Tema 3: Probabilidad en Estadística - Prof. Molina Fernández, Apuntes de Estadística

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Tema 3

Probabilidad

ESTADÍSTICA

Grados en Física y en Matemáticas

Contenidos del Tema

1 Fenómenos aleatorios

(^2) Nociones básicas sobre sucesos

(^3) Definición clásica de probabilidad

(^4) Definición frecuencial de probabilidad

5 Definición axiomática de probabilidad

(^6) Probabilidad condicionada

(^7) Principales resultados sobre probabilidad condicionada

1. Fenómenos aleatorios

Tipos de Fenómenos

Atendiendo a la incertidumbre que se tiene sobre el resultado de la observación de un fenómeno cabe distinguir entre fenómenos determinísticos y fenómentos aleatorios.

Fenómenos Determinísticos

Sus resultados se pueden predecir. En consecuencia, no hay incertidumbre sobre el resultado que se obtendrá.

El tiempo que tarda en caer un objeto. La longitud de alargamiento producida por un peso colgado de un muelle.

1. Fenómenos aleatorios

Fenómenos Aleatorios

Hay incertidumbre sobre el resultado. Se conocen los posibles resultados pero no se sabe cual de ellos sucederá. Al conjunto de posibles resultados se le denomina espacio muestral del fenómeno aleatorio, lo denotaremos con la letra Ω.

Ejemplo 1

Lanzamiento de dos monedas (una de 1 euro y otra de 2 euros).

Ω = {(Cara, Cara), (Cara, Cruz), (Cruz, Cara), (Cruz, Cruz)}

Ejemplo 2

Observación del grupo sanguíneo.

Ω = {A, B, AB, 0 }

1. Fenómenos aleatorios

Teoría de la Probabilidad

Los fenómenos aleatorios empezaron a ser estudiados debido a los juegos de azar (cartas, dados, etc.) La palabra aleatorio proviene del latín alea que significa dado o suerte. Se dispone de datos que avalan la hipótesis de que civilizaciones como la egipcia, la griega, ó la romana, utilizaban el astrálago (hueso que se articula con la tibia y el peroné) para realizar juegos de azar. En excavaciones arqueológicas se han encontrado estos huesos en una proporción bastante superior a la de cualquier otro resto óseo, lo que parece evidenciar que los juegos de azar ya se practicaban en la antigüedad. La Teoría de la Probabilidad considera situaciones en las que hay incertidumbre por estar sujetas al azar. Su principal objetivo es estudiar modelos teóricos que proporcionen, con rigor científico, una explicación racional a tales situaciones. Su origen se sitúa en una sencilla teoría matemática sobre juegos de azar que se desarrolló, muy fundamentalmente en Francia, entre los siglos XVII y XVIII.

1. Fenómenos aleatorios

Teoría de la Probabilidad

En el siglo XVI, aparecieron las dos primeras publicaciones sobre juegos de dados: Liber de ludo alea obra del matemático Gerolamo Cardano, y Considerazione circa il giuco dei dadi de Galileo Galilei. En el siglo XVII, Antoine Gombaud, más conocido como el Caballero de Mère, planteó al matemático Blaise Pascal una serie de problemas relacionados con los juegos de azar. Con objeto de dar solución a tales problemas, Pascal inició una correspondencia cruzada con otro matemático, Pierre de Fermat. A partir de dicha correspondencia surgió el embrión de lo que hoy es la Teoría de la Probabilidad. Cabe mencionar la obra del físico y astrónomo holandes Christian Huygens Tractatus de ratiotinius in aleae ludo en la que realizó una exposición de los trabajos desarrollados por Pascal y Fermat. A finales del siglo XVII, surgieron las compañías de seguros y se inició una recopilación sistemática de datos de diversa índole (nacimientos, accidentes, defunciones, enfermedades, incendios, etc), surgiendo el interés por sus interpretaciones probabilísticas.

2. Nociones básicas sobre sucesos

Concepto formal de Suceso

Dado un fenómeno aleatorio, consideraremos la pareja (Ω, A), donde: A es P(Ω) (Conjunto de las partes de Ω) si Ω es finito. A es un subconjunto apropiado de P(Ω) si Ω es infinito. Formalmente, denominamos suceso a cualquier elemento de A. Dado A ∈ A, llamamos suceso complementario de A, y lo denotamos como A, al suceso que ocurre cuando no ocurre A. Hay dos sucesos especiales: El suceso seguro que es el que siempre ocurre, es decir Ω. El suceso imposible que es el que nunca puede ocurrir, lo denotaremos con el símbolo del conjunto vacío φ. Dados los sucesos A y B, decimos que A implica B si siempre que ocurre A también ocurre B.

2. Nociones básicas sobre sucesos

Operaciones con Sucesos

Dados los sucesos A y B, se define: El suceso unión A

B, como el suceso que ocurre cuando ocurre A ó B. El suceso intersección A

B, como el suceso que ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B. El suceso diferencia A − B, como el suceso que ocurre cuando ocurre A y no ocurre B (obsérvese que A − B = A

B).

Decimos que A y B son incompatibles si A

B = φ, es decir si el suceso intersección de ambos es el imposible. Como ejemplo, consideremos el Lanzamiento de un dado. Sean los sucesos: A: Obtener un número par y B: Obtener un número múltiplo de tres.

A = { 2 , 4 , 6 }, B = { 3 , 6 }, A = { 1 , 3 , 5 }, B = { 1 , 2 , 4 , 5 }

A

B = { 2 , 3 , 4 , 6 }, A

B = { 6 }, A − B = { 2 , 4 }, B − A = { 3 }

3. Definición clásica de probabilidad

Ejemplo 1 (continuación)

En el Ejemplo 1, sea A: Obtener una cara y una cruz. Teniendo en cuenta que entre los 4 posibles resultados hay 2 favorables a que tal suceso ocurra, (Cara, Cruz) y (Cruz, Cara), se deduce que P(A) = 2 /4.

Ejemplo 3 (continuación)

En el Ejemplo 2, sea B: Obtener como suma de los puntos 5. Teniendo en cuenta que entre los 36 posibles resultados hay 4 favorables a que se obtenga suma 5, (4,1), (3,2), (2,3) y (1,4), se deduce que P(B) = 4 /36.

Ejemplo 4 (continuación)

En el Ejemplo 3, sea C: Obtener exactamente dos resultados +. Teniendo en cuenta que entre los 8 posibles resultados hay 3 resultados favorables a que dicho suceso ocurra, + + -, + - +, -+ +, se deduce que P(C) = 3 /8.

4. Definición frecuencial de probabilidad

Ley de Regularidad Estadística

Los fenómenos aleatorios están caracterizados por el hecho de que hay incertidumbre sobre el resultado que ocurrirá cada vez que se realiza. También están caracterizados por la denominada Ley de Regularidad Estadística:

Si aumenta el número de repeticiones del fenómeno aleatorio entonces la frecuencia relativa de ocurrencias de cada uno de sus posibles resultados tiende a estabilizarse.

Esta propiedad es fundamental para establecer una definición más general del concepto de probabilidad aplicable a sucesos de fenómenos aleatorios en los que el espacio muestral no es finito ó los posibles resultados no necesariamente tienen las mismas opciones de ocurrir (ó ambas cosas).

4. Definición frecuencial de probabilidad

l

l

l

l

l

l

l

l

l (^) l

200 400 600 800 1000

Número de lanzamientos

Frecuencia relativa

4. Definición frecuencial de probabilidad

Definición Frecuencial de Probabilidad (Richard Von Mises)

La probabilidad de cierto suceso A se define como el límite al que tiende a estabilizarse su frecuencia relativa cuando aumenta el número de repeticiones del fenómeno. Es decir, si denotamos por fn(A) a la frecuencia relativa de ocurrencias de A en n repeticiones del fenómeno, entonces:

P(A) = lim n→∞ fn(A)

Supongamos que se desea determinar la probabilidad de éxito de determinada intervención quirúrgica en la población de referencia de cierto hospital. Se dispone de los siguientes datos:

Número de casos 10 50 100 150 200 Número de éxitos 4 19 34 52 70 Frecuencia Relativa 0.40 0.38 0.34 0.346 0.

A partir de dicha información, aproximaríamos la probabilidad de éxito por 0.35.

5. Definición axiomática de probabilidad

Espacio de Probabilidad

Dado un fenómeno aleatorio, a la tripleta (Ω, A, P), donde Ω es el espacio muestral del fenómeno aleatorio, A es un σ-álgebra, y P es una probabilidad, se le denomina Espacio de Probabilidad.

Algunas consecuencias de la Axiomática de Kolmogorov

Si A, B ∈ A tal que A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B) y P(B − A) = P(B) − P(A). P(A

B) = P(A) + P(B) − P(A

B), A, B ∈ A.

P(A) = 1 − P(A), A ∈ A.

P(φ) = 0.

6. Probabilidad condicionada

En ocasiones a la hora de determinar la probabilidad de que ocurra determinado suceso dispondremos de cierta información adicional. Ello origina la introducción del concepto de Probabilidad Condicionada.

Ejemplo 5

En las carreteras de cierta provincia la Dirección General de Tráfico realiza durante un fin de semana un total de 100 controles de alcoholemia, 70 de ellos a conductores menores de 30 años. Se obtiene como resultado un total de 45 controles positivos, 35 de ellos en conductores menores de 30 años. Supongamos que seleccionamos al azar un control de los 100 realizados: ¿Qué probabilidad hay de que sea un control +? Puesto que hay 45 controles con resultado + entre los 100 controles realizados, se deduce que: P(Control +) = 45 / 100 = 0. 45