Conceptos básicos de matrices y determinantes, Apuntes de Matemáticas

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Docente:

Unidad:

Introducción a la Matemática para la Ingeniería Matrices y Determinantes

Jaime Fernández Caycho

Logro

Al finalizar la unidad, el estudiante utiliza el concepto

de Matrices y Determinantes para resolver sistemas de

ecuaciones lineales aplicado a problemas de ingeniería.

Contenido general

• Matrices
• Determinantes
• Inversa de una matriz

Matrices y Determinantes

• Matrices
• Determinantes
• Inversa de una matriz

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.

De manera formal donde m y n indican la cantidad de filas y

columnas

Se representa por una letra mayúscula Primera Columna Segunda Fila Tercera Fila Cuarta Fila Segunda Columna Quinta Columna Primera Fila 𝟒𝒙𝟓

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 …^ 𝑎 1 𝑛

𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 …^ 𝑎 2 𝑛

Ejemplo

Comparamos:

Matriz Fila: matriz con una sola

fila.

Matriz Columna:

Matriz con una sola

columna.

Matriz Rectangular: Matriz, donde el

número de filas y de columnas son

diferentes.

Matriz Cuadrada: Matriz donde el

número de filas y de columnas son

iguales.

Diagonal

Principal

Tipo de Matrices

Matrices especiales

Matriz Transpuesta : Dada la matriz 𝐴, la

matriz 𝐴

𝑡

es aquella que se origina al

intercambiar las filas por columnas (o

viceversa), de la matriz 𝐴.

𝑡

𝑡

2x3^7

3 x 2 3 x (^3 3) x 3

Matrices especiales

Matriz Simétrica : Una matriz cuadrada 𝐴 es simétrica si

se cumple lo siguiente: 𝐴 = 𝐴

𝑡

Se cumple que :

Matriz Antisimétrica : Una matriz cuadrada 𝐴 es

antisimétrica si se cumple lo siguiente: 𝐴 = −𝐴

𝑡

Por ejemplo 𝑎 12 = 𝑎 21

Se cumple que : 𝑎𝑖𝑗 =^ −𝑎𝑗𝑖

Los elementos de la diagonal son los mismos

Los elementos de la diagonal deben ser cero

Por ejemplo 𝑎 13 = −𝑎 31

Operaciones con matrices

Producto de un escalar y una matriz

𝑚×𝑛

𝑚×𝑛 Se define: = 𝑘𝑎 11 𝑘𝑎 12 𝑘𝑎 1 𝑚 𝑘𝑎 21 𝑘𝑎 22 𝑘𝑎 2 𝑚 𝑘𝑎𝑚 1 𝑘𝑎𝑚 2 𝑘𝑎𝑚𝑚 k. 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 1 𝑚 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 2 𝑚 𝑎𝑚 1 𝑎𝑚 2 𝑎𝑚𝑚 Ejemplo : Sea la matriz A y un escalar k= 3 𝐴 = 3 5 2 1 𝑘𝐴 = 3 3 5 2 1 = 9 15 6 3

Multiplicación de matrices Sean las matrices A y B , se verifica la existencia

del producto si Número de columnas de “A” =

número de filas de “B”

𝐴𝑚× 𝑝 ∙ 𝐵 𝑝 ×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛

Donde 𝑐𝑖𝑗 = ෍

𝑘= 1 𝑘=𝑝

Es decir 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 1 𝑝 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 2 𝑝 𝑎𝑚 1 𝑎𝑚 2 𝑎𝑚𝑝 . 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 1 𝑛 𝑏 21 𝑏 22 𝑏2𝑛 𝑏𝑝1 𝑏𝑝2 𝑏𝑝𝑛 = 𝑪 = 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 1 𝑚 𝑐 21 𝑐 22 𝑐 2 𝑚 𝑐𝑚 1 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚𝑚 𝑐 11 = 𝑎 11. 𝑏 11 + 𝑎 12. 𝑏 21 + ⋯ + 𝑎 1 𝑝. 𝑏𝑝 Entonces el producto A.B

Determinantes

• Determinantes de 2 x 2
• Determinantes de 3 x 3.
• Propiedades de los determinantes
• Determinantes de orden mayor a tres
• Sistema de ecuaciones lineales. Regla de

Cramer

Determinantes de orden 2x

Se calcula en matrices cuadradas

y se denota

𝑆𝑖 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ⇒ 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎 12 Ejemplo: Calcula el determinante de la siguiente matriz

Solución:

𝐴 = 6 × 3 − 5 × − 4

Determinante de orden 3 x 3 : Método de Sarrus 𝐴 =

2 x 2 x 3 1 x 2 x 1 +4x3x2^ + 3 x 3 x 1 Suma = 35

• 1 x 3 x 1 + 1 x 3 x 4 Suma = 27 𝐴 = 27 − 38 = − 7 Resolución Ejemplo Calcula el determinante de la matriz

Propiedades de los determinantes

1. Si los elementos de una fila (o columna) de A es 0, entonces
   2. Si una matriz tiene dos líneas proporcionales o iguales entonces su determinante vale cero. entonces 𝐴𝐵 = 𝐴. 𝐵 𝐴 = 0 1 1 0 2 3 0 4 3 𝐴 = 1 3 3 2 6 5 3 9 7 𝐴 = 0 𝐴 = 0 𝐴 = 0
2. Si una matriz es triangular, su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 𝐴 = 1 1 3 0 2 5 0 0 7 𝐴 = 1 × 2 × 7 4. El determinante de A y su transpuesta son iguales. (^) 𝐴 = 𝐴𝑇
3. El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B es igual al producto de los determinantes de A y de B 𝐴 = 0
   6. Si se intercambian dos líneas de un determinante entonces cambia su signo. 𝐴 = 2 1 1 1 2 3 0 4 1 = − 9 1 2 1 2 1 3 4 0 1 = 9