probabilidad, Apuntes de Estadística

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Estad´ıstica I

Tema 4: Probabilidad

Tema 4. Probabilidad

Contenidos

I (^) Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos.

I (^) Definici´on de probabilidad. Propiedades.

I (^) Probabilidad condicionada y ley de la multiplicaci´on. Independencia.

I (^) Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Sucesos: conceptos b´asicos

Intersecci´on de sucesos: Si A y B son dos sucesos del espacio muestral Ω, entonces la intersecci´on, A ∩ B, es el conjunto de todos los sucesos de Ω que est´an en A y en B.

Representaci´on en diagramas de Euler-Venn:

Sucesos: conceptos b´asicos

A y B son sucesos incompatibles si no tienen ning´un suceso elemental en com´un i.e., el conjunto A ∩ B es vac´ıo

Sucesos: conceptos b´asicos

Sucesos triviales:

I (^) Suceso seguro Ω: conjunto = espacio muestral I (^) Suceso imposible ∅: conjunto = conjunto vac´ıo

Complementario o suceso contrario

El complementario de un suceso A es el conjunto de todos los sucesos elementales de Ω que no est´an en A.

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Consideremos el experimento aleatorio “resultado observado al lanzar un dado”:

I (^) suceso elemental: el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 I (^) espacio muestral: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } I (^) suceso: A = { 2 , 4 , 6 } B = { 4 , 5 , 6 } El suceso A es “sale un n´umero par”. El suceso B es “sale un n´umero mayor que tres”.

Probabilidad

Probabilidad cl´asica (regla de Laplace)

Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales son equiprobables. Si tenemos k sucesos elementales,

P(A) =

k

× tama˜no de A

De esta manera, la probabilidad es una aplicaci´on que asigna a cada suceso A un valor num´erico P (A) ∈ [0, 1].

Propiedades de la probabilidad

I 0 ≤ P(A) ≤ 1.

I (^) Sea A = {e 1 , e 2 ,... , en}, entonces P(A) =

∑n i=1 P(ei^ ).

I (^) P(Ω) = 1 y P(∅) = 0.

I (^) Complementario: P( A¯) = 1 − P(A).

I (^) Uni´on: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

I (^) Si A y B son incompatibles (A ∩ B = ∅), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Ejemplo: lanzamiento de un dado

I (^) Probabilidad de que salga par (A =“par”) o mayor que tres (B =“mayor que 3”)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Como A ∩ B = { 4 , 6 }, entonces P(A ∩ B) = 26 = (^13)

P(A ∪ B) =

I (^) Probabilidad de que salga par o igual a uno. Los sucesos A = { 2 , 4 , 6 } y C = { 1 } son incompatibles (A ∩ C = ∅) por tanto

P(A ∪ C ) = P(A) + P(C ) =

Ejemplo: probabilidad condicional

I (^) Jugamos a la ruleta y apostamos a los n´umeros 3, 13 y 22. ¿Cu´al es la probabilidad de ganar?

I (^) El espacio muestral es Ω = { 0 , 1 , 2 ,... , 36 } por lo que el n´umero de sucesos elementales es 37. Definimos el suceso A = ”nuestra apuesta” = { 3 , 13 , 22 } que contiene tres sucesos elementales.

I (^) Por lo tanto, la probabilidad de ganar es P (A) = 373.

I (^) Justo antes de empezar la partida, nos dicen que la ruleta est´a trucada de manera que siempre sale un n´umero impar. ¿Cu´al es ahora nuestra probabilidad de ganar? ¿Es la misma que antes?

Ejemplo: Probabilidad condicional

I (^) Definimos el suceso B =“Siempre sale impar”= { 1 , 3 , 5 ,... , 35 }, que contiene 18 sucesos elementales.

I (^) Entonces, puesto que A ∩ B = { 3 , 13 }, la probabilidad condicionada nos queda:

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

2 37 18 37

I (^) Notar que cuando nos dicen que la ruleta est´a trucada, el espacio muestral deja de ser el inicial, pues nunca puede aparecer un n´umero par, y se transforma en Ω∗^ = B = { 1 , 3 , 5 ,... , 35 }. La probabilidad de A en Ω∗^ es ahora 19.

I (^) Puesto que P(A) 6 = P (A|B), los sucesos A y B no son independientes.

Ejemplos

De una baraja espa˜nola, saco dos cartas sin reposici´on. Probabilidad de que: I (^) la primera carta sea copa: P(A) = 1040. I (^) la segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue: P(B|A) = 399. I (^) las dos cartas sean copas: P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = 3991040.

Tiro dos dados. Probabilidad de que: I (^) en el primer dado salga un uno: P(C ) = 16. I (^) en el segundo dado salga un uno, sabiendo que en el primero sali´o uno: P(D|C ) = P(D) = 16. I (^) en el primer dado salga un uno, si en el segundo sali´o uno: P(C |D) = P(C ) = 16. I (^) en los dos dados salga uno: P(C ∩ D) = P(D)P(C ) = 1616 (sucesos independientes)

Ejemplo

I (^) En la baraja espa˜nola, los siguientes conjuntos de sucesos definen particiones del espacio muestral:

I (^) Ω = {oros, copas, espadas, bastos}.

I (^) Ω = {ases, treses, sotas, caballos, reyes, resto de cartas}.

Ley de probabilidad total

Dada una partici´on del espacio muestral, B 1 , B 2 ,... , Bk , y dado un suceso A, se tiene que

P(A) = P(A ∩ B 1 ) + P(A ∩ B 2 ) +... + P(A ∩ Bk ) = = P(A|B 1 )P(B 1 ) + P(A|B 2 )P(B 2 ) +... + P(A|Bk )P(Bk ).