FORMULARIO DE VARIABLE COMPLEJA
z = x + iy, Re z = x, Im z = y; x1 + iy1 = x2 + iy2 si y
solo si x1=x2 y y1=y2.
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
(x1 + iy1)*(x2 + iy2)=(x1x2–y1y2) + i(y1x2+x1y2)
, , ,
; ,
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;
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; ; ;
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;
;
;
. Sea con A abierto y si para toda e>0 existe
d > 0 tal que para se tiene que . Si existe este es único.
Siy, entonces:
Si f y g son iguales en una vecindad de z0 excepto en z0 y
entonces
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y), entonces: si y solo si y .
f es continua en z0 si
Si f y g son continuas en z0 entonces:
f+g es continua en z0. fg es continua en z0
f/g es continua en z0 siempre que g(z0) ≠ 0
f(z)=u(x,y) + iv(x,y) es continua en z0=x0+iy0 si y solo si
u(x,y) y v(x,y) son continuas en (x0, y0).
a) f es derivable en z0 si f’(z0) existe.
f es derivable en A⊂C si f’(z0) existe ∀z0∈A, en este
caso se dice que f es analítica u holomorfa en A.
b. f es analítica en z0 si f’ existe en una vecindad de
z0.
Una función analítica en C se llama entera.
Si f’(z0) entonces f es continua en z0.
Teorema de Cauchy – Riemann. Si f(z)=u+iv es
analítica en z0=x0+iy0 entonces las funciones u y v
satisfacen: y en (x0, y0)
f(z)=u+iv es analítica en (x0,y0) si y solo si u y v tienen
primeras derivadas parciales continuas en (x0,y0) y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann en
(x0,y0).
Si f y g son analíticas en A, entonces:
f+g es analítica en A y (f+g)’ = f’ + g’.
fg es analítica en A y (fg)’ = fg’ + f’g.
f/g es analítica en A y (f/g)’=(gf’-fg’)/g2 g≠0.
Integrales:
Si Γ es una reparametrización de γ.
Si ∃ F analítica tal que F’=f entonces:
Teorema de Cauchy – Goursat. Si f es analítica dentro
y sobre una curva cerrada simple, entonces:
Si f es analítica en una región simplemente conexa A y γ
es suave en A, entonces: .
Análisis de Fourier
Si n y m , no negativos distintos,
Para cualquier par de enteros m y n
Para cualquier entero positivo n:
Sea f una función integrable en [-L, L], los coeficientes
de fourier en [-L, L] son: La serie de Fourier de f es:
Sea f una función integrable en [-L, L]. Si f es par Si f es
impar Si f es par, la serie de fourier es en donde y
Si f es impar su serie de Fourier es en donde
Si f continua en [-L, L] y f(L)=f(-L) y f’ c.p.t entonces:
La serie de Fourier en cosenos de f en [0, L] es como la
serie de una función par. La serie de Fourier en senos es
como la serie de una función impar.
La transformada finita de Fourier en senos Fs
de f se def:
. Sean f y f’ cont en [0, pi], f’’ c.p.t.
con
n=1,2,3,...
La transformada finita de Fourier en cosenos F
c de f:
. Sean f y f’ cont en [0, pi], f’’ c.p.t.
con
n=1,2,3,...
Serie de Fourier compleja de f (con periodo T):
donde 0=2/T y
La integral de Fourier o representación integral:
t R en donde:
y
La integral de Fourier en cosenos: donde pasa lo mismo
con la integral de Fourier en senos.
La integral de fourier compleja:
donde:
La transformada de fourier:
La transformada inversa de Fourier:
Tabla de derivadas:
si y=f(u), u=g(x):
INTEGRALES: