Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Fonaments matemàtics, Profesor: Francesc Prats, Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
1 / 58
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Mercè Mora, José Luis Ruiz
Departament de Matemàtiques Facultat d’Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya
Juliol 2016
Les teories científiques es presenten, una vegada elaborades, de manera deductiva: a partir d’uns quants principis bàsics es poden derivar les demés veritats, mitjançant raonament lògic. La lògica desenvolupa i proporciona mètodes i tècniques que ens permeten distingir els arguments correctes dels incorrectes.
Proposicions: són les oracions susceptibles de ser vertaderes o falses (però no les dues coses alhora).
Exemples Són proposicions: “Avui plou”; “El quadrat de 2 és 5”. No són proposicions: “x > 2”; “Has llegit aquest llibre?”.
Valors de veritat: una proposició pren el valor 1 si és certa i 0 si és falsa. Les proposicions poden ser simples o compostes. Una proposició composta està formada per proposicions simples unides mitjançant connectives: no, i, o, si...llavors..., si i només si.
Els raonaments lògics són vàlids en virtut de la seva forma. Per a concentrar-nos en la forma, treballem amb un llenguatge buit de contingut (llenguatge formal). No treballem amb proposicions reals sinó amb símbols o lletres proposicionals, purament formals, buits de significat.
Negació ¬: equival a no en llenguatge natural. ¬p és una proposició certa si p és falsa, i falsa si p és certa.
Conjunció ∧: equival a i en llenguatge natural. p ∧ q és una proposició certa si p i q són certes, i falsa si alguna de les dues és falsa.
Disjunció ∨: equival a o (inclusiu) en llenguatge natural. p ∨ q és una proposició certa si p és certa o si q és certa, i falsa si p i q són falses.
Condicional →: equival a Si... , llavors... en llenguatge natural. p → q és una proposició certa si p és falsa o q és certa, i és falsa si p és certa i q és falsa.
Bicondicional ↔: equival a... si, i només si,... en llenguatge natural. p ↔ q és una proposició certa si les dues són certes o les dues són falses, i és falsa si una és certa i l’altra falsa.
Les subfórmules d’una fórmula ϕ són totes les fórmules generades per les regles següents: (^1) Si ϕ és una lletra proposicional, l’única subfórmula de ϕ és ella mateixa. (^2) Si ϕ = ¬α, les subfórmules de ϕ són ϕ més les subfórmules de α. (^3) Si ∗ és una connectiva binària i ϕ = α ∗ β, les subfórmules de ϕ són ϕ més les subfórmules de α més les subfórmules de β.
Exemple Les subfórmules de ¬p → (q ∨ r ) són:
¬p → (q ∨ r ), ¬p, q ∨ r , p, q, r
Les taules de veritat donen el valor de veritat d’una fórmula proposicional en funció dels valors de veritat de les lletres proposicionals.
p ¬p 1 0 0 1
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
Siguin α, β i γ fórmules proposicionals. (^1) Principi del tercer exclòs: α ∨ ¬α. (^2) Principi de la no contradicció: ¬(α ∧ ¬α). (^3) Addició: α → (α ∨ β). (^4) Simplificació: (α ∧ β) → α. (^5) Modus Ponens: ((α → β) ∧ α) → β. (^6) Modus Tollens: ((α → β) ∧ ¬β) → ¬α. (^7) Sil.logisme disjuntiu: ((α ∨ β) ∧ ¬α) → β. (^8) Sil.logisme hipotètic: ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ).
Equivalència lògica: dues fórmules proposicionals α, β són lògicament equivalents si tenen la mateixa taula de veritat. Dues fórmules α i β són equivalents si α ↔ β és una tautologia. Notació: α ≡ β.
Exemples Si τ és una tautologia i α és una proposició, llavors (τ → α) ≡ α. En particular: (α ∨ ¬α) → β ≡ β.
Proposició contrarrecíproca de p → q: ¬q → ¬p. Un condicional i la seva forma contrarrecíproca són equivalents.
Proposició recíproca de p → q: q → p. Un condicional p → q i el condicional recíproc q → p NO són equivalents.
Predicat: afirmació que depèn d’una o més variables. Notació. P(x), P(x, y ), etc. Univers de discurs: conjunt U no buit de valors que poden prendre les variables d’un predicat. Si P(x) és un predicat amb univers de discurs U i a ∈ U, llavors P(a) és una proposició. Quantificador universal ∀: que ∀x P(x) sigui certa significa que “per a tot x de U, P(x) és una proposició certa”. Quantificador existencial ∃: que ∃x P(x) sigui certa significa que “existeix x de U tal que P(x) és certa”.
Negació dels quantificadors ¬∀x P(x) és equivalent a ∃x ¬P(x). ¬∃x P(x) és equivalent a ∀x ¬P(x)
Commutativitat dels quantificadors ∀x∀y P(x, y ) ≡ ∀y ∀x P(x, y ) ∃x∃y P(x, y ) ≡ ∃y ∃x P(x, y ) ∀x∃y P(x, y ) i ∃y ∀x P(x, y ) NO són equivalents.
Altres propietats ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x))
Axioma: proposició que assumim certa en una teoria determinada. Teorema: afirmació que es pot provar que és certa en una teoria determinada. Demostració: argument lògic correcte per a provar un teorema. S’utilitzen regles d’inferència que es deriven de tautologies.
