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Facultad de Ingenier´ıa IMERL PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA Curso 2009 Pr´actico 3
Probabilidad Condicional e Independencia
Ejercicio 1 Se consideran los sucesos A y B tales que P (A) = 14 y P (A ∪ B) = 13. Calcular P (B) en los siguientes casos:
- Si A y B son independientes
- Si A y B son disjuntos (o excluyentes)
- Si A es un subconjunto de B
Ejercicio 2 Si A y B son sucesos independientes y B y C tambi´en son sucesos independientes. ¿Puede afirmarse que A y C son independientes? En caso afirmativo demostrarlo, en caso contrario dar un contraejemplo.
Ejercicio 3 Demostrar que A es independiente de A si y s´olo si P (A) = 0 ´o P (A) = 1.
Ejercicio 4 Se consideran los eventos A y B tales que
- P (A) = 12 , P (B) = 13 y P (A ∩ B) = 14. Calcular
a) P (A|B) b) P (B|A) c) P
AC^ |B
d ) P
BC^ |A
e) P
AC^ |BC^
f ) P
BC^ |AC^
- P (A) = 38 , P (B) = 58 y P (A ∪ B) = 34. Calcular
a) P (A|B) b) P (B|A)
- B ⊆ A. Calcular P (A|B)
- A y B son disjuntos (o excluyentes), esto es A ∩ B = ∅. Suponiendo P (B) 6 = 0, calcular P (A|B). ¿Son A y B independientes? ¿Qu´e pasa si P (B) = 0
Ejercicio 5
- Una caja contiene 12 l´amparas de las cuales 4 son defectuosas. Se toman al azar tres l´amparas del lote una tras otra. Hallar la probabilidad de que las tres l´amparas no sean defectuosas.
- Se consideran ahora tres cajas con l´amparas:
La caja 1 contiene 10 l´amparas de las cuales 4 son defectuosas La caja 2 contiene 6 l´amparas de las cuales 1 es defectuosa La caja 3 contiene 8 l´amparas de las cuales 3 son defectuosas
Escogemos al azar una caja y luego sacamos una l´ampara al azar ¿Cu´al es la probabilidad de que la l´ampara sea defectuosa?
Ejercicio 6
- Se considera una caja que contiene 6 bolillas rojas, 4 blancas y 5 azules. Se extraen tres bolillas en forma sucesiva (sin reposici´on). Calcular la probabilidad que la primera sea roja, la segunda blanca y la tercera azul
- Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2.
a) Hallar la probabilidad que la bola extra´ıda sea roja. b) Si se sabe que la bola extra´ıda es roja, ¿cu´al es la probabilidad que provenga de la caja 1?
Ejercicio 7
- Tres jugadores tiran al blanco. La probabilidad de que el jugador 1 d´e en el blanco es 16 , la probabilidad de que el jugador 2 d´e en el blanco es 14 y la probabilidad de que el jugador 3 d´e en el blanco es 13. Cada uno dispara una vez.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez? b) Si s´olo uno da en el blanco, ¿cu´al es la probabilidad que haya sido el jugador 1?
- La probabilidad de que el jugador 1 d´e en el blanco es 14 y la probabilidad de que el jugador 2 d´e en el blanco es 13.
a) Si cada uno dispara dos veces, ¿cu´al es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por lo menos una vez? b) Supongamos ahora que cada uno dispara una vez. Dado que el blanco fue alcanzado sola- mente una vez, ¿cu´al es la probabilidad que haya sido el jugador 1?
Ejercicio 8 Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de forma diferente en determinada circun- stancia; el 70 % de las mujeres reacciona positivamente, mientras s´olo el 40 % de los hombres reacciona positivamente ante la misma circunstancia. Se someti´o a una prueba a un grupo de 20 personas, 15 mu- jeres y 5 hombres para descubrir sus reacciones. Una prueba escogida al azar de las 20 result´o negativa. ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido realizada por un hombre?
Ejercicio 9 Este ejercicio consiste en demostrar y aplicar una generalizaci´on de la F´ormula de Bayes.
- Sea B 1 , B 2 ,... , Bn una partici´on de Ω (es decir B 1 , B 2 ,... , Bn incompatibles y
⋃n i=
Bi = Ω) y sea A otro suceso cualquiera, probar que
P (Bj |A) =
P (A|Bj ) P (Bj ) ∑^ n i=
P (A|Bi) P (Bi)
para todo j = 1,... , n.
- En un pa´ıs hay cuatro partidos pol´ıticos. Se sabe que:
El 35 % de la poblaci´on pertenece al partido I El 31 % pertenece al partido II El 28 % pertenece al partido III El 6 % pertenece al partido IV Entre los adherentes al partido I, un 36 % corresponde a personas con ingresos inferiores a dos salarios m´ınimos Entre los adherentes al partido II, esa proporci´on es del 52 %
- Calcule P (D|B), esto es, la probabilidad de que un jugador sancionado haya consumido anfeta- minas.
Ejercicio 12 Examen, febrero 2004 De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuaci´on se extrae una bola al azar de la segunda caja.
- ¿Cu´al es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja?
- ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda de la segunda caja sea roja?
- Si la bola extra´ıda de la segunda caja es roja, ¿cu´al es la probabilidad de que sea la misma bola que se extrajo de la primera caja?
