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Doble Grado en Ingenier´ıa Inform´atica y Matem´aticas
Tema 4
Probabilidad condicionada: teoremas b´asicos.
Independencia de sucesos
1. Probabilidad condicionada. Espacio de probabilidad condicionado
La probabilidad condicionada es uno de los conceptos clave en Teor´ıa de la Probabilidad. En el tema anterior se ha introducido el concepto de probabilidad considerando que la ´unica informaci´on sobre el experimento era el espacio muestral. Sin embargo, hay situaciones en las que se incorpora informaci´on suplementaria como puede ser que ha ocurrido otro suceso, con lo que puede variar el espacio de resultados posibles y consecuentemente, sus probabilidades. En este contexto aparece el concepto de probabilidad condicionada. El objetivo es analizar c´omo afecta el conocimiento de la realizaci´on de un determinado suceso a la probabilidad de que ocurra cualquier otro. La probabilidad condicionada tiene una clara interpretaci´on en espacios muestrales finitos en los que puede aplicarse la regla de Laplace.
Definici´on.- Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico arbitrario y A un suceso (A ∈ A) tal que P (A) > 0. Para cualquier otro suceso B ∈ A, se define la probabilidad condicionada de B dado A o probabilidad de B condicionada a A como
P (B/A) =
P (B ∩ A)
P (A)
Observemos que la condici´on P (A) > 0 es necesaria para que la definici´on tenga sentido. Por otra parte, la idea intuitiva de probabilidad condicionada hace l´ogica esta restricci´on ya que si P (A) = 0, A es un suceso imposible y no tiene sentido condicionar a ´el.
Notemos que, sabiendo que A ∈ A ha ocurrido, tenemos una nueva evaluaci´on de la pro- babilidad de cada suceso (P (B) −→ P (B/A)), o sea, tenemos una nueva funci´on de conjunto sobre (Ω, A). Probamos a continuaci´on que, efectivamente, esta funci´on es una medida de pro- babilidad sobre (Ω, A)
Teorema 1
Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico y sea un suceso A ∈ A, tal que P (A) > 0. Entonces (Ω, A, P (·/A)), en donde P (·/A) es la definida anteriormente, es un espacio probabil´ıstico.
Demostraci´on.- Basta probar que P (·/A) es una probabilidad. Evidentemente,
P (B/A) =
P (B ∩ A)
P (A)
≥ 0 ∀B ∈ A.
Tambi´en,
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P (Ω/A) =
P (Ω ∩ A)
P (A)
P (A)
P (A)
Por ´ultimo, si {An}n∈N es una colecci´on de conjuntos disjuntos de A, entonces
P
n=
An/A
P [(
n=1 An)^ ∩^ A] P (A)
P [
n=1 (An^ ∩^ A)] P (A)
n=1 P^ (An^ ∩^ A) P (A)
∑^ ∞
n=
P (An/A)
Nota: Al condicionar a un suceso A ∈ A, con P (A) > 0, los sucesos de inter´es en el experimento son s´olo aquellos que tienen intersecci´on no vac´ıa con A, ya que si B es tal que B ∩ A = ∅, entonces P (B/A) = 0. Adem´as por la propia definici´on
∀B ∈ A, P (B/A) = P (B ∩ A/A)
O sea, en realidad, estamos haciendo una transformaci´on del espacio muestral, pasando de Ω a A, ya que si A ha ocurrido, no puede haber ocurrido ning´un resultado elemental de Ω que no est´e en A. Esto nos lleva a definir un nuevo espacio probabil´ıstico con espacio muestral A, como probamos a continuaci´on, que se denomina espacio de probabilidad condicionado
Teorema 2
Sea (Ω, A, P ) un espacio probabil´ıstico y A ∈ A tal que P (A) > 0. Consideramos la clase de conjuntos
AA = A ∩ A = {B ∩ A / B ∈ A} (⊂ P(A))
y la funci´on
PA : AA −→ R
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1. Teoremas b´asicos de probabilidad condicionada
La probabilidad de la intersecci´on de dos sucesos se puede deducir directamente de la defi- nici´on de probabilidad condicionada y se obtiene como
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) si P (A) > 0
o bien
P (A ∩ B) = P (B)P (A/B) si P (B) > 0
Si uno de los dos tiene probabilidad nula, la probabilidad condicionada a ´el no tiene sentido. Si los dos tienen probabilidad nula, entonces la probabilidad de la intersecci´on es evidentemente cero, pero no puede expresarse en funci´on de las probabilidades condicionadas puesto que ´estas no existen. Estas expresiones se generalizan, mediante el teorema de la probabilidad compuesta o regla de la multiplicaci´on, al c´alculo de la probabilidad de la intersecci´on de m´as de dos sucesos que se producen concatenadamente.
Teorema de la probabilidad compuesta o Regla de multiplicaci´on
Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y A 1 , A 2 ,... , An ∈ A con P
[n− 1 ⋂
i=
Ai
]
0, entonces
P [A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An] = P (A 1 )·P (A 2 /A 1 )·P (A 3 /A 1 ∩ A 2 )·... ·P [An/A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 ]
Demostraci´on.- Es claro que A 1 ∩· · ·∩An− 1 ⊆ A 1 ∩· · ·∩An− 2 ⊆ A 1 ∩A 2 ∩A 3 ⊆ A 1 ∩A 2 ⊆ A 1. Por tanto, si el primero tiene probabilidad positiva, las restantes tambi´en, y todas las probabilidades condicionadas tienen sentido. La demostraci´on se hace por inducci´on. Para n = 2 es la regla de la multiplicaci´on dada por la definici´on de probabilidad condicionada. Suponemos que la expresi´on es cierta para la intersecci´on de n − 1 sucesos. Entonces
P (A 1 ∩ · · · ∩ An) = P ((A 1 ∩ · · · ∩ An− 1 ) ∩ An) = P (A 1 ∩ · · · ∩ An− 1 )P (An/A 1 ∩ · · · ∩ An− 1 )
y ahora se aplica la hip´otesis de inducci´on a la primera probabilidad obteniendose el resultado deseado.
Nota: Este resultado es especialmente ´util en experimentos compuestos de varias etapas en los que las probabilidades de los sucesos en cada etapa dependen de los resultados obtenidos en las anteriores.
Ejemplo.- Se extraen sucesivamente, y sin reemplazamiento, tres bolas de una urna que contiene 7 bolas blancas y tres negras. Calcular la probabilidad de que las dos primeras bolas extradas sean blancas y la tercera negra.
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El experimento consta de tres etapas y, al no devolverse la bola extra´ıda de la urna en cada etapa, la probabilidad de los resultados que pueden darse en las extracciones sucesivas depende del resultado en la anterior. Si consideramos los sucesos
B 1 : Salir bola blanca en la primera extracci´on,
B 2 : Salir bola blanca en la segunda extracci´on,
N 3 : Salir bola negra en la tercera extracci´on,
la probabilidad que nos piden es P (B 1 ∩ B 2 ∩ N 3 ) que, aplicando la regla de multiplicaci´on, se calcula de la siguinete forma:
P (B 1 ∩ B 2 ∩ N 3 ) = P (B 1 ) P (B 2 /B 1 ) P (N 3 /B 1 ∩ B 2 ) =
Teorema de la probabilidad total
Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y sea {An}n∈N ⊂ A un sistema completo de sucesos o partici´on de Ω con P (An) > 0 , ∀n ∈ N. Sea B un suceso cualquiera de A, entonces
P (B) =
∑^ ∞
n=
P (B/An)P (An).
Demostraci´on.- En efecto, B se puede escribir como una uni´on disjunta de la forma
B = B ∩ Ω = B ∩
n=
An
⋃^ ∞
n=
(B ∩ An)
y por la propiedad de aditividad numerable de la probabilidad
P (B) =
∑^ ∞
n=
P (B ∩ An).
Ahora, aplicando el Teorema de la probabilidad compuesta se obtiene el resultado deseado
P (B) =
∑^ ∞
n=
P (B/An)P (An).
Interpretaci´on.- Los sucesos An pueden interpretarse como las distintas causas (o circunstancias) por las que puede ocurrir el suceso B. Entonces el teorema de la probabilidad total viene a decir que si el suceso B puede ocurrir por alguna de las causas An, la probabilidad de que ocurra es la suma de las probabilidades de las causas (P (An)) por la probabilidad del suceso B condicionado a la causa (P (B/An)).
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P (An/B) =
P (B/An)P (An) ∑
n∈N
P (B/An)P (An)
Demostraci´on.- Por la definici´on de probabilidad condicionada y aplicando el Teorema de la probabilidad compuesta
P (An/B) =
P (B/An)P (An) P (B)
y aplicando el Teorema de la probabilidad total en el denominador se obtiene el resultado deseado.
El razonamiento l´ogico que subyace en el c´alculo de estas probabilidades es el siguiente: Interpretar, de nuevo, el suceso B como el resultado obtenido al realizar un experimento y los sucesos An como el conjunto de todas las “causas”que pueden producir la aparici´on del suceso B; entonces, si para cada “causa” conocemos su probabilidad a priori P (An) y la verosimilitud P (B/An) de que el suceso B haya sido causado por An, la ocurrencia de B, nos permite asignar, mediante la aplicaci´on del Teorema de Bayes, una “probabilidad a posteriori”P (An/B) al suceso de que la verdadera causa haya sido An.
Ejemplo 1.- Se tienen dos urnas: la urna 1 contiene 3 bolas blancas y 2 negras. La urna 2 tiene dos bolas blancas y 3 negras (todas distinguibles). Se elige una urna al azar y se extrae una bola. Si la bola resulta ser blanca. ¿Cu´al es la probabilidad de que proceda de la urna 1? ¿y de la 2?
P (A 1 /B) =
P (B/A 1 )P (A 1 )
P (B)
P (A 2 /B) =
P (B/A 2 )P (A 2 )
P (B)
Ejemplo 2.- Supongamos en el ejemplo anterior de las bater´ıas que el fabricante inspecciona una de las bater´ıas y ´esta es defectuosa y se quiere calcular a partir de dicho conocimiento la probabilidad de que la bater´ıa proceda de cada una de las tres plantas. En este caso
P (E 1 /D) =
P (D/E 1 )P (E 1 )
i=1 P^ (D/Ei)P^ (Ei)
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P (E 2 /D) =
P (D/E 2 )P (E 2 )
i=1 P^ (D/Ei)P^ (Ei)
P (E 2 /D) =
P (D/E 3 )P (E 3 )
i=1 P^ (D/Ei)P^ (Ei)
A priori las probabilidades iniciales para cada planta eran 0.125, 0.5, 0.375, respectivamen- te, pero despu´es del conocimiento de que la bater´ıa era defectuosa las probabilidades se han modificado a 0.117647, 0.352941 y 0.529412, respectivamente.
3. Independencia de sucesos
Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y A ∈ A con P (A) > 0. Como ya hemos comentado, la ocurrencia del suceso A puede alterar la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro suceso B ∈ A. Al estudiar dichas probabilidades, pueden darse los siguientes casos:
- P (B/A) 6 = P (B), es decir la ocurrencia del suceso A modifica la probabilidad de ocurren- cia de B. Diremos entonces que el suceso B depende del suceso A.
Si P (B/A) > P (B) se dice que el suceso A favorece al B. Si P (B/A) < P (B) se dice que el suceso A desfavorece al B.
- Si P (B/A) = P (B), es decir, la ocurrencia del suceso A no tiene ning´un efecto sobre el suceso A, se dice que el suceso B es independiente del suceso A.
Teorema: Caracterizaci´on de independencia Sea A ∈ A con P (A) > 0. Un suceso B es independiente de A ⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A)·P (B)
Demostraci´on
=⇒) B independiente de A ⇒ P (B/A) =
P (A ∩ B)
P (A)
= P (B) ⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B)
=⇒) P (A ∩ B) = P (A)P (B) y P (A) > 0 ⇒ P (B/A) = P (B) ⇒ B independiente de A.
Corolario Este teorema pone de manifiesto la simetr´ıa de la definici´on, es decir, si P (A) > 0 y P (B) > 0, A es independiente de B si y s´olo si B lo es de A y diremos, en general, que A y B son independientes.
Notas
Un suceso nulo, P (B) = 0, es independiente de cualquier otro suceso, ya que si A es tal que P (A) > 0, se tiene
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A: salir impar en el primero B: salir impar en el segundo C: la suma de los resultados es impar
P (A) = P (B) = P (C) = 1/ 2
A ∩ B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} P (A ∩ B) = 369 = 14 = P (A)P (B)
A ∩ C = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6)} P (A ∩ C) = 369 = 14 = P (A)P (C)
B ∩ C = {(2, 1), (4, 1), (6, 1), (2, 3), (4, 3), (6, 3), (2, 5), (4, 5), (6, 5)} P (B ∩ C) = 369 = 14 = P (B)P (C)
Sin embargo
P (A ∩ B ∩ C) = 0 6 = P (A)P (B)P (C)
luego los sucesos son dos a dos independientes, pero no mutuamente independientes.
