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Facultad de Ingenier´ıa IMERL PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA Curso 2008 Pr´actico 4
Variable aleatoria y funci´on de distribuci´on
Ejercicio 1 Sea X una variable aleatoria (v.a.) que toma los valores {−2; −1; 1; 1, 5; 5} con probabilidades 16 , 16 , 16 , (^14) y 14 respectivamente. Graficar su funci´on de distribuci´on.
Ejercicio 2 Se consideran las funciones F : R → R tales que:
F (x) =
βex^ si x < 0 β si x = 0 1 / 4 si 0 < x < 1 α (^) 1+xx si 1 6 x Hallar α y β para que F sea una funci´on de distribuci´on.
F (x) =
α + ex^ si x 6 − 1 βx + γ si − 1 < x 6 1 δ + εx si 1 < x Hallar α, β, γ, δ, ε para que F sea una funci´on de distribuci´on.
Ejercicio 3 Se considera las funci´on de distribuci´on FX : R → R de la variable aleatoria X. Probar que:
- P (a < X 6 b) = FX (b) − FX (a)
- P (X = a) = FX (a) − l´ım x→a−^
FX (x)
- P (a 6 X 6 b) = FX (b) − l´ım x→a−^
FX (x)
- P (a < X < b) = l´ım x→b−^
FX (x) − FX (a)
- P (a 6 X < b) = l´ım x→b−^ FX (x) − l´ım x→a−^ FX (x)
- P (X > a) = 1 − FX (a)
- P (X > a) = 1 − l´ım x→a−^
FX (x)
Ejercicio 4 De las gr´aficas de la figura, indicar cu´ales son funci´on de distribuci´on (f.d.) y cu´ales no lo son.
−1.5−10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
1.
−1.5 −10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
2.
−1.5 −10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
3.
−1.5 −10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
4.
−1.5 −10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
5.
−1.5 −10 −5 0 5 10
−
−0.
0
1
6.
(
Ejercicio 5 Se considera una variable aleatoria X cuya funci´on de distribuci´on es:
- FX (x) =
0 si x < − 3 1 / 4 si − 3 6 x < 1 3 / 4 si 1 6 x < 2 1 si 2 6 x Calcular:
a) P (− 3 6 X 6 1) b) P (− 3 < X 6 1) c) P (− 3 6 X < 1) d ) P (− 3 < X < 1) e) P (− 2 < X < 2) f ) P (− 1 < X < 0)
- FX (x) =
0 si x < 0 1 / 4 si 0 6 x < 1 1 / 3 si 1 6 x < 2 x/ 6 si 2 6 x < 4 x/8 + 1/ 4 si 4 6 x < 6 1 si 6 6 x Calcular:
a) P (1 6 X 6 5) b) P (2 < X 6 4) c) P (0 < X < 1) d ) P (4 6 X < 6)
b) Probar que la funci´on p : A → R tal que p (k) = CNn−^ −kD CkD CnN^ con^ k^ ∈^ A^ define una probabilidad en A.
- Una empresa quiere comprar cajas que contienen 40 herramientas cada una. El procedimiento de control de calidad de cada caja consiste en tomar una muestra de 5 herramientas al azar de dicha caja y rechazarla si se encuentra una herramienta defectuosa. Si la caja a inspeccionar tiene 3 defectuosas, ¿cu´al es la probabilidad de rechazar la caja?
- Ahora de un lote de 10 herramientas se seleccionan 4 al azar. Si el lote contiene 3 herramientas con defectos de fabricaci´on, calcular la probabilidad de que:
a) las 4 funcionen. b) al menos 2 no funcionen. c) s´olo una funciona. d ) por lo menos una funciona.
Ejercicio 11 Graficar la funci´on de distribuci´on y la funci´on de probabilidad de una variable aleatoria con distribu- ci´on Bin (6, 0 ,25).
Ejercicio 12 * Diremos que θ es una moda de la variable aleatoria discreta X si y s´olo si se cumple que:
P (X = θ) = pX (θ) ≥ pX (x) = P (X = x) ∀x ∈ RX
Sea X ∼ Bin (n, p)
- Probar que: pX (k) pX (k − 1)
(n + 1) p − k (1 − p) k k = 1,... , n
- Calcular la(s) moda(s) de X discutiendo seg´un p. Sugerencia: estudiar el cociente de la parte anterior y compararlo con 1.
Ejercicio 13 En los siguientes ejercicios se asume que los fen´omenos se comportan seg´un la distribuci´on de Poisson, dada por:
X ∼ P (λ) ⇔ pX (k) = e−λ^
λk k!
k = 0, 1 ,...
- El n´umero promedio de part´ıculas radiactivas que pasan a trav´es de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. ¿Cu´al es la probabilidad de que entren 6 part´ıculas al contador en un milisegundo determinado?
- Se sabe que 10 es el n´umero promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por d´ıa a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones- tanque en un d´ıa. ¿Cu´al es la probabilidad de que en un determinado d´ıa se tengan que regresar algunos de los camiones-tanque?
- Se certifica la calidad de discos de computadora pas´andolos por un certificador que cuenta el n´umero de sectores defectuosos. Una determinada marca de discos tiene un promedio de 0, 1 sectores defectuosos por disco. Calcular la probabilidad de que::
a) un disco que se inspeccione no tenga sectores defectuosos. b) un disco que se inspeccione tenga m´as de un sector defectuoso. c) dos discos que se inspeccionen no tengan sectores defectuosos.
Ejercicio 14 Se considera 0 < p < 1 y RX = { 1 , 2 , 3 ,.. .} los enteros positivos.
- Probar que pX : RX → [0, 1] dada por pX (k) = (1 − p)k−^1 p es una funci´on de probabilidad. Si una variable aleatoria discreta X tiene por funci´on de probabilidad pX como antes se dice que X tiene distribuci´on Geom´etrica de par´ametro p y se denota X ∼ Geo (p).
- Consideramos un experimento aleatorio donde nos interesa estudiar la ocurrencia o no de un suceso A con probabilidad p (0 < p < 1). Cada vez que ocurre A diremos que hay ´exito y cada vez que ocurre Ac^ diremos que hay fracaso. Repetimos el experimento en forma independiente (es decir lo que ocurre en una repetici´on no influye en las otras) hasta obtener ´exito (ocurre A). Sea X una variable aleatoria que cuenta la cantidad de repeticiones. Calcular P(X = n) con n ∈ N (la probabilidad de tener que realizar n repeticiones para obtener un ´exito) y deducir que X ∼ Geo (p).
- El tablero de un conmutador telef´onico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una l´ınea desocupada para sus llamadas. Puede ser de inter´es saber el n´umero de intentos necesarios que se requieren para tener una l´ınea disponible. Suponga que p = 0,05 es la probabilidad de tener l´ınea durante la mayor congesti´on de llamadas. Se tiene el inter´es particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicaci´on.
Ejercicio 15 Sea X el n´umero de intentos independientes (de un experimento aleatorio) que hay que realizar para observar por k-´esima vez (k ≥ 1) el suceso A, con P (A) = p.
- Hallar la distribuci´on de X. Esta distribuci´on se llama Binomial Negativa de par´ametros k y p y se escribe X ∼ BN (k, p)
- En una poblaci´on con 100000 personas donde 1800 son portadores de una enfermedad, se realiza un muestreo con reposici´on donde se puede suponer equiprobabilidad. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener una muestra con 4 enfermos sin tener que seleccionar m´as de 8 personas?
- Hallar la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea s´olo caras o s´olo cruces por segunda ocasi´on en el quinto lanzamiento.
- Si X 1 , X 2 ,... Xkiid ∼ Geo (p), hallar la distribuci´on de X = X 1 + X 2 +... + Xk.
