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Una descripción detallada de las superficies planas, en particular de las esferas y cilindros. Se explican las ecuaciones representativas de estas superficies, tanto en coordenadas cartesianas como en esféricas y cilíndricas. Además, se muestra cómo convertir integrales en estos sistemas de coordenadas.
Tipo: Diapositivas
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República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Maracaibo. Cátedra: Geometria Analitica. Profesora: Belkis Soto. Elaborado por: Romero S, Ronny J C.I: V Escuela: 49 Maracaibo, Febrero del 2021.
Se llama superficie al lugar geométrico de todos los puntos que tienen representación gráfica en el espacio de tres dimensiones y cuya relación matemática representativa cuenta con una sola ecuación del tipo: F(x, y , z) = O
El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas: Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar.
A la inversa, es posible pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas: Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera: Por ejemplo, se pide investigar el volumen del ejemplo usado para explicar la integración en coordenadas cilíndricas. Para ello la conversión a coordenadas esféricas se hace de la siguiente formal:
Ecuación de la superficie cónica: x^2 + y^2 = R^2 (superficie cilíndrica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares) (superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z son elipses -de semiejes a, b -)
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x , y y z , se usan r , el ángulo theta y la variable z , x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.
El cono abre hacia el eje z , así que la región plana que se usa para obtener el volumen está en el plano xy, y corresponde a una circunferencia de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así: La integral se calcula igual que en cualquier integral común, respetando el orden de integración.
