2 1 2 n
t zs
n −
−
−ςω
ω −ς + −ς
ς
ς (6)
ii) ς= 1
y (t) k( 1 e ( (^1) nt)) u 1 (t) t zs
n −
ω +ω
iii) ς > 1
Figura 3. Respuesta al escalón cuando 0 < ζ < 1.
tr (Tiempo de levantamiento): Es el tiempo que transcurre para que la respuesta de estado cero pase del 10 al 90 % del valor final. En sistemas subamortiguados se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance el valor final por primera vez.
de la Ec. (6)
2 n
r 1
t ω − ς
π−φ = donde φ = cos −^1 ζ (9)
tp (Tiempo de sobrepaso): Tiempo que transcurre para que la respuesta de estado cero alcance su valor máximo.
de la Ec. (6)
2 n
p 1
t ω − ς
π = (10)
Mp (Sobrepaso o sobretiro): El sobrepaso se define en la siguiente ecuación
( )
p
p p p y
yt y M
donde y limy(t) p (^) t→∞
Se acostumbra especificar al sobrepaso en términos de porcentaje, así por ejemplo si Mp = 0.77, se dice que el sobretiro es del 77%
de la Ec. (6)
− ς
− ςπ
2 p
M e (12)
ts (Tiempo de asentamiento) Es el tiempo partir del cual la magnitud de la oscilación en la respuesta de estado cero no es mayor que un porcentaje especificado del valor permanente.
Suponiendo ese porcentaje como un 5%
n
s
t ςω
Vi
V
rg
RL
S
Figura 4. Circuito para determinar la resistencia interna del generador.
Experimentos a realizar
Experimento I
Vi
A
-A
rg
R = 1 kΩ
Vi^ +
C= 0.22 μ f
V 0
Figura 6. Circuito RC.
Experimento IV
Sistema Eléctrico de Segundo Orden.
Arme el circuito de la Fig. 7. Ajuste la amplitud A y la frecuencia de la señal cuadrada del generador de tal forma que en el oscilocopio se observe la Fig. 3.
Vi
A
-A
t
rg
L^ rL
Vi C
V 0
Figura 7. Circuito RLC serie.
El inductor y el capacitor son los mismos que se han empleados en los experimentos II y III. Calcule teóricamente los parámetros de diseño definidos por las Ecs. (9), (10), (11), (12) y (13).
Determine experimentalmente con el auxilio de un osciloscopio, los parámetros calculados anteriormente. Llene ahora la siguiente tabla.
Especificación de diseño Teórico Experimental Mp tp tr
Si existen discrepancias entre los valores medidos y los calculados teóricamente, ¿A qué las atribuye?
Equipo necesario
1 Generador de funciones 1 Osciloscopio 1 Solenoide 1 Multímetro
Material necesario
1 Capacitor de 0.22 μf 1 Resistor de 1 kΩ, 1/2 watt
Cuestionario previo
- Demuestre la Ec. (14).
- Determine la función de transferencia del circuito RL.
- A partir del resultado anterior determine la constante de tiempo.
- Determine la función de transferencia del circuito RC.
- A partir del resultado anterior determine la constante de tiempo.
- Determine la función de transferencia del circuito RLC.
- A partir del resultado anterior exprese ωn y ζ en función de R, L y C.
- Exprese las Ecs. (9), (10), (12) y (13) en función de R, L y C.
BIBLIOGRAFÍA
Desoer, C. A., and Kuh, E. S. Basic Circuit Theory Mc Graw Hil1, 1969
Hayt, W. H., Jr., Kemmerly, J. E., y Durbin, S. M. Análisis de circuitos en ingeniería. Sexta edición Mc Graw Hill, 2003
Dorf, R. C. y Svoboda, J. A. Circuitos Eléctricos. 5ª edición Alfaomega, 2003
Ogata, K. Ingeniería de Control Moderna, 3ª edición Prentice Hall Hispanoamericana, S. A., 1998
