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TEMA

Objetivos.

Sucesiones numéricas.

Series numéricas.

Sucesiones de números reales: monotonía, acotación y convergencia Se llama sucesión de números reales a toda aplicación f: N

R. El elemento

f(1) se denomina primer término de la sucesión y llamamos términogeneral de la sucesión al enésimo término f(n) Cuando hablemos de la sucesión

la podemos denotar como

Dadas dos sucesiones {a

} y {bn

} denominamos sucesión suma a la sucesiónn

que tiene por término general la suma de los términos generales

...} ... , {^

2 1

an a a^

} {^ an

Sucesiones de numeros reales: monotonía, acotación y convergencia Definiciones:

Tipos de sucesiones Una sucesión {a

} que posee límite finito se dice que es convergente, es decirn

l

a

R

l^

n

n

∃^

∞→

lim/

Se dice que una sucesión {a

} es divergente si:n

Una sucesión se llama oscilante si no es convergente ni divergente

n^

∞→

+∞

∞ →

n

n

a lim

Subsucesiones Se dice que

es una subsucesión de {a

} si {rn

} es una sucesión estrictamenten

creciente de números naturales
^

Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, es único.
^

Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.

{^

rn

a

^

Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.
^

Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, todas sus subsucesiones tienentambién el mismo límite.
^

Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.Además el límite coincide con el supremo del conjunto de los términos de lasucesión.
^

Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente esconvergente. Además el límite coincide con el ínfimo del conjunto de lostérminos de la sucesión.
^

Toda sucesión monótona creciente y no acotada superiormente tiene límite.
^

Toda sucesión monótona decreciente y no acotada inferiormente tiene límite

∞

Teorema de la sucesión intermedia Supongamos que para todo n suficientemente grandeSi

entonces

n n n^

c

a

b^

l

c

b^

n

n n

n^

=

=^

∞ →

∞ →

lim

lim

(^

) −∞ =

∞→

l ó l ó R l l

an limn

Corolario:Si

y^

es acotada, entones

En efecto,

y basta aplicar el teorema de la

sucesión intermedia

0 } {^

→ a^ n

{^

b^ n

0

}

{^

→

⋅^

n n^

b a n n n n

n^

a K b a

b a^

·

·

0

≤

= ⋅ ≤

Algunos limites importantes

p Si

l

a

entonces l

a a Si

n^

n

n n

=

>

→

→

0

1

lim , 1 0

R a

e

a n

a

a Si

n

a

mayor

un es n

n

n

p Si

n

p Si

a

n

n

n

n

p

p

n

p

n

∈ ∀

=   

^  

=

<

=

>

=

> ∞ →

∞ → ∞ →

∞ →

1 lim

0

lim , 1

log

inf

0

log lim , 0

0

1

lim , 0

Sucesiones Recurrentes Para calcular el límite de una sucesión recurrente, podemos intentar

demostrar la existencia de dicho límite mediante técnicas de monotonía yacotación, usando para ello el principio de inducción Por ejemplo, para demostrar que una sucesión recurrente es estrictamente

creciente mediante inducción comprobamos en primer lugar que a

< a 1

A continuación suponemos por hipótesis de inducción que a

< an

n+

y

demostramos que también a

n+

< a

n+

Introducción Sea {a

} una sucesión de números reales y formemos una nueva sucesión {sn

}n

de la forma:

n ∑

La sucesión así formada se llama serie y se representa

El numero s

es la suma parcial n-ésima de la serien

El numero a

es el término n-ésimo de la serien

n k

k

n

n^

a a a a s a a s a

s^

1 2 1 2 1 2 1 1

∞ ∑=^1 n

an

La serie geométrica Si

entonces

Si

entonces

1 | |^

< r^

r r

r n

n

−

+∞ ∑=

1

1

1

1 | |^

=

>^

r ó

r^

divergente es r n

n +∞ ∑^ = 1

Si

la serie es oscilante

Ejemplo:

n=^1

(^1) − =r

1

∑

∑

∞ =

∞ =

n

n

n n

La serie geométrica

(Demostración)

1

3

2

2

1

...

· ;

...

=

• • • = + + + = =

∑

n

n

n

n k

k

n^

r r r s r r r r r s

r r s

r si

pues Así

r r s r

n

n

1

1

+^

^ − 

impar parn n

s

r Si

divergente

n s

r Si

n^ n

,^1

divergente es s

entonces y

divergente es

r

entonces

r Si

r r

s

entonces y

r

entonces

r Si

r

s

r si

pues Así

r r s r

n

n

n

n

n

n

n

(^11)

1

Operaciones con Series
^

Si
^

Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir

∑

∑

∑

∑

∞ =

∞ =

∞ =

∞ =

=

=

=

=^

1

1

1

1

· ) · (

)

(^

n

n

n

n n

n

n

n

n^

l a m l b a

entonces m b

y l a

α

α

^

Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir grupos de términos consecutivos por sus sumas
^

Si una serie es divergente, lo sigue siendo al sustituir grupos de términosconsecutivos por sus sumas
^

Para series oscilantes lo anterior, en general, no se verifican

Series de Términos no Negativos Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de

n

a

a^

n

n

n^

∀

≥

∞ ∑=

0

1

Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de

sumas parciales es acotada Una serie con términos no negativos es convergente o bien divergente a

pero nunca es oscilante (debido a que s

es monótona creciente)n

Ejemplo:
^

La serie

llamada serie armónica generalizada converge si α > 1 y

diverge si α ≤ 1

∞+

∞ ∑=^1

1 n^

αn